2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题16利用导数研究函数的单调性（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题16利用导数研究函数的单调性（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
【考点预测】
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】
1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
【方法技巧】
1.确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
4.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
5.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
6.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
二、【题型归类】
【题型一】不含参数的函数的单调性
【典例1】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
【典例2】若函数f(x)＝eq \f(ln x＋1,ex)，则函数f(x)的单调递减区间为________．
【典例3】已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为____________．
【题型二】含参数的函数的单调性
【典例1】已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．
【典例2】已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在(2，＋∞)上为单调函数，求实数a的取值范围．
【典例3】已知函数f(x)＝eq \f(ex,2)－eq \f(1,ex)－ax(a∈R)．
(1)当a＝eq \f(3,2)时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．
【题型三】比较大小或解不等式
【典例1】已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))，f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的大小关系为( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))
B．f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)))>f(1)
【典例2】已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________．
【典例3】设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
A．g(a)<0C．0【题型四】根据函数的单调性求参数的范围
【典例1】已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2))上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【典例2】若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－eq \r(2)，＋∞)
【典例3】已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
三、【培优训练】
【训练一】设函数f(x)＝sin x＋ex－e－x－x，则满足f(x)＋f(5－3x)<0的x的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))
【训练二】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A.f(x)＜0恒成立
B.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0
C.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＞eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)
D.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＜eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)
【训练三】已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f′（x）＋\f(m,2)))在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围.
【训练四】对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x3－6x2＋4，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋…＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(199,100)))＝________.
【训练五】已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2－(a＋1)x＋ln x(a>0)，讨论函数f(x)的单调性．
【训练六】已知函数f(x)＝eq \f(aex,x).
(1)若a>0，求f(x)的单调区间；
(2)若对∀x1，x2∈[1,3]，x1≠x2都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<2恒成立，求实数a的取值范围．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2. 下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
3. 已知函数f(x)＝x2＋eq \f(a,x)，若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
4.已知函数f(x)＝sin x＋cs x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
5. 已知f(x)＝eq \f(ln x,x)，则( )
A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2)
C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2)
6. 若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
7. 函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
8. 设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
【多选题】
9. 若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是( )
A．－3 B．－1 C．0 D．
10. 若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为( )
A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
11. 定义在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，4))上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0，4)上单调递增
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上单调递减
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极小值
12. 已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
A．f(x)<0恒成立
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))【填空题】
13. 已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是________．
14. 函数f(x)＝ln x－eq \f(x,1＋2x)为________函数．(填“增”或“减”)
15. 若函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)x2＋2ax在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
16. 已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2－3x＋4ln x在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是________．
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))).
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
18. 已知函数f(x)＝eq \f(b,ex)－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性．
19. 函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
20. 讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.
21. 已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－2aln x＋(a－2)x.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
22. 已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋a,ex)，a∈R.
(1)若f(x)在x＝1处的切线与直线y＝x－1垂直，求a的值；
(2)讨论f(x)的单调性．条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数