2024年陕西省西安市碑林区西安尊德中学中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市碑林区西安尊德中学中考二模数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算的结果是（ ）
A．B．C．6D．8
2．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．120°
3．如图，在中，，，若，则的长为（ ）
A．4B．2C．6D．8
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在菱形中，于点E，，则的长为（ ）
A．B．1C．2D．
7．如图，内接于，是的直径，点P是上一点，若，则的长为（ ）
A．4B．C．8D．
8．若抛物线的顶点在第四象限，则m的值可以为（ ）
A．B．3C．D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．4的算术平方根是 ．
10．如图，在正五边形中，连接，则的度数为 ．
11．如图，东方明珠电视塔高，如果把塔身看作一条线段，中间的球体看作点，那么点是线段的黄金分割点，则的长 （精确到）．
12．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ．
13．如图，中，，延长至点，使，为边上的点，且，连接，，分别为，的中点，连接，则的长为 ．

三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式：．
16．解分式方程：．
17．如图，在直线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

18．已知：如图，，，求证：．
19．直播带货已是热潮，某人利用直播销售甲、乙两种商品，预计用3600元购进一批商品，其中乙种商品的件数比甲种商品的2倍少40件，甲、乙两种商品的单价分别为20元、30元，求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少件？
20．近些年，西安依托丰富的历史文化资源频频“出图”，吸引大量游客来西安旅游打卡．春节放假期间，小明和小华准备到西安大唐芙蓉园(记为)、秦始皇帝陵博物院(记为)、陕西历史博物馆(记为)、西安城墙(记为)中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中随机任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
(1)小明选择去西安大唐芙蓉园旅游的概率为_____________；
(2)用树状图或列表的方法求小明和小华选择去不同景点旅游的概率．
21．小亮参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小亮在平台上的点F处测得大树的顶部B的仰角为，在平台上的点E处测得大树的顶部B的仰角为，测量可知平台的纵截面为矩形，，求大树的高．（结果保留根号）
22．小菲在研究物理学科中的拉力和重力的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，她把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如图所示的图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像求：
(1)拉力和重力之间的函数解析式；
(2)当拉力为时，所悬挂物体的重力为多少？
23．某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
收集数据
七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，90，94，92，99，94，100．
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
分析数据
应用数据
(1)根据以上信息，______，______；
(2)由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是______；
(3)甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级，并简要说明理由．
24．如图，⊙O为的外接圆，为⊙O的直径，C是延长线上一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
25．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
26．问题提出
（1）如图①，点是半径为1的上任意一点，点为外一点，且，则线段的最小值为______；
问题探究
（2）如图②，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值；
问题解决
（3）如图③，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足，交于点，连接，求线段的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的乘法运算．根据两数相乘同号得正异号得负，再把绝对值相乘，可得答案．
【解答】解：，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查平行线的性质，根据邻补角求角的度数，根据两直线平行，内错角相等，结合邻补角互补，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：提绳与重锤所在直线平行，
∴，
∴；
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．首先根据题意可得，再结合平行线的性质证明，，易得，然后根据相似三角形的性质可得，即可获得答案．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
【解答】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数的图象有四种情况：
①当，函数的图象经过第二、三象、一象限；
②当，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限．
因为正比例函数的函数值y随x的增大而减小，可以判断；再根据判断出函数图象的大致位置．
【解答】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义，求出菱形的边长是解题的关键．
根据锐角三角函数定义求出，再利用勾股定理求出．利用菱形的性质求解即可．
【解答】解：
四边形是菱形，
故选：C
7．B
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解直角三角形即可．
【解答】解：∵内接于，是的直径，点P是上一点，
∴，
∴，
∴；
故选B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线顶点在第四象限，抛物线开口向上，可得抛物线与轴有两个交点且抛物线对称轴在轴右侧，进而求解．
【解答】解：抛物线的顶点在第四象限，且抛物线开口向上，
抛物线与轴有2个交点，且抛物线对称轴在轴右侧，
，
，
的值可以为2．
故选项D符合题意．
故选：D．
9．2
【分析】本题主要考查的是算术平方根的定义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．依据算术平方根根的定义求解即可．
【解答】解：∵，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
10．##72度
【分析】本题考查正多边形的内角和，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，求出的度数，进而求出的度数即可．
【解答】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：
11．289.2
【分析】根据黄金分割点的概念，结合图形可知点B到塔底部的距离是较长线段，进一步计算出长度即可．
【解答】解：根据题意得：上球体到塔底部的距离为较长的线段，则它到塔底部的距离为 0.618×468≈289.2 米．
故答案为289.2 米．
【点拨】本题考查了黄金分割的概念：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当，即 PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点．
12．0
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答；
【解答】解：点与点均在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
故答案为：0
13．
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理．连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接，取的中点，连接、，

