2024年新高考数学一轮复习达标检测第43讲直线的倾斜角斜率与直线的方程（教师版）

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A．30°B．45°C．135°D．150°
【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．
【解答】解：一条直线过点A （1，0）和B（﹣2，3），则该直线的斜率为 ＝﹣1，
故该直线的倾斜角为135°，
故选：C．
2．已知直线l过点A（﹣1，），B（2，m）两点，若直线l的倾斜角是，则m＝（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【分析】根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值．
【解答】解：设直线l的斜率为k，则k＝＝tan＝﹣，
故m＝﹣2．
故选：A．
3．已知A（2，0），B（0，2），若直线y＝k（x+2）与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．[1，+∞）
C．[0，1]D．（﹣0，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】先求出直线MA的斜率和直线MB的斜率，再根据题意求得k的范围．
【解答】解：由于直线y＝k（x+2）的斜率为k，且经过定点（﹣2，0），设此定点为M，
直线MA的斜率为＝0，直线MB的斜率为 ＝1，
故 0≤k≤1，
故选：C．
4．若直线l过点（2，3）且倾角为45°，若直线l与y轴交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
【分析】先求出直线l的方程为y﹣3＝tan45°（x﹣2），即x﹣y+1＝0，由此能求出点P的坐标．
【解答】解：∵直线l过点（2，3）且倾角为45°，
∴直线l的方程为y﹣3＝tan45°（x﹣2），
整理得：x﹣y+1＝0．
取x＝0，得y＝1．∴P（0，1），
故选：C．
5．如图所示，已知直线l1：y＝kx+b，直线l2：y＝bx+k，则它们的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l1：y＝kx+b中，k＜0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，不符合题意；
对于B，直线l1：y＝kx+b中，k＞0，b＜0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，不符合题意；
对于C，直线l1：y＝kx+b中，k＞0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＞0，k＞0，符合题意；
对于D，直线l1：y＝kx+b中，k＜0，b＞0，而直线l2：y＝bx+k，b＜0，k＜0，不符合题意；
故选：C．
6．已知直线a1x+b1y+1＝0和直线a2x+b2y+1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（ ）
A．2x+y﹣1＝0B．2x+y+1＝0C．2x﹣y+1＝0D．x+2y+1＝0
【分析】把A（2，1）坐标代入两条直线a1x+b1y+1＝0和a2x+b2y+1＝0得2a1+b1+1＝0，2a2+b2+1＝0，求出2（a1﹣a2）＝b2﹣a1，再用两点式方程求过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程．
【解答】解：把A（2，1）坐标代入两条直线a1x+b1y+1＝0和a2x+b2y+1＝0，得
2a1+b1+1＝0，2a2+b2+1＝0，
∴2（a1﹣a2）＝b2﹣b1，
过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是：，
∴y﹣b1＝﹣2（x﹣a1），则2x+y﹣（2a1+b1）＝0，
∵2a1+b1+1＝0，∴2a1+b1＝﹣1，
∴所求直线方程为：2x+y+1＝0．
故选：B．
7．已知直线l过点P（2，3），且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点．若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为（ ）
A．3x+2y﹣12＝0B．3x+2y﹣24＝0C．2x+3y﹣13＝0D．2x+3y﹣12＝0
【分析】设出直线的截距式方程，根据题意求出待定系数，可得结论．
【解答】解：设直线l的方程为，则△AOB的面积为①．
因为直线l过点P（2，3），所以②．
联立①②，解得a＝4，b＝6，
故直线l的方程为，即3x+2y﹣12＝0，
故选：A．
8．已知直线l的斜率与直线3x﹣2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为（ ）
A．15x﹣10y﹣6＝0B．15x﹣10y+6＝0
C．6x﹣4y﹣3＝0D．6x﹣4y+3＝0
【分析】先分解题意求出直线的斜率，写出直线的斜截式方程，根据题意即可求解．
【解答】解：由题意可知，直线l的斜率k＝，
设直线l的方程y＝，令x＝0可得y＝b，令y＝0可得x＝﹣，
则，
所以b＝﹣，直线l的方程为y＝即15x﹣10y﹣6＝0．
故选：A．
9．已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得|PM|＝4，则称直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
①y＝x+1； ②y＝2； ③4x﹣3y＝0； ④y＝2x+1．
A．①③B．①②C．②③D．③④
【分析】由题意得，“切割型直线”即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．求出点M到各条直线的距离，可得答案．
