2024年新高考数学一轮复习达标检测第13讲导数的概念及运算（教师版）

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A．2B．C．1D．
【分析】根据导数的定义即可得出，从而得出正确的选项．
【解答】解：．
故选：．
2．已知函数的导函数为，若，则
A．4B．2C．1D．
【分析】可以求出导函数，从而得出，然后求出的值即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
3．函数的图象在点，（1）处的切线的倾斜角为
A．0B．C．D．
【分析】先求出函数在切点出的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．
【解答】解：函数的图象在点，（1）处的切线的斜率为，
设函数的图象在点，（1）处的切线的倾斜角为，
则，，
故选：．
4．已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，则的值为
A．B．0C．1D．2
【分析】求出函数的导数，计算（1），利用直线的斜率，列出关系式，即可求出的值．
【解答】解：曲线，可得，
所以（1），曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，
所以，解得，
故选：．
5．曲线在点，处的切线方程为
A．B．C．D．
【分析】求出导数，求得切线的斜率，切点坐标，由斜截式方程，即可得到切线的方程．
【解答】解：的导数为，
，，
曲线在点，处的切线的方程为．
即．
故选：．
6．若曲线上存在两条垂直于轴的切线，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【分析】先求出原函数的导函数，令，得到，然后将问题转化为在上有两个不同的解，再构造函数，求出的取值范围，即可得到的取值范围．
【解答】解：由，得，
令，则，
曲线存在两条垂直于轴的切线，
在上有两个不同的解．
令，则．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又当时，，．
的取值范围为．
故选：．
7．已知：过点可作函数图象的两条切线，，且，则
A．1B．C．D．2
【分析】先设切点为，然后利用导数求出切线方程，再将代入切线方程，得到关于的一元二次方程，设，为两切线，切点的横坐标，由韦达定理得到，，根据得，将韦达定理代入，即可解出的值．
【解答】解：设切点为，，故切线斜率为．
所以切线方程：，
将代入整理得：，
设，的切点横坐标分别为，，则：，．
因为，所以①．
结合韦达定理得，解得．
故选：．
8．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】分别设出切点，求出切线，然后根据切线相等，得到的切点横坐标与的关系式，转化为函数的值域问题．
【解答】解：设的切点为，，因为，
所以切线为：，即，．
设的切点为，，因为，
故切线为：．
即．．
因为是公切线，所以，
消去得，，
令，．
，开口向上，且，．
所以，故在上单调递减，故，
即，故．
故选：．
9．（多选）下列各式正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．
【解答】解：对于，，选项错误；
对于，，选项错误；
对于，，选项正确；
对于，，选项正确；
故选：．
10．已知函数，则 ．
【分析】求出函数的导数，代入，求出的值即可．
【解答】解：，
令，得，解得：，
故答案为：2019．
11．若函数，则在点，（1）处的切线方程为 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出（1），利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：，，
则（1），又（1），
在点，（1）处的切线方程为，即．
故答案为：．
12．过原点作曲线的切线，则切点为 ．
【分析】先另设切点，利用导数求出切线方程，将代入，求出切点坐标，进而得到切线方程．
【解答】解：设切点为，，因为．
故切线方程为：，
将代入得：，
解得，所以，
故切点为．
故答案为：．
13．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．
【分析】求得函数的导数，设切点为，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．
【解答】解：的导数为，
设切点为，可得，
解得，即有切点，
则切线的方程为，即，
故答案为：．
14．已知与有相同的公切线，设直线与轴交于点，，则的值为 ．
