2024年吉林省白山市靖宇县三道湖镇兴平希望学校中考第一次模拟考试数学试题（含解析）

这是一份2024年吉林省白山市靖宇县三道湖镇兴平希望学校中考第一次模拟考试数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的相反数是（ ）
A．B．C．3D．-3
2．我国现有农村人口数量为，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是( )
A．B．
C．D．
4．甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ）
A．主视图B．俯视图C．左视图D．三种视图都改变
5．如图，，点在边上，点在边上，，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，点A、B、C、D在上，是直径，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．不等式的解集是 ．
8．计算： ．
9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ．
10．如图，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是，理由是 ．
11．元旦节前夕，班主任为学生们准备了若干块糖果，若每人分4块，则多块，若每人分5 块，则还差8块．设班级有x人，根据题意列方程得 ．
12．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若 ，则的度数为 °．
13．如图，在中，，以点B为圆心,以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心的长为半径作弧，两弧在内交于点P，交于点D．若，则线段的长为 ．
14．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，AB＝AC＝6，∠C＝30°．点P是上一动点．当点P到点D的距离最大时，的长为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，C是的中点，，．求证：．
17．桌面上有4张正面分别标有数字3，5，9，10的不透明卡片，它们除数字外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后平铺开．
(1)随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是______．
(2)先随机翻开一张卡片并记录上面的数字，再从余下的3张卡片中随机翻开一张卡片并记录上面的数字，请用列表或画树状图的方法，求翻到的两个数字之和为偶数的概率．
18．某山区因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援．已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．求每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，找一个格点C，使；
(2)在图②中，以为直角边画等腰直角三角形（画出一个即可）；
(3)在图③中，画锐角三角形，使（画出一个即可）．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
21．如图，小丽瞭望远处的建筑物．已知小丽的高度为1.6米，在点M处测得建筑物最高点A的仰角为，沿方向前进24米到达点N处，测得点A的仰角为，求建筑物的高度（参考数据：，，）．

22．某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分（为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)上表中的__________，__________，__________；
(2)这组数据的中位数所在的等级是__________；
(3)该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．某工厂同时生产甲、乙两种零件，已知每生产一个甲种零件可获得利润260元，每生产一个乙种零件可获得利润150元，工作2天后为了提高生产效率，现引进新的生产技术，对生产乙种零件的生产工人进行了新技术的培训同时停产一天，新技术培训后生产效率是之前的2倍．甲、乙生产线各自生产的零件个数y（件）与生产时间x（天）的函数关系如图所示．
(1)求生产甲种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
(2)求新技术培训后生产乙种零件的个数y（件）与工作时间x（天）的函数关系式；
(3)该工厂前7天的总利润是多少？
24．综合与实践
问题情境：
在中，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边分别与边交于点M，N，
猜想证明：
(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在中，，，，于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点B运动．以点P为顶点，在的上方作正方形，且，．设点P运动的时间为t（秒），正方形与重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
(1)的长是______；
(2)当点Q落在的边上时，求t的值；
(3)当正方形与重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
(1)求、的值；
(2)当时，，则的取值范围是____________________；
(3)当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
(4)点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【解答】解：的相反数为．
故选：A．
【点拨】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数，据此进一步求解即可．
【解答】解：数据用科学记数法表示为．
故选：C
3．B
【分析】本题考查整式的运算，掌握合并同类项法则，同底数幂相乘法则，单项式除以单项式法则及积的乘方法则是解题的关键，合并同类项法则，同底数幂相乘法则，单项式除以单项式法则及积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，计算正确，符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【解答】解：图甲和图乙的主视图相同，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；
左视图相同，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
图甲的俯视图底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形；
图乙的俯视图底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
所以三视图有改变的是俯视图．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由得到，由得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6．A
【分析】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．由由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得的度数，即可求得的度数．
【解答】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．
【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解不等式的步骤进行即可．
【解答】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：
8．9
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式进行乘法计算，再进行加减计算即可求解．
【解答】解：．
故答案为：9
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
10．垂线段最短
【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．关键是掌握垂线段的性质∶垂线段最短．从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可
【解答】解：根据“垂线段最短”的性质，可得应选择的线路是的理由是∶垂线段最短．
故答案为∶垂线段最短
11．
【分析】本题考查了列一元一次方程，根据糖果总数不变即可列方程．
【解答】解：∵每人分4块，则多块，
∴糖果总数为：；
∵每人分5 块，则还差8块，
∴糖果总数为：
∴
故答案为：
12．
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定定理的应用，根据得到，根据折叠的性质，，，再结合得到，计算即可．
【解答】∵,
∴，
根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．4
【分析】过D点作于H，根据计算，根据角平分线的性质定理，得到，计算即可．
【解答】解：过D点作于H，
∵，
∴，
由作法得平分，
又
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的基本作图及其基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
14．
【分析】先确定时，最大，进而求得，根据弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，设圆心为，连接，延长交于点，连接，
AB＝AC＝6，点D为边BC的中点，
当时，即三点共线时，最大，
∠C＝30°
是等边三角形
故答案为：
【点拨】本题考查了求弧长，垂径定理，求得时，最大是解题的关键．
15．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算．
【解答】解：
，
当时，
原式．
16．证明详见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【解答】证明：∵C是的中点，
∴
在和中，
，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【解答】（1）解：∵一共有4张卡片，其中正面数字是奇数的卡片有3张，每张卡片被翻开的概率相同，
∴随机翻开一张卡片，正面数字是奇数的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中翻到的两个数字之和为偶数的结果数有6种，
∴翻到的两个数字之和为偶数的概率为．
【点拨】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
18．每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众，根据“3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每艘小型船能坐x名群众，每艘大型船能坐y名群众，
由题意，得
解得
答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
（1）根据方格纸的特点和勾股定理求解即可；
（2）根据方格纸的特点和勾股定理逆定理求解即可；
（3）根据方格纸的特点和勾股定理逆定理求解即可．
【解答】（1）如图，线段即为所求，
（2）如图，三角形即为所求，
（3）如图，锐角三角形即为所求，
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）将两点坐标代入直线解析式求出m、n继而得到反比例函数解析式；
（2）利用直线解析式求出点C坐标，根据代入数据计算即可．
【解答】（1）∵、两点在直线的图象上，
∴当时，；当时，，
∴、．
∵、在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）在直线中，令，则，
∴，
∵，
∴．
21．建筑物的高度为17.6米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．如图，延长交于点E，则，米，米，设米，则米，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：如图，延长交于点E，

