2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题27简单三角恒等变换（教师版），共22页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
【考点预测】
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
【常用结论】
1.1－cs α＝2sin2eq \f(α,2)，1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
2.1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
3.sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
【方法技巧】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.
5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；
(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.
6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
二、【题型归类】
【题型一】三角函数式的化简
【典例1】eq \f(2cs 58°＋sin 28°,cs 28°)＝( )
A.－eq \r(3) B.1 C.eq \r(3) D.2
【解析】原式＝eq \f(2cs（30°＋28°）＋sin 28°,cs 28°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 28°－\f(1,2)sin 28°))＋sin 28°,cs 28°)
＝eq \f(\r(3)cs 28°,cs 28°)＝eq \r(3).
故选C.
【典例2】化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
【解析】原式＝eq \f(\f(1,2)（4cs4x－4cs2x＋1）,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(（2cs2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs 2x)＝eq \f(1,2)cs 2x.
【典例3】(tan 10°－eq \r(3))·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝________.
【解析】原式＝eq \f(sin 10°－\r(3)cs 10°,cs 10°)·eq \f(cs 10°,sin 50°)＝eq \f(－2sin 50°,sin 50°)＝－2.
【题型二】给角求值
【典例1】sin 40°(tan 10°－eq \r(3))等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【解析】sin 40°·(tan 10°－eq \r(3))
＝sin 40°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin 10°,cs 10°)－\r(3)))
＝sin 40°·eq \f(sin 10°－\r(3)cs 10°,cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 10°－\f(\r(3),2)cs 10°)),cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(2cs 60°·sin 10°－sin 60°·cs 10°,cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(2sin10°－60°,cs 10°)
＝sin 40°·eq \f(－2sin 50°,cs 10°)
＝eq \f(－2sin 40°·cs 40°,cs 10°)
＝eq \f(－sin 80°,cs 10°)＝－1.
故选D.
【典例2】cs 20°·cs 40°·cs 100°＝ .
【解析】cs 20°·cs 40°·cs 100°
＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
＝－eq \f(sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,2)sin 40°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,4)sin 80°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,8)sin 20°,sin 20°)＝－eq \f(1,8).
【典例3】eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))的值为( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．2
【解析】原式＝eq \f(cs220°－sin220°,cs 25°cs 20°－sin 20°)
＝eq \f(cs 20°＋sin 20°,cs 25°)
＝eq \f(\r(2)cs 25°,cs 25°)＝eq \r(2).
故选C.
【题型三】给值求值
【典例1】已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝ .
【解析】由题意可得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1,10)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin 2θ＝－eq \f(4,5)，即sin 2θ＝eq \f(4,5).
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)>0，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以0<θ根据同角三角函数基本关系式，可得cs 2θ＝eq \f(3,5)，
由两角差的正弦公式，可得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝sin 2θcs eq \f(π,3)－cs 2θsin eq \f(π,3)
＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4－3\r(3),10).
【典例2】若tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋eq \r(2)cs2α的值为 ．
【解析】∵tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴tan α＝3或tan α＝eq \f(1,3)(舍)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋eq \r(2)cs2α，
＝sin 2αcs eq \f(π,4)＋cs 2αsin eq \f(π,4)＋eq \r(2)·eq \f(1＋cs 2α,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin 2α＋eq \r(2)cs 2α＋eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2),2)(2sin αcs α)＋eq \r(2)(cs2α－sin2α)＋eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋eq \r(2)·eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)＋eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2),2)·eq \f(2tan α,tan2α＋1)＋eq \r(2)·eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＋eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(6,9＋1)＋eq \r(2)×eq \f(1－9,1＋9)＋eq \f(\r(2),2)
＝0.
【典例3】已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解析】(1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2 α＋cs2 α＝1，所以cs2 α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
【题型四】给值求角
【典例1】在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为eq \f(2\r(7),7)，点Q的纵坐标为eq \f(3\r(3),14)，则2α－β的值为________．
【解析】法一：由已知可知cs α＝eq \f(2\r(7),7)，sin β＝eq \f(3\r(3),14).
