2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题11对数与对数函数（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题11对数与对数函数（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
【考点预测】
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①algaN＝N；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.
【常用结论】
1.换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【方法技巧】
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
二、【题型归类】
【题型一】对数的化简与求值
【典例1】(1)计算lg535＋2lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514的值．
(2)计算(lg2125＋lg425＋lg85)(lg1258＋lg254＋lg52)的值．
(3)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则eq \f(lgz,4lgx)＋eq \f(lgz,lgy)的最小值为________．
【典例2】(1)计算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；
(2)计算(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)的值；
(3)设函数f1(x)＝x，f2(x)＝lg2015x，ai＝eq \f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，记Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，则( )
A．I1＜I2
B．I1＝I2
C．I1＞I2
D．I1与I2的大小关系无法确定
【典例3】设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100
【题型二】对数函数的图象及应用
【典例1】已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0C．0【典例2】若方程4x＝lgax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上有解，则实数a的取值范围为 ．
【典例3】已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为( )
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
【题型三】对数型复合函数的综合问题
【典例1】已知函数f(x)＝lgeq \s\d9(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；
(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．
【典例2】已知函数f(x)＝lg4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【典例3】已知函数f(x)＝lgaeq \f(1－mx,x－1)是奇函数(a＞0，a≠1)．
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性；
(3)当a＝eq \f(1,2)时，若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋b恒成立，求实数b的取值范围．
【题型四】比较指数式、对数式大小
【典例1】设a＝lg3e，b＝e1.5，c＝ ，则( )
A．bC．c【典例2】设a＝lg63，b＝lg126，c＝lg2412，则( )
A．bC．a【典例3】设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
【题型五】解对数方程、不等式
【典例1】方程lg2(x－1)＝2－lg2(x＋1)的解为________．
【典例2】已知不等式lgx(2x2＋1)【典例3】若lga(a＋1)0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
【题型六】对数函数性质的综合应用
【典例1】设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减
【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
【典例3】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋lg2x，x≥1，))若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________
三、【培优训练】
【训练一】已知lga(a＋1)0且a≠1)，则a的取值范围是 ．
【训练二】已知函数f(x)＝lg2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．
【训练三】已知函数f(x)＝lgeq \f(x－1,x＋1).
(1)计算：f(2 020)＋f(－2 020)；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)【训练四】设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)＝lga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
【训练五】已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；
(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；
(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；
(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是________.
【训练六】已知函数f(x)＝3－2lg2x，g(x)＝lg2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq \r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c2. 若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．lg2x B.eq \f(1,2x) C． D．2x－2
3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
4. 若函数f(x)＝lga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
5. 设函数f(x)＝lga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
6. 若函数y＝lga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )
A．0C．17. 已知函数f(x)＝lg3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4xA．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1)
8. 设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(21－x，x≤1，,1－lg2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1，2] B．[0，2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
【多选题】
9. 已知a，b>0且a≠1，b≠1，若lgab>1，则( )
A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
10. 已知函数f(x)＝lg2(1－|x|)，则关于函数f(x)有下列说法，其中正确的说法为( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的最大值为0
D．f(x)在区间(－1,1)上单调递增
11. 已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( )
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
12. 在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝lgbx的图象如图，则下列关系不正确的是( )
A．k＜0，0＜b＜1
B．k＞0，b＞1
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))g(1)＞0(x＞0)
D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0
【填空题】
13. 设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝________．
14. 已知函数y＝lga(x＋3)－eq \f(8,9)(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(lg32)＝________．
15. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x＋b，x>1，,ex－2，x≤1，))若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．
16. 已知函数f(x)＝－lg2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①函数f(|x|)为偶函数；
②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；
③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．
【解答题】
17. 已知函数f(x－3)＝lgaeq \f(x,6－x)(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
18. 设f(x)＝lga(1＋x)＋lga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上的最大值．
19. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝lgeq \f(1,2)x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
20. 当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，求a的取值范围？
21. 已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
22. 已知f(x)＝lgeq \f(2x,ax＋b)，f(1)＝0，当x>0时，恒有f(x)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝lgx.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是∅，求实数m的取值范围．
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数