2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题30正弦定理和余弦定理（学生版），共7页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
【考点预测】
1．正弦定理与余弦定理
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
3．三角形解的判断
【常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C．
(2)cs(A＋B)＝－cs C．
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
(4)cseq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acs B．
【方法技巧】
1.正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
2.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
3.判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
5.与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
二、【题型归类】
【题型一】利用正弦定理、余弦定理解三角形
【典例1】已知在△ABC中，c＝2bcs B，C＝eq \f(2π,3).
(1)求B的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．
①c＝eq \r(2)b；②周长为4＋2eq \r(3)；③面积为S△ABC＝eq \f(3\r(3),4).
【典例2】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
【典例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C.
(1)求A；
(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝eq \r(13)，求a.
【题型二】判断三角形的形状
【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【典例2】(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
【典例3】在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
【题型三】与三角形面积有关的问题
【典例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为________．
【典例2】在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝eq \r(3)ab，且acsin B＝2eq \r(3)sin C，则△ABC的面积为________．
【典例3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))－asin C＝0.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面积为eq \r(3)，周长为6，求a的值．
三、【培优训练】
【训练一】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得的△ABC的面积为( )
A．eq \r(3) B．1
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(1,2)
【训练二】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(1,tan A)，eq \f(1,tan B)，eq \f(1,tan C)依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是( )
A．a，b，c依次成等差数列
B.eq \r(a)，eq \r(b)，eq \r(c)依次成等差数列
C．a2，b2，c2依次成等差数列
D．a3，b3，c3依次成等差数列
【训练三】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)accs B，且sin A＝3sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
【训练四】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
【训练五】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且bA．3 B．2eq \r(2)
C．2 D．eq \r(3)
2. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq \r(7)，c＝4，cs A＝eq \f(\r(7),4)，则△ABC的面积为( )
A．3eq \r(7) B．eq \f(3\r(7),2)
C．9 D．eq \f(9,2)
3. 在△ABC中，已知C＝eq \f(π,3)，b＝4，△ABC的面积为2eq \r(3)，则c＝( )
A．2eq \r(7) B．eq \r(7)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
4. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝eq \r(2)sin B，则其最小内角的余弦值为( )
A．－eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(5\r(2),8) D．eq \f(3,4)
5. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(4,3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )
A.eq \f(\r(15),2) B.eq \f(\r(11),2) C.eq \f(3\r(15),4) D.eq \f(3\r(15),8)
7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C等于( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
8. 已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝4，cs 2A＝
－eq \f(7,25)，则△ABC外接圆半径为( )
A．5 B．3 C.eq \f(5,2) D.eq \f(3,2)
【多选题】
9. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3eq \r(3)，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
10. 下列命题中，正确的是( )
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
11. 某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3 D．6
12. 对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cs A＝cs B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>eq \f(π,2)，则sin A>cs B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B【填空题】
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则c＝ .
14. 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为________．
15. 在△ABC中，C＝60°，且eq \f(a,sin A)＝2，则△ABC的面积S的最大值为 ．
16.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝ .
【解答题】
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝eq \f(4\r(2),3)bc.
(1)求sin A的值；
(2)若△ABC的面积为eq \r(2)，且eq \r(2)sin B＝3sin C，求△ABC的周长．
18. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcs A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2eq \r(5)，b＝2，求边c的长．
19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且eq \r(3)acs C＝(2b－eq \r(3)c)cs A．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
20. 在①(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)；②2ccs C＝acs B＋bcs A；③△ABC的面积为eq \f(1,2)c(asin A＋bsin B－csin C)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝eq \r(3)，求a，b的值．
21. 如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点D在BC上，且cs∠ADC＝eq \f(1,7).
(1)求BD；
(2)若cs∠CAD＝eq \f(\r(3),2)，求△ABC的面积．
22. (2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋eq \r(3)sin C＝eq \f(\r(2),2)，求C.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)asin B
＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解