又α，β为锐角，所以sin α＝eq \f(\r(21),7)，cs β＝eq \f(13,14).
因此cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(1,7)，sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以sin(2α－β)＝eq \f(4\r(3),7)×eq \f(13,14)－eq \f(1,7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(3),2).
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cs 2α＞0，所以0＜2α＜eq \f(π,2)，
又β为锐角，所以－eq \f(π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2)，
又sin(2α－β)＝eq \f(\r(3),2)，所以2α－β＝eq \f(π,3).
法二：同法一得，cs β＝eq \f(13,14)，sin α＝eq \f(\r(21),7).
因为α，β为锐角，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(21),7)×eq \f(13,14)－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(\r(21),14).
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故cs(α－β)＝eq \r(1－sin2（α－β）)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),14)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(7),14).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]＝cs αcs(α－β)－sin α·sin(α－β)＝eq \f(2\r(7),7)×eq \f(5\r(7),14)－eq \f(\r(21),7)×eq \f(\r(21),14)＝eq \f(1,2).
所以2α－β＝eq \f(π,3).
【典例2】已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α【解析】∵0<β<αsin α＝eq \f(4\r(3),7).
又cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2（α－β）)＝eq \f(3\r(3),14).
∴cs β＝cs[α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
又0<β【典例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________.
【解析】∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝eq \f(tan（α－β）＋tan β,1－tan（α－β）tan β)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq \f(1,3)>0，
又α∈(0，π)，∴0<α又∵tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq \f(3,4)>0，
∴0<2α∴tan(2α－β)＝eq \f(tan 2α－tan β,1＋tan 2αtan β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.
∵tan β＝－eq \f(1,7)<0，∴eq \f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－eq \f(3π,4).
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))时，求f(x)的值域.
【解析】(1)f(x)＝sin 2xcs eq \f(π,6)－cs 2xsin eq \f(π,6)＋1－cs 2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(3,2)cs 2x＋1＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π，即f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
∴－eq \f(1,2)≤eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1≤eq \r(3)＋1，
∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\r(3)＋1)).
【训练二】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
【解析】如图，连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcs θ＝20cs θ，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cs θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cs θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝400 m2.
此时AO＝DO＝10eq \r(2) m.
故当点A，D到圆心O的距离为10eq \r(2) m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
【训练三】已知函数f(x)＝Acs(eq \f(x,4)＋eq \f(π,6))，x∈R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \r(2).
(1)求A的值；
(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(4π,3)))＝－eq \f(30,17)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4β－\f(2π,3)))＝eq \f(8,5)，求cs(α＋β)的值．
【解析】(1)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝Acseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2)，所以A＝2.
(2)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(4π,3)))＝2cs(α＋eq \f(π,3)＋eq \f(π,6))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－2sin α＝－eq \f(30,17)，
得sin α＝eq \f(15,17)，又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＝eq \f(8,17).
由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4β－\f(2π,3)))＝2cs(β－eq \f(π,6)＋eq \f(π,6))＝2cs β＝eq \f(8,5)，
得cs β＝eq \f(4,5)，又β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin β＝eq \f(3,5)，
所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(8,17)×eq \f(4,5)－eq \f(15,17)×eq \f(3,5)＝－eq \f(13,85).
【训练四】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论：
①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)；④taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(17,7).
其中所有正确结论的编号是( )
A．①③ B．①③④
C．①④ D．②③④
【解析】设BC＝x尺，则AC＝(x＋1)尺，
在Rt△ABC中，
因为AB＝5，
所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12.所以水深为12尺，芦苇长为13尺．
所以tan θ＝eq \f(12,5)，所以tan θ＝eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq \f(12,5)，解得tan eq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)(负根舍去)，因为tan θ＝eq \f(12,5)，所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝－eq \f(17,7)，故正确结论的编号为①③④.
故选B.
