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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题31解三角形的应用（学生版）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题31解三角形的应用（学生版），共9页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
【考点预测】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【常用结论】
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【方法技巧】
1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
4.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
6.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
7.平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
8.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
二、【题型归类】
【题型一】解三角形应用举例（距离、高度、角度）
【典例1】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( )
(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732，eq \r(5)≈2.236，eq \r(7)≈2.646)
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
【典例2】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346 B.373 C.446 D.473
【典例3】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
【题型二】求解平面几何问题
【典例1】如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝eq \f(2π,3)，求BC的长．
【典例2】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq \r(3)，BD＝3＋eq \r(6)，△BCD的面积S＝eq \f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).
(1)求CD；
(2)求∠ABC．
【典例3】如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cs∠ACB＝eq \f(1,3)，AC＝BC＝2eq \r(3)，AB＝4AD.
(1)求AB的长；
(2)求sin∠ACD.
【题型三】三角函数与解三角形的交汇问题
【典例1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝eq \r(13)，________．
请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．
条件：①asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A，
②bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
③a2＋c2－b2＝abcs A＋a2cs B.
结论：①求△ABC周长的取值范围；
②求△ABC面积的最大值．
【典例2】在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(b,cs Asin C)＝eq \f(c,sin C)＋eq \f(a,cs A).
(1)求角C的大小；
(2)若b＝1，求c的取值范围．
【典例3】△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccs B．
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)cs A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．
三、【培优训练】
【训练一】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccs A＋acs C＝2，AC边上的高为eq \r(3)，则∠ABC的最大值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
【训练二】已知△ABC中，AC＝eq \r(2)，BC＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq \f(π,4)，则CD＝________．
【训练三】国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为( )
A．17米 B．22米 C．30米 D．35米
【训练四】如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝eq \f(2π,3)，半径为4eq \r(2)，若点C是eq \(AB,\s\up8(︵))上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(eq \r(3)－1)，求eq \(BC,\s\up8(︵))的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
【训练五】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
【训练六】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为
1 260 m，经测量得cs A＝eq \f(12,13)，sin B＝eq \f(63,65).
(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
四、【强化测试】
【单选题】
1. 在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A.eq \r(6) km B.eq \r(2) km C.eq \r(3) km D.2 km
2. 如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )
A.eq \f(400,3) m B.eq \f(400\r(3),3) m
C.eq \f(200\r(3),3) m D.eq \f(200,3) m
3. 如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是( )
A.25eq \r(2) m B.50eq \r(2) m
C.25eq \r(3) m D.50eq \r(3) m
4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)( )
A．10 km B．20 km
C．30 km D．40 km
6. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )
A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
7. 第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区．如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行eq \f(3,4) h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为( )
A．9eq \r(2) n mile B．9(eq \r(2)－1)n mile
C．9(eq \r(3)－1)n mile D．9(eq \r(3)－eq \r(2))n mile
8. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(0,4) B．(2,2eq \r(3))
C．(2,4) D．(2eq \r(2)，4)
【多选题】
9. 某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3 D．6
10. 在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D.eq \f(\r(13),2)
11. 如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥BA，cs 2∠ABC＝－eq \f(7,25)，c＝2，b＝eq \f(8\r(5),5)，则下列结论正确的有( )
A.sin A＝eq \f(\r(5),5)
B.BD＝2
C.5eq \(CD,\s\up6(→))＝3eq \(DA,\s\up6(→))
D.△CBD的面积为eq \f(4,5)
12. 在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cs∠CDB＝－eq \f(\r(5),5)，则( )
A．sin∠BCD＝eq \f(3,10) B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4eq \r(5) D．△ABC为钝角三角形
【填空题】
13. 海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.
14. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．
15. 如图，在△ABC中，已知M为边BC上一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，∠AMC＝eq \f(π,3)，AM＝2，△AMC的面积为3eq \r(3)，则CM＝________；cs∠BAC＝________．
16. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD为边BC上的高，点E满足eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，若AB＝m，则BE的长为________．
【解答题】
17. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)·cs B－bcs C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcs xcs B－eq \f(\r(3),2)cs 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
19. 在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC．
20. 已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x－2cs2x＋m，且函数f(x)的最大值为3.
(1)求m的值；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值．
21. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B；②2S＝eq \r(3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))(其中S为△ABC的面积)；③eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C.
(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围．
22. 已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面积为3eq \r(3)，求△ABC外接圆的面积.
【考纲要求】
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
【考点预测】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【常用结论】
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【方法技巧】
1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
3.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
4.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
5.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
6.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
7.平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
8.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
二、【题型归类】
【题型一】解三角形应用举例（距离、高度、角度）
【典例1】如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1 000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)( )
(参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732，eq \r(5)≈2.236，eq \r(7)≈2.646)
A.39米 B.43米 C.49米 D.53米
【典例2】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346 B.373 C.446 D.473
【典例3】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.
