2024年新高考数学一轮复习达标检测第47讲椭圆及其性质（教师版）

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A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b
【分析】由椭圆离心率及隐含条件a2＝b2+c2得答案．
【解答】解：由题意，，得，则，
∴4a2﹣4b2＝a2，即3a2＝4b2．
故选：B．
2．以椭圆的长轴端点作为短轴端点，且过点（﹣4，1）的椭圆的焦距是（ ）
A．16B．12C．8D．6
【分析】求出椭圆短轴的端点坐标（0，±3），从而可以设出所求椭圆方程，结合它经过点（﹣4，1）列出关于a2的等式，然后求解椭圆的焦距．
【解答】解：以椭圆的长轴端点作为短轴端点（0，±3），
因此可设所求的椭圆方程为，
∵经过点（﹣4，1），
∴＝1，解之得a2＝18，a＝3，b＝3，则c＝3，
因此，所求椭圆的焦距为6．
故选：D．
3．已知椭圆的离心率为，则实数m＝（ ）
A．±2B．C．D．±3
【分析】利用椭圆的离心率，列出方程求解m即可．
【解答】解：椭圆的离心率为，
可得＝，
解得m＝．
故选：B．
4．过点（2，），焦点在x轴上且与椭圆+＝1有相同的离心率的椭圆方程为（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】设出椭圆方程，利用点在椭圆上，转化求解即可．
【解答】解：设焦点在x轴上且与椭圆+＝1有相同的离心率的椭圆方程+＝λ（λ＞0），
把点（2，）代入椭圆方程，
可得：λ＝2，
所求椭圆方程为：+＝1．
故选：D．
5．已知椭圆C的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0，C的长轴长为2a，过F1的直线与C交于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|＝5|AB|，则|AF2|＝（ ）
A．B．aC．D．a
【分析】设出椭圆方程，利用已知条件，结合椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：由题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），连接AF2，
如图所示：∵|AF1|＝3|BF1|，则|BA|＝4|F1B|，
又4|BF2|＝5|AB|＝20|F1B|，可得|BF2|＝5|BF1|，
由椭圆定义可得：|AF1|+|AF2|＝2a＝6|F1B|，所以|BF1|＝a，
|AF1|＝a，可得|AF2|＝2a﹣a＝a，
故选：D．
6．已知椭圆的右焦点为F，以C上点M为圆心的圆与x轴相切于点F，并与y轴交于A，B两点．若，则C的焦距为（ ）
A．B．2C．D．4
【分析】用c表示出M点坐标，根据垂径定理得出A，B的坐标，利用向量的数量积公式，计算c的值即可．
【解答】解：设F（c，0），把x＝c代入椭圆方程可得+＝1，解得y2＝，
不妨设M在第一象限，则M（c，），故圆M的半径为，
∴AB＝，∴A（0，+），B（0，﹣），
∴＝（﹣c，+），＝（﹣c，﹣），
∴＝c2+﹣（﹣c2）＝4，解得c2＝2，c＝，
∴椭圆C的焦距为2c＝2．
故选：C．
7．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．+y2＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．
【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，
∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．
在Rt△AF2O中，cs∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF2F1＝，
根据cs∠AF2O+cs∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为：+＝1．
故选：B．
8．已知椭圆，焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）．过F1（﹣2，0）作倾斜角为60°的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O（O为坐标原点）为邻边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则b2＝（ ）
A．B．C．4D．12
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），四边形OF1AB为平行四边形，推出y1＝y2，推出x1＝﹣x2，又F1A∥OB，求出A的坐标，代入椭圆方程，利用c＝2，所以a2﹣b2＝c2即可求出b2，得到选项．
【解答】解：依题意可知，c＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为四边形OF1AB为平行四边形，所以y1＝y2，
又，，
所以x1＝﹣x2，又F1A∥OB，
且直线F1A的倾斜角为60°，所以，
因为y1＝y2，x2＝﹣x1，所以x1＝﹣1，x2＝1，，
所以，将其代入，得➀
又c＝2，所以a2﹣b2＝c2②
所以联立①②解得，，
故选：B．
9．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若，则椭圆C的长轴长为
【分析】由焦距的值及P的坐标可得PF2⊥x轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P，F2，Q三点共线时|QP|+|QF1|取到最小值，因为P在椭圆内可得b＞1，可得短轴长大于2，由P在椭圆内可得长轴长2a大于|PF1|+|PF2|，进而可得椭圆的离心率的范围；，可得F1为PQ的中点，由P，F1的坐标求出Q的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a＝|QF1|+|QF2|的值．
【解答】解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，
A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；
B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；
C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正确；
D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），
所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D正确，
故选：AD．