【训练五】已知a为正整数，tan α＝1＋lg a，tan β＝lg a，且α＝β＋eq \f(π,4)，则当函数f(x)＝asin θ－eq \r(3)cs θ(θ∈[0，π])取得最大值时，θ＝( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(5π,6) D.eq \f(4π,3)
【解析】因为α＝β＋eq \f(π,4)，所以α－β＝eq \f(π,4)，
所以tan(α－β)＝1，即eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(1＋lg a－lg a,1＋（1＋lg a）lg a)＝1，
解得a＝1或a＝eq \f(1,10)(舍去)．
则f(x)＝sin θ－eq \r(3)cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
由于θ∈[0，π]，所以θ－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3))).
则当θ－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(5π,6)时，函数f(x)取得最大值．
故选C.
【训练六】若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
【解析】∵α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，∴2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，
∵sin 2α＝eq \f(\r(5),5)＞0，∴2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))且cs 2α＝－eq \f(2\r(5),5).
又∵sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
∴β－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，cs(β－α)＝－eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝cs[(β－α)＋2α]
＝cs(β－α)cs 2α－sin(β－α)sin 2α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(\r(2),2)，
又∵α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，∴α＋β＝eq \f(7π,4).
故选A.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 计算：eq \f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C．eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
【解析】原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝－eq \f(2,3)taneq \f(π,6)＝－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(2\r(3),9).
故选D.
2. 若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－eq \f(\r(3),5) B．eq \f(3\r(3),5)
C．eq \f(\r(3),19) D．eq \f(\r(3),7)
【解析】由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2eq \r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝eq \f(tan（α＋80°）－tan 60°,1＋tan（α＋80°）tan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7).
故选D.
3. 若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
【解析】由题意知eq \f(2（cs2θ－sin2θ）,cs θ－sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
所以2(cs θ＋sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
解得sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍去)．
故选C.
4. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则eq \f(sin 2θ＋2sin2θ,1＋cs 2θ)＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．4 D．1
【解析】因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tan α＝－2.由三角形内角和定理得α＋2θ＝π，所以tan 2θ＝tan(π－α)＝－tan α＝2，即eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝2，整理得tan θ＋tan2θ＝1，所以eq \f(sin 2θ＋2sin2θ,1＋cs 2θ)＝eq \f(2sin θcs θ＋2sin2θ,2cs2θ)＝tan θ＋tan2θ＝1.
故选D.
5. 已知3π≤θ≤4π，且 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \f(\r(6),2)，则θ＝( )
A．eq \f(10π,3)或eq \f(11π,3) B．eq \f(37π,12)或eq \f(47π,12)
C．eq \f(13π,4)或eq \f(15π,4) D．eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6)
【解析】因为3π≤θ≤4π，所以eq \f(3π,2)≤eq \f(θ,2)≤2π，所以cs eq \f(θ,2)≥0，sin eq \f(θ,2)≤0，
则 eq \r(\f(1＋cs θ,2))＋eq \r(\f(1－cs θ,2))＝eq \r(cs2\f(θ,2))＋eq \r(sin2\f(θ,2))＝cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(6),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)＋2kπ或eq \f(θ,2)＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq \f(π,6)＋4kπ或θ＝－eq \f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝eq \f(19π,6)或eq \f(23π,6).
故选D．
6. 计算：eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
【解析】eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝eq \f(sin210°,sin 10°\r(1－1－2sin210°))
＝eq \f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq \f(\r(2),2).
故选A.
7. 设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，则( )
A．3α－β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)
C．3α＋β＝eq \f(π,2) D．2α＋β＝eq \f(π,2)
【解析】因为tan α＝eq \f(1＋sin β,cs β)，所以eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1＋sin β,cs β)，即sin αcs β＝cs α＋cs αsin β，所以sin αcs β－cs αsin β＝cs α，即sin(α－β)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，又α，β均为锐角，且y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，所以α－β＝eq \f(π,2)－α，即2α－β＝eq \f(π,2).
故选B.
8. 若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A．eq \f(7π,4) B．eq \f(9π,4)
C．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D．eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
【解析】因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).
又0即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，所以β－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(13π,12)))，
所以cs 2α＝－eq \r(1－sin22α)＝－eq \f(2\r(5),5).
又sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，所以cs(β－α)＝－eq \r(1－sin2（β－α）)＝－eq \f(3\r(10),10)，所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]＝cs 2αcs(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17π,12)，2π))，所以α＋β＝eq \f(7π,4)。
故选A．
【多选题】
9. 下列各式中值为eq \f(1,2)的是( )
A.1－2cs275°
B.sin 135°cs 15°－cs 45°cs 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.eq \f(cs 35°\r(1－sin 20°),\r(2)cs 20°)
【解析】对于A，1－2cs2 75°＝－cs 150°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，A错误；
对于B，sin 135°cs 15°－cs 45°cs 75°＝sin 45°sin 75°－cs 45°cs 75°＝－cs 120°＝eq \f(1,2)，B正确；
对于C，∵tan 45°＝1＝eq \f(tan 20°＋tan 25°,1－tan 20°tan 25°)，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C错误；
对于D，eq \f(cs 35°\r(1－sin 20°),\r(2)cs 20°)
＝eq \f(cs 35°\r(（cs 10°－sin 10°）2),\r(2)（cs 10°＋sin 10°）（cs 10°－sin 10°）)
＝eq \f(cs 35°,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)
＝eq \f(cs 45°cs 10°＋sin 45°sin 10°,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)
＝eq \f(\f(\r(2),2)（cs 10°＋sin 10°）,\r(2)（cs 10°＋sin 10°）)＝eq \f(1,2)，D正确；
故选BD.
10. 函数f(x)＝sin xcs x的单调递减区间可以是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)
【解析】f(x)＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x，
由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得eq \f(π,4)＋kπ≤x≤kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin xcs x的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(3π,4)))(k∈Z)，
∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确.
故选AB.
11. 已知f(x)＝eq \f(1,2)(1＋cs 2x)sin2x(x∈R)，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为eq \f(1,4)
D．f(x)的最小正周期T＝π
【解析】∵f(x)＝eq \f(1,4)(1＋cs 2x)(1－cs 2x)
＝eq \f(1,4)(1－cs22x)
＝eq \f(1,4)sin22x
＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)，
∴f(－x)＝eq \f(1,8)[1－cs 4(－x)]
＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)＝f(x)，
T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2)，
f(x)的最大值为eq \f(1,8)×2＝eq \f(1,4)，
故A，B，C正确，D错误．
故选ABC.
12. 下列说法不正确的是( )
A．存在x∈R，使得1－cs3x＝lg2eq \f(1,10)
B．函数y＝sin 2xcs 2x的最小正周期为π
C．函数y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))
D．若角α的终边经过点(cs(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角
【解析】在A中，因为cs x∈[－1,1]，
所以1－cs3x≥0，
因为lg2eq \f(1,10)所以不存在x∈R，
使得1－cs3x＝lg2eq \f(1,10)，故A错误；
在B中，函数y＝sin 2xcs 2x＝eq \f(1,2)sin 4x的最小正周期为eq \f(π,2)，故B错误；
在C中，令2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
得x＝－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以函数y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))，k∈Z，故C错误；
在D中，因为cs(－3)＝cs 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确．
故选ABC.
【填空题】
13. 若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，则tan 2α＝ .
【解析】∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(10),10)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－3，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(－2×3,1－－32)＝eq \f(3,4).
14. 已知sin α＝cs 2α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan α＝ .
【解析】∵sin α＝cs 2α＝1－2sin2α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴sin α＝eq \f(1,2)或sin α＝－1(舍去)，
∴α＝eq \f(5π,6)，则tan α＝tan eq \f(5π,6)＝－tan eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3).
15. 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，则sin 2θ－2cs2θ＝ .
【解析】∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝3，
∴tan θ＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－tan \f(π,4),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))tan \f(π,4))＝eq \f(3－1,1＋3)＝eq \f(1,2)，
∴sin 2θ－2cs2θ＝eq \f(2sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2tan θ－2,tan2θ＋1)＝eq \f(1－2,\f(1,4)＋1)＝－eq \f(4,5).
16. eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝ .
【解析】原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°,cs 12°)－3,22cs212°－1sin 12°)
＝eq \f(\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 12°),2cs 24°sin 12°)
＝eq \f(2\r(3)sin－48°,2cs 24°sin 12°cs 12°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,sin 24°cs 24°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝2cs2x＋2eq \r(3)sin x·cs x.
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(11,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，求cs α的值．
【解析】(1)因为f(x)＝2cs2x＋2eq \r(3)sin xcs x
＝1＋cs 2x＋eq \r(3)sin 2x
＝1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))
＝1＋2sin eq \f(5π,6)＝1＋1＝2.
(2)由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(11,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝eq \f(4\r(3)＋3,10).
18. 如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于eq \f(1,2)？
【解析】设∠PAB＝α，连接PB.
∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°.
又AB＝1，∴PA＝cs α，
PB＝sin α.
∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α.
又PC＝1，
∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC
＝eq \f(1,2)PA·PB＋eq \f(1,2)PB·PC·sin α
＝eq \f(1,2)cs αsin α＋eq \f(1,2)sin2α
＝eq \f(1,4)sin 2α＋eq \f(1,4)(1－cs 2α)
＝eq \f(1,4)(sin 2α－cs 2α)＋eq \f(1,4)
＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(1,4)，
由已知，得eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴2α－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
∴2α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,4)，
∴α＝eq \f(π,4)，故当点P位于AB的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于eq \f(1,2).
19. 已知0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，cs α＝eq \f(3,5)，cs(β＋α)＝eq \f(5,13).
(1)求sin β的值；
(2)求eq \f(sin 2α,cs2α＋cs 2α)的值.
【解析】(1)由0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，cs α＝eq \f(3,5)，
cs(β＋α)＝eq \f(5,13)，得sin α＝eq \f(4,5)，sin(β＋α)＝eq \f(12,13).
所以sin β＝sin[(β＋α)－α]
＝sin(β＋α)cs α－cs(β＋α)sin α
＝eq \f(12,13)×eq \f(3,5)－eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(16,65).
(2)因为cs α＝eq \f(3,5)，sin α＝eq \f(4,5)，
所以eq \f(sin 2α,cs2α＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α,2cs2α－sin2α)
＝eq \f(2×\f(4,5)×\f(3,5),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝12.
20. 已知0<α(1)求sin 2β的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值.
【解析】(1)法一 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝cseq \f(π,4)cs β＋sineq \f(π,4)sin β＝eq \f(\r(2),2)cs β＋eq \f(\r(2),2)sin β＝eq \f(1,3)，
所以cs β＋sin β＝eq \f(\r(2),3)，
所以1＋sin 2β＝eq \f(2,9)，所以sin 2β＝－eq \f(7,9).
法二 sin 2β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
(2)因为0<α所以eq \f(π,4)<β－eq \f(π,4)所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))>0，cs(α＋β)<0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(3,5).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).
21. 已知α，β为锐角，tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解析】(1)∵tan eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，
∴tan α＝eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3).
又α为锐角，且sin2α＋cs2α＝1，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
∴sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝－eq \f(7,25).
(2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(24,25)，
则tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝－eq \f(24,7).
∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)．
又cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
∴sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
则tan(α＋β)＝eq \f(sinα＋β,csα＋β)＝－2，
∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
22. 已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)＋sin \f(x,2)，2sin \f(x,2)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(x,2)－sin \f(x,2)，\r(3)cs \f(x,2)))，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，f(β)＝eq \f(6,5)，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值．
【解析】(1)f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)＋2eq \r(3)sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)
＝cs x＋eq \r(3)sin x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，
令x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得x＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
∴f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)由α，β为锐角，cs(α＋β)＝eq \f(12,13)，
得sin(α＋β)＝eq \f(5,13)，
∵0<β又f(β)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))＝eq \f(6,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，
∴eq \f(π,6)<β＋eq \f(π,6)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,6)))＝eq \f(63,65)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α－\f(π,6)))
＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(126,65).