2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题03等式与不等式的性质（学生版）

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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题03等式与不等式的性质（学生版），共7页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
【考点预测】
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a(2)作商法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a0）.))
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
【常用结论】
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔eq \f(1,a)【方法技巧】
1.作差法一般步骤：
(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
5.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：
一是必须严格运用不等式的性质；
二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
二、【题型归类】
【题型一】比较两个数(式)的大小
【典例1】若a<0，b<0，则p＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pq D．p≥q
【典例2】已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【典例3】已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________
【题型二】不等式的性质
【典例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) B.eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)
C.eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)
【典例2】下列命题为真命题的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aC．若c>a>b>0，则eq \f(a,c－a)D．若a>b>c>0，则eq \f(a,b)>eq \f(a＋c,b＋c)
【典例3】(多选)若eq \f(1,a)A.eq \f(1,a＋b)0
C．a－eq \f(1,a)>b－eq \f(1,b) D．ln a2>ln b2
【题型三】应用性质判断不等式是否成立
【典例1】已知a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③eq \r(a－b)>eq \r(a)－eq \r(b)；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
【典例2】已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb＋abn－an＋1－bn＋1的正负情况为 ( )
A．恒为正
B．恒为负
C．与n的奇偶性有关
D．与a，b的大小有关
【典例3】如果0＜m＜b＜a，则( )
A．cseq \f(b＋m,a＋m)＜cseq \f(b,a)＜cseq \f(b－m,a－m)
B．cseq \f(b,a)＜cseq \f(b－m,a－m)＜cseq \f(b＋m,a＋m)
C．cseq \f(b－m,a－m)＜cseq \f(b,a)＜cseq \f(b＋m,a＋m)
D．cseq \f(b＋m,a＋m)＜cseq \f(b－m,a－m)＜cseq \f(b,a)
【题型四】求代数式的取值范围
【典例1】若1<α<3，－4<β<2，则eq \f(α,2)－β的取值范围是________．
【典例2】若角α，β满足－eq \f(π,2)<α<β【典例3】已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq \f(c,a)的取值范围是( )
A．－3C．－2三、【培优训练】
【训练一】已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b≤c B.b≤c＜a
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
【训练二】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则eq \f(c,a)的取值范围是________．
【训练三】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
【训练四】设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②aclgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)).
其中所有正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【训练五】(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是( )
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.eq \f(c,a)－eq \f(d,b)＞0
【训练六】若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0.
(2)求证：eq \f(b＋c,（a－c）2)＜eq \f(a＋d,（b－d）2).
(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足eq \f(b＋c,（a－c）2)＜所求式＜eq \f(a＋d,（b－d）2)？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)
C．f(x)2. 若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是( )
A．－nC．m<－n<－m3. 已知a，b为非零实数，且aA．a2a2b
C．eq \f(1,ab2)4. 设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5. 已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq \f(1,a)A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6. 下列命题中，正确的是( )
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若eq \f(1,a)D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
7. 已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
8. 已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b【多选题】
9. 已知cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb210. 有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋fA．b>c>f B．b>e>f
C．c>e>f D．b>e>c
11. 若0c>1，则( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)))a>1 B.eq \f(c－a,b－a)>eq \f(c,b)
C．ca－112. 下列命题为真命题的是( )
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则eq \f(c,a2)>eq \f(c,b2)
D．若a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则ab<0
【填空题】
13. 若a114. 若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
15. 设a>b，有下列不等式：①eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)；②eq \f(1,a)|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序号)
16. 已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
【解答题】
17. 已知a＋b>0，试比较eq \f(a,b2)＋eq \f(b,a2)与eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的大小．
18. (1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d)；
(2)已知c>a>b>0，求证：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).
19. 已知－120. 已知a>b>0，c|c|，求证：
(1)b＋c>0；
(2) eq \f(b,a－c) < eq \f(a,b－d) .
21. 观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
(1)若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明．
(2)若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由)．
22. 某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人．
(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？

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