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中职数学北师大版（2021）基础模块 下册6.8.2 圆的一般方程教学设计
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这是一份中职数学北师大版（2021）基础模块 下册6.8.2 圆的一般方程教学设计，共4页。教案主要包含了课前知识储备，学生知识储备检测，发布任务，小组讨论，完成任务，对照练习，随堂练习，课堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.以A(-2,1)为圆心、2为半径的圆的方程为 .
附录2：学生知识目标检测
1.圆的方程为x2+y2+8x−4y+18=0，其圆心坐标为 ，半径为 .授课题目
6.8.2圆的一般方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
本章将学习平面直角坐标系中两点间的距离、线段的中点坐标、点到直线的距离等知识；学习用坐标法建立直线的方程和圆的方程，通过对方程的讨论，研究直线和圆的位置关系等问题；通过对实际例子的研究，了解直线、圆在实际生产与生活中的应用；通过对坐标法的学习，培养数形结合的思维习惯，不断提升中职学生的数学运算、直观想象、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养
教学目标
知识目标
1.理解记忆圆的一般方程的代数特征
2.掌握二元二次方程表示圆的条件
3.会根据圆的一般方程求圆心的坐标和圆的半径，能用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程
能力目标
在教学过程中渗透数形结合、化归与转化等数学思想
素养目标
培养学生乐于探索的精神，提升学生数学运算的核心素养
教学重难点
重点
圆的一般方程的代数特征，二元二次方程表示圆的条件，圆的一般方程与圆的标准方程互化
难点
圆的一般方程与圆的标准方程互化
教学方法
教法
任务驱动法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
使用云班课软件做知识的检测
课程思政
在中华民族传统文化中圆是一种重要的形态，它象征着“圆满”和“饱满”.在日常生活中，圆形的物体随处可见，如天上的太阳、汽车的轮子、盘子、艺术体操运动员手中的圆环等.人们之所以制造出那么多的圆形物体，除了视觉美观外，更重要的是圆具有很多特别有用的性质
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
圆的标准方程，配方法
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
方程x−22+y2=9表示圆心为2,0,半径为3的圆，将此方程展开移项可得x2+y2−4x−5=0，也就是说二元二次方程x2+y2−4x−5=0表示的是圆心为(2,0),半径为3的圆.
方程x2+y2+2x−4y+1=0表示什么图形？方程x2+y2+2x−4y+7=0表示什么图形呢？
二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0要满足什么条件，才能是一个圆的方程？
【发布任务】
全班分小组，明确小组长的任务
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录
2.每个小组长归纳总结并展示
1.为下面的问题提供思路
2．从具体问题入手，由易到难，符合学生认知发展水平
（二）
合作探究
将方程x2+y2+2x−4y+1=0配方得x+12+y−22=4，所以它表示以−1,2为圆心，半径为2的圆.
将方程x2+y2+2x−4y+7=0配方得x+12+y−22=−2，所以它不表示任何图形.
复习配方法
学生发现不是所有二元二次方程都能表示圆
从正例和反例两方面入手，引出课题
（三）
抽象概括
对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，通过配方法可变形为x+D22+y+E22=D2+E2−4F4.
当D2+E2−4F>0时，该方程表示以−D2,−E2为圆心，半径r=D2+E2−4F2的圆；
当D2+E2−4F<0时，该方程无意义，不表示任何图形；
当D2+E2−4F=0时，该方程表示一个点−D2,−E2.
一般地，当D2+E2−4F>0时，我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程，圆心坐标为−D2,−E2，半径r=D2+E2−4F2.
对一般的二元二次方程进行配方
观察分析
抓住关键字词，并做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养
2.渗透分类讨论的数学思想
（四）
示范讲解
例1 求下列各圆的圆心坐标和半径.
(1) x2+y2−6y=0；
(2)2x2+2y2+8x−16y=0.
解 (1)方法一：根据圆的一般方程D=0，E=−6，F=0，计算−D2=0，−E2=3，D2+E2−4F2=0+36−02=3.
所以圆心为(0,3)，半径为3.
方法二：将圆的方程化成标准方程.
x2+y2−6y=0可化为x2+y−32
=9.所以圆心为(0,3)，半径为3.