，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了乘方运算、化简绝对值、二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据乘方运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质进行运算，然后相加减即可．
【解答】解：原式
．
15．．
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
∴．
16．
【分析】先变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边同乘以得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
【点拨】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程解进行检验．
17．见解析
【分析】尺规作图作出的角平分线与相交于点P即可．
【解答】解：点P所在位置如图所示：

【点拨】本题考查尺规作图作角平分线，角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等，掌握尺规作图方法及角平分线性质是解决本题的关键．
18．见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用得到，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
【解答】证明：在和中，
，
，
．
19．这一批商品中甲种商品有60件，乙种商品有80件．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这一批商品中甲种商品有件，则乙种商品有件，利用总价单价数量，可列出关于的一元一次方程，解之可求出这一批商品中甲种商品的件数，再将其代入中，即可求出这一批商品中乙种商品的件数．
【解答】解：设这一批商品中甲种商品有件，则乙种商品有件，
根据题意得：，
解得：，
（件．
答：这一批商品中甲种商品有60件，乙种商品有80件．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华选择去不同景点旅游的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】（1）∵共有四个景点，其中西安大唐芙蓉园是其中的一个，
∴小明选择西安大唐芙蓉园旅游的概率，
故答案为：；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中小明和小华选择去不同景点旅游有12种，
所以小明和小华选择去不同景点旅游的概率．
21．米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，分别解，，求出的长即可．
【解答】解：延长交于点，则：四边形为矩形，
∴，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
答：大树的高为米．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法解得函数解析式是解题关键．
（1）设拉力和重力之间的函数解析式为，利用待定系数法解得函数解析式即可；
（2）将代入函数解析式，求解即可获得答案．
【解答】（1）解：设拉力和重力之间的函数解析式为，
将点代入，
可得，解得，
∴拉力和重力之间的函数解析式为；
（2）当拉力为时，
可有，解得，
∴当拉力为时，所悬挂物体的重力为．
23．(1)94，87
(2)八年级
(3)甲同学在八年级．
【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（2）根据利用中位数的值作出判断即可．
【解答】（1）解：把七年级15名学生的测试成绩排好顺序为：78，83，85，87，89、90，92，94，94，94，97，98，99，100，100，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，87，87，92，93，94，95，95，96，96，97．
八年级8名学生的成绩中87分的最多有3人，
所以众数，
故答案为：94，87；
（2）解：八年级．
把年级的方差小于七年级的方差，
学生测试成绩较稳定的是八年级．
故答案为：八年级；
（3）解：八年级．
七年级的中位数为94，八年级的中位数为92，甲同学这次测试得了93分，位于年级中等偏上水平，
甲同学在八年级．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，进一步可得结论；
（2）证明，再利用相似三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的半径为；
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．(1)
(2)不能
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确解得该抛物线解析式是解题关键．
（1）根据题意，设该抛物线解析式为，然后将将点代入求解即可；
（2）对于抛物线，令，解得的值，进而确定点坐标，根据题意比较点横坐标与8.4的大小，即可获得答案．
【解答】（1）解：根据题意，可得，该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
（2）对于抛物线，
令，可得，
整理可得，
解得，，
∵点在轴正半轴上，
∴，
又∵，
∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分．
26．（1）1；（2）线段的最小值为4；（3）．
【分析】（1）由题意得，当、、共线时，最小，即可求解；
（2）当点在线段上时，有最小值，即可求解；
（3）根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，当、、共线时，最小，
则，
故答案为：1；
（2）如图，连接，，
点，点关于直线对称，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在线段上时，有最小值，
，，
，
的最小值为；
（3）四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接，则（不变），
根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小，
在中，根据勾股定理得，，
所以，．
故答案为：．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
94
a
40.9
八年级
90
b
92
29.7