10．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 ．
【分析】利用已知条件列出不等式求解即可．
【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
可得1﹣m＞m＞0，解得m∈．
故答案为：（0，）．
11．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为 ．
【分析】利用已知条件求出b，结合两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，得到ac关系式，然后求解a，即可得到椭圆方程．
【解答】解：椭圆的短轴长为，即，∴，即a2﹣c2＝24（*）．
∵2个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，
∴，得a＝5c，代入（*）式，
解得c＝1，a＝5，
故该椭圆的标准方程为．
故答案为：．
12．已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，若|AF1|﹣|BF2|＝，则△AF1F2的面积为 ．
【分析】由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0），，可得xA，由，可得xB
即可得k2，从而求得yA即可．
【解答】解：设直线AF1的方程为y＝k（x+1），直线BF2的方程为y＝k（x﹣1），（其中k＞0）．
，可得xA＝，由，可得xB＝，
由椭圆的焦半径公式及|AF1|﹣|BF2|＝，可得，
故，
∴，解得k2＝1，
∴xA＝0，yA＝1，
∴则△AF1F2的面积为s＝．
故答案为：1．
13．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是 ．
【分析】利用已知条件求出a，b，结合椭圆的定义，利用基本不等式转化求解表达式的最小值即可．
【解答】解：据题意，b＝1，解得a＝2，，
于是|PF1|+|PF2|＝2a＝4，
所以
＝，
当且仅当|PF2|＝2|PF1|，即，时等号成立．
故答案为：．
14．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有∠AFB≥120°，则椭圆C离心率的取值范围为 ．
【分析】设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，于是把原问题转化为求∠FAE≤60°时，离心率的取值范围；然后在△AFE中，结合椭圆的定义、余弦定理和基本不等式列出关于离心率e的不等式，解之即可得解．
【解答】解：如图所示，设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE是平行四边形，
∵∠AFB≥120°，∴∠FAE≤60°．
设AE＝m，AF＝n，
由椭圆的定义可知，m+n＝2a，由基本不等式的性质可知，mn≤，
在△AFE中，由余弦定理知，cs∠FAE＝＝
＝，
∵∠FAE≤60°，
∴cs∠FAE∈[，1），
∴1﹣2e2，解得，
∵0＜e＜1，
∴离心率e∈（0，]．
故答案为：（0，]．
15．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是 ．
【分析】设A，Q的坐标，由题意可得B，P的坐标，由AB⊥AQ及B，M，N三点共线可得，将A，Q的坐标代入椭圆的方程可得+＝0，进而可得a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），Q（x2，y2）），
则B（﹣x1，﹣y1），P（x1，﹣y1），
由AB⊥AQ，则，
再由B，M，Q三点共线，则，
故，即，
又因为，，
即+＝0，
所以，故椭圆C的离心率是．
故答案为：．
16．已知椭圆+＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是 ．
【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．
【解答】解：椭圆＝1的a＝3，b＝，c＝2，e＝，
设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，
线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，
连接AO，可得|PF'|＝2|AO|＝4，
设P的坐标为（m，n），可得3﹣m＝4，可得m＝﹣，n＝，
由F（﹣2，0），可得直线PF的斜率为
＝．
另解：由|PF'|＝2|AO|＝4，|PF|＝6﹣4＝2，|FF'|＝2c＝4，
可得cs∠PFF'＝＝，
sin∠PFF'＝＝，
可得直线PF的斜率为＝．
故答案为：．
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）已知某椭圆的左右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点；
（2）椭圆经过点，．
【分析】（1）设出椭圆标准方程，再由已知结合定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出椭圆标准方程，再由已知结求得a，b的值，则椭圆标准方程可求．
【解答】解：（1）设椭圆方程：（a＞b＞0），
则2a＝|PF1|+|PF2|＝，
∴a＝．
∵b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆方程：；
（2）设椭圆：（a＞b＞0），
由题可知：a＝，b＝，
∴椭圆方程：．
18．已知椭圆的短轴长为2．
（1）若椭圆C经过点，求椭圆C的方程；
（2）A为椭圆C的上顶点，B（0，3），椭圆C上存在点P，使得．求椭圆C的离心率的取值范围．
【分析】（1）先求出b的值，将点的坐标代入建立方程进行求解即可．
（2）设出P的坐标，根据长度关系，联立方程组求出P的横坐标，结合椭圆x的范围以及离心率关系进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，即b＝1．
因为椭圆C经过点，所以，
所以，解得a2＝4．
故椭圆C的方程为．
（2）由（1）可知A（0，1），设P（x，y），则①
因为，所以|PB|2＝3|PA|2，
所以x2+（y﹣3）2＝3[x2+（y﹣1）2]，即x2+y2＝3．②
联立①②，解得．
因为﹣a≤x≤a，所以0≤x2≤a2，所以，解得a2≥3，
于是，即，
则，即，即．
故椭圆C的离心率的取值范围是．
19．已知椭圆，C的中心为O，左、右焦点分别为F1，F2．上顶点为A，右顶点为B，且|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）判断△F1AB的形状，并说明理由．