(2)原方程可化简为x2+y2+4x−8y=0，即(x+2)2+(y−4)2=20.所以圆心为(−2,4)，半径为r=20=25.
例2 求与圆x2+y2−6x+8y−11=0的圆心相同，半径为4的圆的方程.
解 将x2+y2−6x+8y−11=0配方得x−32+y+42=36.可知圆心坐标为(3,−4)，故所求圆的圆心坐标也为(3,−4)，半径为4.因此，所求圆的方程为x−32+y+42=16.
例3 已知一个圆满足：圆心与x−22+y−32=11的圆心相同，半径是圆x2+y2−2x−4y+1=0的半径的两倍.求这个圆的方程.
解 x−22+y−32=11的圆心为(2,3)，将x2+y2−2x−4y+1=0配方，得x−12+y−22=4，半径为r=2.所以，所求圆的圆心为(2,3)，半径为4，方程为x−22+y−32=16.
讲解
【发布任务】
例2由学生独立完成，教师根据学情点评，多鼓励表扬
巩固
【完成任务】
学生上台讲解
1.学以致用，通过例题进一步领会圆一般方程
2.一题多解，提升学生数学思维能力
3、树立学生的学习自信
（五）
课堂练习
【对照练习】
P42【随堂练习】1，2，3题
【课堂检测】
见附录2
【发布任务】
让学生独立完成随堂练习后点评
【完成任务】
独立完成
加深圆的一般方程的理解，提升学生数学抽象核心素养
（六）
课堂小结
圆的一般方程
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充
提升学生归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
数学学习指导与能力训练P34-35必做水平一、选做水平二
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.8.2圆的一般方程
一、圆的一般方程 二、示范讲解 三、课堂练习 例
简明扼要，突出重点
课后拓展延伸
已知含有一个未知参数的方程是圆，求该参数的取值范围
反 思 诊 改
教学反思
1.以A(-2,1)为圆心、2为半径的圆的方程为 .
附录2：学生知识目标检测
1.圆的方程为x2+y2+8x−4y+18=0，其圆心坐标为 ，半径为 .授课题目
6.8.2圆的一般方程
授课类型
新授课
建议学时
1学时
单元知识概览
内容分析
本章将学习平面直角坐标系中两点间的距离、线段的中点坐标、点到直线的距离等知识；学习用坐标法建立直线的方程和圆的方程，通过对方程的讨论，研究直线和圆的位置关系等问题；通过对实际例子的研究，了解直线、圆在实际生产与生活中的应用；通过对坐标法的学习，培养数形结合的思维习惯，不断提升中职学生的数学运算、直观想象、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养
教学目标
知识目标
1.理解记忆圆的一般方程的代数特征
2.掌握二元二次方程表示圆的条件
3.会根据圆的一般方程求圆心的坐标和圆的半径，能用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程
能力目标
在教学过程中渗透数形结合、化归与转化等数学思想
素养目标
培养学生乐于探索的精神，提升学生数学运算的核心素养
教学重难点
重点
圆的一般方程的代数特征，二元二次方程表示圆的条件，圆的一般方程与圆的标准方程互化
难点
圆的一般方程与圆的标准方程互化
教学方法
教法
任务驱动法
学法
合作学习法、讨论学习法
教学资源
使用云班课软件做知识的检测
课程思政
在中华民族传统文化中圆是一种重要的形态，它象征着“圆满”和“饱满”.在日常生活中，圆形的物体随处可见，如天上的太阳、汽车的轮子、盘子、艺术体操运动员手中的圆环等.人们之所以制造出那么多的圆形物体，除了视觉美观外，更重要的是圆具有很多特别有用的性质
教学过程
第1学时
课前准备
【课前知识储备】
圆的标准方程，配方法
【学生知识储备检测】
见附录1
课中教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图、媒体资源等
（一）
情景导入
方程x−22+y2=9表示圆心为2,0,半径为3的圆，将此方程展开移项可得x2+y2−4x−5=0，也就是说二元二次方程x2+y2−4x−5=0表示的是圆心为(2,0),半径为3的圆.