【题型二】求解平面几何问题
【典例1】如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB
(2)若∠BCD＝eq \f(2π,3)，求BC的长．
【典例2】如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq \r(3)，BD＝3＋eq \r(6)，△BCD的面积S＝eq \f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).
(1)求CD；
(2)求∠ABC．
【典例3】如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cs∠ACB＝eq \f(1,3)，AC＝BC＝2eq \r(3)，AB＝4AD.
(1)求AB的长；
(2)求sin∠ACD.
【题型三】三角函数与解三角形的交汇问题
【典例1】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝eq \r(13)，________．
请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．
条件：①asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A，
②bsin A＝acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))，
③a2＋c2－b2＝abcs A＋a2cs B.
结论：①求△ABC周长的取值范围；
②求△ABC面积的最大值．
【典例2】在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(b,cs Asin C)＝eq \f(c,sin C)＋eq \f(a,cs A).
(1)求角C的大小；
(2)若b＝1，求c的取值范围．
【典例3】△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccs B．
(1)求角C的大小；
(2)求eq \r(3)cs A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．
三、【培优训练】
【训练一】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccs A＋acs C＝2，AC边上的高为eq \r(3)，则∠ABC的最大值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
【训练二】已知△ABC中，AC＝eq \r(2)，BC＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq \f(π,4)，则CD＝________．
【训练三】国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为( )
A．17米 B．22米 C．30米 D．35米
【训练四】如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝eq \f(2π,3)，半径为4eq \r(2)，若点C是eq \(AB,\s\up8(︵))上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(eq \r(3)－1)，求eq \(BC,\s\up8(︵))的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
【训练五】如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
【训练六】如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为
1 260 m，经测量得cs A＝eq \f(12,13)，sin B＝eq \f(63,65).
(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
四、【强化测试】
【单选题】
1. 在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A.eq \r(6) km B.eq \r(2) km C.eq \r(3) km D.2 km
2. 如图，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )
A.eq \f(400,3) m B.eq \f(400\r(3),3) m
C.eq \f(200\r(3),3) m D.eq \f(200,3) m
3. 如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是( )
A.25eq \r(2) m B.50eq \r(2) m
C.25eq \r(3) m D.50eq \r(3) m
4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
5. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)( )
A．10 km B．20 km
C．30 km D．40 km
6. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )
A．18米 B．19米
C．20米 D．21米
7. 第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区．如图，A点，正北方向的C市受到台风侵袭，一艘船从A点出发前去实施救援，以24 n mile/h的速度向正北航行，在A处看到S岛在船的北偏东15°方向，船航行eq \f(3,4) h后到达B处，在B处看到S岛在船的北偏东45°方向．此船从A点到C市航行过程中距离S岛的最近距离为( )
A．9eq \r(2) n mile B．9(eq \r(2)－1)n mile
C．9(eq \r(3)－1)n mile D．9(eq \r(3)－eq \r(2))n mile
8. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(0,4) B．(2,2eq \r(3))
C．(2,4) D．(2eq \r(2)，4)
【多选题】
9. 某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．3 D．6
10. 在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c可能的取值是( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D.eq \f(\r(13),2)
11. 如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥BA，cs 2∠ABC＝－eq \f(7,25)，c＝2，b＝eq \f(8\r(5),5)，则下列结论正确的有( )
A.sin A＝eq \f(\r(5),5)
B.BD＝2
C.5eq \(CD,\s\up6(→))＝3eq \(DA,\s\up6(→))
D.△CBD的面积为eq \f(4,5)
12. 在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cs∠CDB＝－eq \f(\r(5),5)，则( )
A．sin∠BCD＝eq \f(3,10) B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4eq \r(5) D．△ABC为钝角三角形
【填空题】
13. 海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.
14. 一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．
15. 如图，在△ABC中，已知M为边BC上一点，eq \(BC,\s\up6(→))＝4eq \(BM,\s\up6(→))，∠AMC＝eq \f(π,3)，AM＝2，△AMC的面积为3eq \r(3)，则CM＝________；cs∠BAC＝________．
16. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD为边BC上的高，点E满足eq \(AD,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，若AB＝m，则BE的长为________．
【解答题】
17. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)·cs B－bcs C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcs xcs B－eq \f(\r(3),2)cs 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．
18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
19. 在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC＝2eq \r(2)，求BC．
20. 已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x－2cs2x＋m，且函数f(x)的最大值为3.
(1)求m的值；
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值．
21. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．
①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B；②2S＝eq \r(3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))(其中S为△ABC的面积)；③eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C.
(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围．
22. 已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，b＝2，△ABC的面积为3eq \r(3)，求△ABC外接圆的面积.
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