2024年新高考数学一轮复习达标检测第28讲平面向量基本定理及坐标表示（教师版）

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A．B．C．6D．
【分析】根据即可得出，然后解出即可．
【解答】解：，
，解得．
故选：．
2．设向量，，则
A．B．与同向
C．与反向D．是单位向量
【分析】根据条件即可得出，从而得出与反向，可求出的坐标，进而判断选项错误，从而得出正确的选项．
【解答】解：，
，
与反向，
又，不是单位向量．
故选：．
3．设向量，，若，则实数的值为
A．B．C．D．
【分析】根据即可得出，然后解出即可．
【解答】解：，
，解得．
故选：．
4．在中，点满足，则
A．B．
C．D．
【分析】在中，利用三角形法则表示出，再转化为和．
【解答】解：，
，
故选：．
5．已知是两个不共线的向量，若，，，则
A．，， 三点共线B．，， 三点共线
C．，， 三点共线D．，， 三点共线
【分析】根据共线向量基本定理，容易看出选项，，都错误，只能选．
【解答】解：，
，， 三点共线．
故选：．
6．已知在中，，，，点为的外心，若，则实数的值为
A．B．C．D．
【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案．
【解答】解：中，，，，
则，
，，
又，同理可得：，代入上式，
，解得：，，
故选：．
7．如图，在中，，为上一点，且，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据即可得出，从而得出，然后根据，，三点共线即可求出的值．
【解答】解：，
，
又，
，且，，三点共线，
，解得．
故选：．
8．（多选）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数可以为
A．B．C．1D．
【分析】求出，，由点，，能构成三角形，得到，由此能求出实数．
【解答】解：向量，
，，，，
，，，，
点，，能构成三角形，
，
，，，
解得．
实数可以为，，．
故选：．
9．（多选）设是所在平面内的一点，，则
A．B．C．D．
【分析】用向量做基底表示所有向量，然后进行运算．
【解答】解：显然成立，对，
，
，
，
，
，对，
，错，
，错，
故选：．
10．已知向量，，若，则实数 ．
【分析】根据即可得出，从而解出即可．
【解答】解：，
，解得．
故答案为：．
11．设为的边靠近的三等分点，，则 ．
【分析】利用三角形法则推出，与已知比较可得．
【解答】解：如图，
，
则，
故答案为：
12．如图，在中，，是的两个三等分点，若，则 ．
【分析】由题意可得，因为，即，又，可解出，，进而求解．
【解答】解：如图，因为，是的两个三等分点，则，
又，则，，所以．
故答案是．
13．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若，则的值为 ．
【分析】可先考虑建立平面直角坐标系，然后求出，，的坐标，结合已知即可求解．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，
，
，，，，，
，，
解可得，，，
．
故答案为：0
14．已知，不共线，向量，，且，求的值．
【分析】根据题意，设，即可得，由平面向量基本定理可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，则设，
又由，不共线，向量，，
则有
则有，解可得；
故．
15．已知平行四边形的三个顶点，，，且，，，按逆时针方向排列，求：
（1），；
（2）点的坐标．
【分析】（1）由两点间的距离公式求出，再根据平行四边形的性质球场；
（2）利用平面向量的线性运算和坐标表示，即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，
由两点距离公式得；
又因为，
所以．
（2）由题意知，，所以，
因此，，
从而点．
16．已知，．
（1）求证：，不共线；
（2）若，求实数，的值：
（3）若与平行，求实数的值．
【分析】（1）根据题意，由向量的坐标分析可得，即可得两个向量不共线；
（2）根据题意，由向量相等的定义可得，解可得答案；
（3）根据题意，设，据此变形分析可得答案．
【解答】解：（1）证明：根据题意，，，
有，故，不共线；
（2）根据题意，若，且，不共线；
则有，解可得；
（3）根据题意，若与平行，设，
即，则有，则；
故．
17．设，是两个不共线的向量，，，．
（1）若平面内不共线的四点，，，满足，求实数的值；
（2）若，，三点共线，求实数的值．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算与向量相等，列方程求出的值；
（2）由平面向量的共线定理与向量相等，列方程求出的值．
【解答】解：（1）由题意，，
，
，即，
，
解得．
（2）由、、三点共线，
．
又，
，
，
即，且，解得．
[B组]—强基必备
1．已知的内角、、的对边分别为、、，且，为内部的一点，且，若，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量基本定理，向量的线性运算可求出，与，，的数量关系；
再利用整体思想及基本不等式就能求出的最大值．
【解答】解：，
，
，
，
，
．．
又且．
又．
．．
故选：．
2．如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为 ．
【分析】根据条件便可得到，然后两边平方即可得出，而由条件，代入上式即可得出，从而配方即可求出的最小值，进而得出的最小值．
【解答】解：
；
，，代入上式得：
；
；
时，取最小值；
的最小值为．
故答案为：．