【分析】（1）由题意可得A，B，F2的坐标，再由|OB|、|OA|、|OF2|成等比数列．可得，ab，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出离心率；
（2）由题意知A，B，F1的坐标，和题意b2＝ac，可得向量以＝0，即可得向量的垂直，即三角形为直角三角形．
【解答】解（1）设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，
则|OB|＝a，|OA|＝b，|OF2|＝c，
由题设可得b2＝ac及b2＝a2﹣c2可得c2+ac﹣a2＝0，
即e2+e﹣1＝0，解得e＝，而e∈（0，1），
所以椭圆的离心率为e＝；
（2）设椭圆的方程为：+＝1（a＞b＞0），则A（0，b），B（a，0），F1（﹣c，0），
因为b2＝ac，＝（﹣c，﹣b），＝（a，﹣b），
所以＝﹣ac+b2＝0，所以AF1⊥AB，
即△ABF1为直角三角形．
20．已知F1，F2是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
【分析】（1）根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；
（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b＝4，根据x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，
【解答】解：（1）连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝（+1）c，
故曲线C的离心率e＝＝﹣1．
（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在当且仅当：|y|•2c＝16，
•＝﹣1，+＝1，
即c|y|＝16，①
x2+y2＝c2，②
+＝1，③
由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，
由②③得x2＝（c2﹣b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．
所以b＝4，a的取值范围为[4，+∞）．
[B组]—强基必备
1．圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系．如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意作出平面图形，当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，
【解答】解：当α与底面趋于平行时，τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0．
当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．
如图，A，B为长轴，F为焦点时，e最大．a+c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，
所以，则e＝＝．
则离心率的取值范围是．
故选：B．
2．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心．当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为 ．
【分析】由题意可得取特殊情况时GI存垂直于x轴，由于这些IG的倾斜角时不随P的为变化的，所以IG始终垂直于x轴，设P的坐标，由重心性质及角平分线的性质可得的比值，由△MIN与△MPE相似可得I的坐标，再由三角形PF1F2的面积相等，内切圆的半径代入可得a，c的关系，求出离心率．
【解答】解：当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，
则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|＝，
由内切圆的性质可得，PG＝PA，F1Q＝F1N，NF2＝AF2，
所以PF1﹣PF2＝（PQ+QF1）﹣（PA+AF2）＝F1N﹣NF2＝（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）＝2ON＝，
而PF1+PF2＝2a，所以PF1＝a+，PF2＝a﹣，
由角平分线的性质可得＝，
即＝，所以可得OM＝，
所以可得MN＝ON﹣OM＝﹣＝，
所以ME＝OE﹣OM＝x0﹣＝，
所以＝＝，即IN＝•PE＝•y0，
s＝（PF1+F1F2+PF2）•IN＝，即（2a+2c）＝，
所以整理为：＝，
故答案为：．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），下顶点为P，过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A，B两点．
（1）当直线l平行于x轴时，P，F，A三点共线，且PA＝，求椭圆C的方程；
（2）当椭圆C的离心率为何值时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB？
【分析】（1）当直线l与x轴平行时，即l：y＝b，作AD⊥x轴交x轴于点D，则根据＝，可得A（c，b），由PA＝PF＝＝a＝，求出a＝，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l平行于x轴时，由PA⊥PB，得kPA•kPB＝＝﹣1，从而求出e＝；当直线l不平行于x轴时，由e＝，把椭圆可化为x2+3y2＝3b2，设直线l的方程为y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）＝0，利用韦达定理推导出PA⊥PB，由此求出当椭圆C的离心率为时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB．
【解答】解：（1）当直线l与x轴平行时，即l：y＝b，
如图，作AD⊥x轴交x轴于点D，则根据＝，可得A（c，b），
且PA＝PF＝＝a＝，解得a＝，
又因为A在椭圆上，所以，解得c2＝a2＝1，所以b2＝3﹣1＝2，
所以椭圆C的方程为；
（2）①当直线l平行于x轴时，
由PA⊥PB，得kPA•kPB＝＝﹣1，
∴a2＝3b2，又a2＝b2+c2，∴2a2＝3c2，∴e2＝，
∵e∈（0，1），∴e＝．
②当直线l不平行于x轴时，下面证明当e＝时，总有PA⊥PB，
事实上，由①知椭圆可化为＝1，∴x2+3y2＝3b2，
设直线l的方程为y＝kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（1+3k2）＝0，
∴，x1x2＝，
∵，，
∴＝x1x2+（y1+b）（y2+b）＝
＝
＝
＝+
＝﹣＝0．
∴PA⊥PB，
综上，当椭圆C的离心率为时，对任意的动直线l，总有PA⊥PB．