由题意，得，米，米，
设米，
∵，
∴米，
米，
在中，，
米，
，
解得，
（米），
建筑物的高度为17.6米．
22．(1)8，12，30
(2)B
(3)该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【分析】（1）由B等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以A等级的频率即可求出a的值，求得C等级的人数即可得到m的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
【解答】（1）解：总人数：（人），
等级A的人数为：（人），
等级C的人数为：（人）,
等级C的频率为：，
∴,
故答案为：8，12，30；
（2）解：由（1）可知，本次调查共抽取了40人，
A等级有8人，B等级有16人，
中位数是第20、21个数的平均数，则这组数据的中位数所在的等级是B；
故答案为：B；
（3）解：（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【点拨】本题考查了扇形统计图，统计表，用样本估计总体，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，熟练运用待定系数法求函数的关系式是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出乙当时对应x的值，再利用待定系数法求解即可；
（3）该工厂前7天的总利润=前7天生产甲种零件的利润+前7天生产乙种零件的利润，据列代数式计算即可．
【解答】（1）解：设生产甲种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（为常数，且）．
将代入，
得，
解得，
∴．
（2）解：新技术培训前的生产效率是（件/天），新技术培训后的生产效率是（件/天），
（天），（天）．
设新技术培训后生产乙种零件的个数y与工作时间x的函数关系式为（、b为常数，且）．
将和
代入，
得，
解得，
∴．
（3）解：前7天生产甲种零件的利润为（元），
生产乙种零件的利润为（元），
（元），
∴该工厂前7天的总利润是元．
24．(1)四边形为矩形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的中位线定理，得到：，得到，再根据和，即可得到四边形为矩形；
（2）连接，证明，即可得解．
【解答】（1）解：四边形为矩形，理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：连接．
在中，，
∴， ．
∵点为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，即：，
∴．
【点拨】本题考查矩形的判定，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，以及直角三角形斜边上的中线和勾股定理．熟练掌握三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，是解题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可；
（2）分当点Q落在上时，当点Q落在上时，两种情况讨论求解即可；
（3）分当时，正方形与重叠部分为，当时，正方形与重叠部分为五边形，两种情况讨论求解即可．
【解答】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，当点Q落在上时，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点Q落在上时，
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或；
（3）解：如图所示，当时，正方形与重叠部分为，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当点M恰好落在上时，设交于H，
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴；
如图所示，当点N恰好落在上时，
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴；
如图所示，当时，正方形与重叠部分为五边形，
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴；
同理可证明，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)或2
(4)当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据二次函数的顶点列式即可解答；
（2）根据二次函数图像的性质即可解答；
（3）由题意可得点P的坐标为，再确定时x的值，然后分和两种情况解答即可；
（4）设矩形为，然后确定，；假设点M在抛物线上，求得m的值，然后结合函数图像即可解答．
【解答】（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为为，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
（3）解：∵点的横坐标为，
∴,
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，

如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【点拨】本题主要考查了求函数解析式、二次函数图像的性质、二次函数的最值等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
等级
频数（人数）

A
B
16
C
D
4