【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|＝4，即圆（x﹣5）2+y2＝25 和直线有交点，
即点M（5，0）到直线的距离小于或等于4．
点M（5，0）到直线①y＝x+1的距离为 3＞4，不满足条件；
点M（5，0）到直线②y＝2的距离为 2＜4，故满足条件；
点M（5，0）到直线③4x﹣3y＝0的距离为 ＝4，故满足条件；
点M（5，0）到直线④y＝2x+1的距离为＝＞4，故满足条件，
故选：C．
10．（多选）关于直线l：x﹣y﹣1＝0，下列说法正确的有（ ）
A．过点（，﹣2）B．斜率为
C．倾斜角为60°D．在y轴上的截距为1
【分析】验证点不适合方程判断A；求出直线在y轴上的截距判断D；化直线方程为斜截式，求得斜率判断B；进一步求出直线的倾斜角判断C．
【解答】解：对于直线l：x﹣y﹣1＝0，取x＝时，y＝2，故A错误；
取x＝0时，y＝﹣1，即直线在y轴上的截距为﹣1，故D错误；
化直线方程为斜截式：y＝，可得直线的斜率为，故B正确；
设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan，θ＝60°，故C正确．
故选：BC．
11．（多选）若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【解答】解：当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，
求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；
综上知，所求的直线方程为 2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．
故选：ABC．
12．直线x﹣y+1＝0的斜率为 ，倾斜角为 ．
【分析】化直线的一般方程为斜截式，得到直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角．
【解答】解：化直线x﹣y+1＝0为y＝，
可得直线的斜率为；
设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan．
则θ＝．
故答案为：；．
13．已知直线l斜率的取值范围是，则l的倾斜角的取值范围是 ．
【分析】根据直线l斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角θ的取值范围．
【解答】解：直线l斜率的取值范围是，
则l的倾斜角θ满足﹣＜tanθ＜1，其中θ∈[0，π），
所以θ的取值范围是[0，）∪（，π）．
故答案为：[0，）∪（，π）．
14．已知直线l的斜率为2，且经过点（﹣2，5），则直线l的一般式方程为 ．
【分析】利用点斜式可得直线方程．
【解答】解：直线l的斜率为2，且经过点（﹣2，5），可得直线方程为：y﹣5＝2（x+2），化为：2x﹣y+9＝0，
则直线l的一般式方程为2x﹣y+9＝0，
故答案为：2x﹣y+9＝0．
15．倾斜角为且在y轴上截距为﹣2的直线为l，则直线l的方程是 ．
【分析】由直线的倾斜角可得直线的斜率，进而可得其斜截式方程，化为一般式即可．
【解答】解：∵直线的倾斜角为，
∴直线的斜率为k＝tan＝，
又直线在y轴上截距为﹣2，
∴直线方程为y＝x﹣2，
化为一般式可得x﹣y﹣2＝0
故答案为：x﹣y﹣2＝0
16．经过点P（2，1）作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 ．
【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由题意可知，直线的斜率一定存在，故可设直线方程y﹣1＝k（x﹣2），k＜0，
令x＝0可得，y＝1﹣2k，令y＝0可得x＝2﹣，
则SAOB＝＝＝（﹣4k﹣+4），
当且仅当﹣4k＝﹣即k＝﹣时取等号，此时直线方程y﹣1＝﹣（x﹣2）即x+2y﹣4＝0．
故答案为：x+2y﹣4＝0．
17．已知直线过点（2，3），它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 ．
【分析】当直线经过原点时，直线方程为：y＝x．当直线不经过原点时，设直线方程为：+＝1，把点P（2，3）代入解得a即可得出．
【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：y＝x．
当直线不经过原点时，设直线方程为：+＝1，把点P（2，3）代入+＝1，
解得a＝4．
∴直线方程为x+2y＝8．
综上可得直线方程为：3x﹣2y＝0或x+2y﹣8＝0，
故答案是：3x﹣2y＝0或x+2y﹣8＝0．
18．已知两点A（﹣1，2），B（1，0）．
（1）求直线AB的斜率k和倾斜角α；
（2）求直线AB在y轴上的截距b．
【分析】（1）根据题意，由直线的斜率公式计算可得k的值，进而分析可得答案；
（2）根据题意，由（1）的结论求出直线的方程，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设直线AB的斜率为k，倾斜角为θ，
又由两点A（﹣1，2），B（1，0），则k＝＝﹣1，
则tanθ＝﹣1，即θ＝135°，
（2）根据题意，直线AB的斜率k＝﹣1，则其方程y＝﹣（x﹣1），
变形可得：y＝﹣x+1，直线AB在y轴上的截距b＝1；
即b＝1；
19．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程．
（1）经过点（﹣1，2）；
（2）在x轴上的截距是﹣5．
【分析】（1）由所求直线的倾斜角为135°，可得斜率k，利用点斜式即可得出．
（2）由所求直线在x轴上的截距是﹣5，又可得斜率k，即可得出直线方程．
【解答】解：（1）∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝﹣1，