方程x2+y2+2x−4y+1=0表示什么图形？方程x2+y2+2x−4y+7=0表示什么图形呢？
二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0要满足什么条件，才能是一个圆的方程？
【发布任务】
全班分小组，明确小组长的任务
【小组讨论】
1.分组讨论，由组长记录
2.每个小组长归纳总结并展示
1.为下面的问题提供思路
2．从具体问题入手，由易到难，符合学生认知发展水平
（二）
合作探究
将方程x2+y2+2x−4y+1=0配方得x+12+y−22=4，所以它表示以−1,2为圆心，半径为2的圆.
将方程x2+y2+2x−4y+7=0配方得x+12+y−22=−2，所以它不表示任何图形.
复习配方法
学生发现不是所有二元二次方程都能表示圆
从正例和反例两方面入手，引出课题
（三）
抽象概括
对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，通过配方法可变形为x+D22+y+E22=D2+E2−4F4.
当D2+E2−4F>0时，该方程表示以−D2,−E2为圆心，半径r=D2+E2−4F2的圆；
当D2+E2−4F<0时，该方程无意义，不表示任何图形；
当D2+E2−4F=0时，该方程表示一个点−D2,−E2.
一般地，当D2+E2−4F>0时，我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程，圆心坐标为−D2,−E2，半径r=D2+E2−4F2.
对一般的二元二次方程进行配方
观察分析
抓住关键字词，并做好笔记
1.培养学生的数学抽象核心素养
2.渗透分类讨论的数学思想
（四）
示范讲解
例1 求下列各圆的圆心坐标和半径.
(1) x2+y2−6y=0；
(2)2x2+2y2+8x−16y=0.
解 (1)方法一：根据圆的一般方程D=0，E=−6，F=0，计算−D2=0，−E2=3，D2+E2−4F2=0+36−02=3.
所以圆心为(0,3)，半径为3.
方法二：将圆的方程化成标准方程.
x2+y2−6y=0可化为x2+y−32
=9.所以圆心为(0,3)，半径为3.
(2)原方程可化简为x2+y2+4x−8y=0，即(x+2)2+(y−4)2=20.所以圆心为(−2,4)，半径为r=20=25.
例2 求与圆x2+y2−6x+8y−11=0的圆心相同，半径为4的圆的方程.
解 将x2+y2−6x+8y−11=0配方得x−32+y+42=36.可知圆心坐标为(3,−4)，故所求圆的圆心坐标也为(3,−4)，半径为4.因此，所求圆的方程为x−32+y+42=16.
例3 已知一个圆满足：圆心与x−22+y−32=11的圆心相同，半径是圆x2+y2−2x−4y+1=0的半径的两倍.求这个圆的方程.
解 x−22+y−32=11的圆心为(2,3)，将x2+y2−2x−4y+1=0配方，得x−12+y−22=4，半径为r=2.所以，所求圆的圆心为(2,3)，半径为4，方程为x−22+y−32=16.
讲解
【发布任务】
例2由学生独立完成，教师根据学情点评，多鼓励表扬
巩固
【完成任务】
学生上台讲解
1.学以致用，通过例题进一步领会圆一般方程
2.一题多解，提升学生数学思维能力
3、树立学生的学习自信
（五）
课堂练习
【对照练习】
P42【随堂练习】1，2，3题
【课堂检测】
见附录2
【发布任务】
让学生独立完成随堂练习后点评
【完成任务】
独立完成
加深圆的一般方程的理解，提升学生数学抽象核心素养
（六）
课堂小结
圆的一般方程
【发布任务】
让学生自主归纳总结，多鼓励表扬参与者
【归纳总结】
学生积极参与课堂小结归纳，其它同学可作补充
提升学生归纳概括能力，巩固知识点
布置作业
数学学习指导与能力训练P34-35必做水平一、选做水平二
分层练习，满足不同层次学生需求
板书设计
6.8.2圆的一般方程
一、圆的一般方程 二、示范讲解 三、课堂练习 例
简明扼要，突出重点
课后拓展延伸
已知含有一个未知参数的方程是圆，求该参数的取值范围
反 思 诊 改
教学反思
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