【分析】分别求得，的导数，可得切线的斜率，求得切线的方程，由直线方程相同可得关于，的方程组，解方程可得所求值．
【解答】解：，，
设与的切点为，，
可得切线的方程为，
即为，
设的切点为，，
可得切线的方程为，
即，
两函数有公切线，即令上述两切线的方程相同，
则有，可得，
所以切线的方程为，直线与轴交于点，，则．
故答案为：0．
15．求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
【分析】按照导数的计算公式、运算法则将相应的函数看成基本函数的和、差、积、商即可．
【解答】解：（1）
（2），
（3）
16．若直线是曲线的一条切线，求实数的值．
【分析】先对曲线进行求导，然后令导函数等于3求出切点坐标，代入到曲线方程可得答案．
【解答】解：设切点为，，
对求导数是，．．
（1）当时，
，在上，
，即．
又也在上，
．．
（2）当时，
，在上，
，即．
又也在上，
．．
综上可知，实数的值为或1．
17．已知：直线与抛物线为常数）交于两点，，，，且抛物线在点，处的切线互相垂直．
（1）求的值；
（2）求两条切线交点的横坐标（用表示）．
【分析】（1）先联立直线、抛物线方程，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理结合、两点处的导数积为，即可求出的值；
（2）先表示出、两点处的切线方程，然后解出交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）由，消去得：，显然．
又直线与抛物线交于两点，，，，
所以．
对求导得，
所以两条切线的斜率分别为，．
因为两条切线互相垂直，所以，
所以．
（2）由题意知切点分别为：，，
所以两条切线的方程分别为①；和②．
联立①②解方程组得：交点的横坐标为：．
18．已知函数的图象为曲线．
（1）求过曲线上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围．
【分析】（1）据切点处的导数值为曲线切线斜率，由二次函数的最值求法，求导函数的范围也就是切线斜率范围；
（2）互相垂直的切线斜率互为负倒数，由（1）求斜率范围，据切点处的导数值为曲线切线斜率，解不等式，求切点横坐标范围．
【解答】解：（1）函数的导数为
，
即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是，；
（2）设其中一条切线的斜率为，另一条为，
由（1）可知，，
解得或，
由或，
即有或或，
得：，，．
19．已知函数．
（1）设函数在点，（1）处的切线方程为，求的值；
（2）若曲线与曲线至少有一条公共切线，求的取值范围．
【分析】（1）根据切点处的导数等于切线斜率，列出方程，求出的值；
（2）先利用导数、切点，表示出的切线，然后根据与相切，则判别式为零，即可得到关于的方程，再构造关于的函数，研究其零点的个数即可．
【解答】解：（1），
，，
又函数在，（1）处的切线方程为，
（1），即，即．
（2）设公切线与函数相切于点，，则
由，得，
公切线为：，
即，
由，得：，
直线与曲线相切，，
即，
设，则，
由，得；又由，得，
函数在上单增，在上单减，
，，
与曲线至少有一条公切线时，的取值范围为，．
[B组]—强基必备
1．已知函数，其图象记为曲线，曲线上存在异于原点的点，使得曲线与其在的切线交于另一点，曲线与其在的切线交于另一点，若直线与直线的斜率之积小于，则的取值范围为 ．
【分析】，设，，，，，，写出直线方程，联立它与曲线方程得，，，同理得，，再计算，，由题意得，再求取值范围即可．
【解答】解：，
设，，，，，，，
即，
联立，得，，
同理，则，，
，，
所以，得，
令，则在上有解，
由△得，．
故答案为：，．
2．已知函数，若直线与函数，的图象均相切，则的值为 ；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是 ．
【分析】设直线与函数的图象相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求得切点和切线的方程，联立，运用判别式为0，解方程可得；设与的图象在交点处存在切线，且切点为，分别求得，的导数，可得切线的斜率，得到，，的方程，化简变形可得，设，求得导数和单调性，解方程可得，进而得到的值，结合抛物线的开口与的关系，可得所求范围．
【解答】解：设直线与函数的图象相切的切点为，
由，可得，即，切点为，
则，切线的方程为，
联立，可得，
由题意可得△，解得；
设与的图象在交点处存在切线，且切点为，
由，，
可得，，
化为，，则，
即，
设，，可得在递增，由（1），可得
的解为，
则，由的图象可得，当越大时，抛物线的开口越小，
可得此时和的图象相离，总存在直线与它们的图象都相切，
则的范围是，．
故答案为：，，．