又∵经过（﹣1，2），∴所求方程为x+y﹣1＝0．
（2）∵所求直线在x轴上的截距是﹣5，又有斜率k＝﹣1，
∴所求方程为x+y+5＝0．
20．求符合下列条件的直线l的方程：
（1）过点A（﹣1，﹣3），且斜率为；
（2）经过点P（3，2）且在两坐标轴上的截距（截距不为0）相等．
【分析】（1）利用点斜式可得直线l的方程．
（2）由题可设直线l的方程为：+＝1，将点P（3，2）代入上式，得a．
【解答】解：（1）利用点斜式可得：直线l的方程为：y+3＝﹣（x+1），化为：x+4y+13＝0．
（2）由题可设直线l的方程为：+＝1，
将点P（3，2）代入上式，得：a＝5，
∴直线l的方程为：x+y﹣5＝0．
21．已知直线2x+my﹣2m﹣1＝0，不经过第二象限，求m的取值范围？
【分析】分类讨论，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）当直线过一，三，四象限时，
，解得﹣＜m＜0；
（2）当直线过原点时，
＝0，解得m＝﹣；
（3）当直线斜率不存在时，m＝0，代入满足题意；
综上所述﹣≤m≤0．
22．根据下列条件分别求出直线l的方程．
（1）直线l经过A（4，1），且横、纵截距相等；
（2）直线l平行于直线3x+4y+17＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24．
【分析】（1）直线l经过原点时满足条件，可得直线方程．直线l不经过原点时，设直线方程为：x+y＝a，把A（4，1）代入可得：a．
（2）设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，与坐标轴的交点分别为：（0，﹣），（﹣，0）．根据三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）直线l经过原点时满足条件，可得直线方程为：y＝x，即x﹣4y＝0．
直线l不经过原点时，设直线方程为：x+y＝a，把A（4，1）代入可得：a＝4+1＝5．
∴直线l的方程为：x+y﹣5＝0．
综上可得：直线l的方程为：x+y﹣5＝0，或x﹣4y＝0．
（2）设直线l的方程为：3x+4y+m＝0，
与坐标轴的交点分别为：（0，﹣），（﹣，0）．
∴×|﹣|•|﹣|＝24，解得：m＝±24．
∴满足条件的直线方程为：3x+4y±24＝0．
[B组]—强基必备
1．已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（1，1），D（﹣1，1），直线y＝kx+m（k＞0）将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【分析】根据ABCD四点的坐标知四边形ABCD是梯形，且其面积为6，根据直线y＝mx﹣3将四边形ABCD分成面积相等的两部分可知：直线分成的两个梯形的面积均为3，根据此条件求出m的值即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，0），B（2，0），C（1，1），D（﹣1，1），如图，四边形的面积为×（4+2）×1＝3，
①若直线在第一象限与CD相交，设交点为F，则直线必与OA交于一点，设为E，
连接BF，DE，要使直线平分梯形，只须CF+BE＝DF+AE＝3，设BE＝t，则E点坐标为（2﹣t，0），F点坐标为（t﹣2，1），EF关于（0，）对称，此时m＝
②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y＝2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，
（1）若与AB相交，设交点为E点坐标为（t，0），则BE＝2﹣t，∴三角形BEF在BE边上的高为≤1，F点横坐标为（2﹣，），其中
﹣2≤t＜1，经计算，m＝（﹣2≤t＜1），当t＝﹣1时，m有最大值，m＝﹣2时有最小值，
若两交点分别在AD和BF上，如图此时，过A点时，m最大，为，当斜率k→0时，有最小值（取不到））
综上，m∈
故选：D．
2．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【分析】（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；
（2）把直线转化为y＝x﹣，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，
（3）由题意可得a的范围，分别令x＝0，y＝0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．
【解答】解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，
联立，解得，
∴直线恒过定点（，）；
（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，
当a＝2时，x＝，满足题意，
当a≠2时，
∴y＝x﹣，
∵直线不经过第二象限，∴，
解得a＞2．
∴实数a的取值范围是[2，+∞）；
（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，
令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．
∴S△＝•|•|＝||，
对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣
所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，
∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．
此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．