2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题49两直线的位置关系（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题49两直线的位置关系（学生版），共8页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【考点预测】
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.
【常用结论】
五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【方法技巧】
1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
3.求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
3.利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
4.解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
5.几个常用结论
①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
6.几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、【题型归类】
【题型一】两直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq \f(1,e)”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
【典例3】已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
【题型二】两直线的交点与距离问题
【典例1】已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )
A．－eq \f(3,2)－1
C．k>－1 D．－eq \f(1,3)【典例2】已知直线l1：mx＋y－3＝0与直线l2：x－y－m＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．2eq \r(2) B．4 C.eq \r(2) D．2
【典例3】直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________．
【题型三】对称问题
【典例1】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【典例2】已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
【典例3】已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为________．
三、【培优训练】
【训练一】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．16
【训练二】（2023秋·高二单元测试）已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【训练三】（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【训练四】（2023秋·全国·高二阶段练习）已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为A，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为 .
【训练五】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为 .
【训练六】（2023·全国·高三专题练习）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
四、【强化测试】
一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
2．（2023·吉林白山·统考一模）已知圆与直线，P，Q分别是圆C和直线l上的点且直线PQ与圆C恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A．6B．C．D．
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4B．C．4或D．8或
7．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．4
8．（2023秋·高二单元测试）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
二、多选题
9．（2022·全国·高一专题练习）已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：（其中）分别与直线、交于C、D两点，则（ ）
A．时，l的倾斜角为
B．，点A、B到l的距离之和为定值
C．，使l与圆O无公共点
D．，恒有
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线，圆，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则（ ）
A．直线l与圆O相切B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为
C．存在点M，使D．存在点M，使为等边三角形
12．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知为圆上的两点，为直线上一动点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．当为两定点时，满足的点有2个
C．当时，的最大值是
D．当为圆的两条切线时，直线过定点
三、填空题
13．（2023春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则 .
14．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是 .
15．（2023·天津·大港一中校联考一模）若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为 .
16．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为 .
四、解答题
17．（2023秋·山东临沂·高二山东省临沂第一中学校考期末）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
18．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
19．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为．
(1)若，求；
(2)若，求点到直线的距离的最小值．
20．
（1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程.
21．如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．
(1)分别用不等式组表示和；
(2)若区域中的动点到的距离之积等于，求点的轨迹的方程；
(3)设不过原点的直线与（2）中的曲线相交于两点，且与分别交于两点．求证的重心与的重心重合．
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆，下顶点为是椭圆上任意一点，过点作轴的平行线与直线交于点，若点关于点的对称点为，直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆上点到直线的距离的最大值；
(2)已知．过点作垂直直线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点坐标和，若不存在，请说明理由.
方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行