技巧02 填空题的答题技巧（8大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159570798" 01 特殊法速解填空题 PAGEREF _Tc159570798 \h 1
\l "_Tc159570799" 02 转化法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570799 \h 4
\l "_Tc159570800" 03 数形结合巧解填空题 PAGEREF _Tc159570800 \h 9
\l "_Tc159570801" 04 换元法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570801 \h 13
\l "_Tc159570802" 05 整体代换法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570802 \h 15
\l "_Tc159570803" 06 坐标法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570803 \h 18
\l "_Tc159570804" 07 赋值法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570804 \h 22
\l "_Tc159570805" 08 正难则反法巧解填空题 PAGEREF _Tc159570805 \h 25
01 特殊法速解填空题
1．关于函数，有下列命题：
①由可得必是的整数倍；
②在区间上单调递增；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称．
其中正确的命题的序号是__________把你认为正确的命题序号都填上
【答案】②③
【解析】函数，
①特例：，，满足，
但是不是的整数倍，所以①不正确；
②的周期为，令，
可得是函数的单调增区间，
所以函数在区间上单调递增；所以②正确；
③当时，，
所以函数的图象关于点对称，所以③正确；
④由③知的图象不关于直线对称，所以④不正确；
故答案为：②③．
2．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：
①；②；③；④其中为“好集合”的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于①，注意到无实数解，因此①不是“好集合”；
对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线相交，因此②是“好集合”；
对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线相交，因此③是“好集合”；
对于④，如下右图，注意到对于点，不存在，使得，因为与真数的限制条件矛盾，因此④不是“好集合”．
故答案为：②③．
3．已知数列的各项均为正数，其前n项的和满足给出下列四个结论：
①的第2项小于②为等比数列；
③为递减数列；④中存在小于的项．
其有正确结论的序号为__________．
【答案】①③④
【解析】，可得，又各项均为正，可得，令可得，可解得，故①正确；
当时，由得，于是可得，即，若为等比数列，则时，即从第二项起为常数，可检验则不成立，固②错误；
可得，于是，所以，于是③正确；
若所有项均大于，取，则，，于是，与已知矛盾，所以④正确．
4．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则__________．
【答案】
【解析】根据题意，对任意x都有，
令，则有，
又由，故
又由，则有，
故；
故答案为：
02 转化法巧解填空题
5．斜率为1的直线与双曲线交于两点A，B，点C是曲线E上的一点，满足，和的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为，，，若，则双曲线E的离心率为__________．
【答案】
【解析】设，，，
则AB中点为，AC中点为，BC中点为，
因为P、Q分别为，的重心，
故，，
因为，的外心为R，故R为AB中点，
则
由A、B、C三点均在双曲线上，
①，②，③，
①-②可得，即，
同理由②-③可得，④
由①-③可得，⑤
因为斜率为1的直线与双曲线交于A、B两点，故，则，
因为，所以，
故④⑤两式相乘可得，即，
故，则，
则，
故答案为
6．如图，一个池塘的东､西两侧的端点分别为，现取水库周边两点，测得，，池塘旁边有一条与直线AB垂直的小路l，且点A到l的距离为小张点沿着小路l行进并观察两点处竖立的旗帜与小张的眼睛在同一水平面内，则小张的视线PA与PB的夹角的正切值的最大值为__________．
【答案】
【解析】在中，，
所以，，
由正弦定理可得，所以，
在中，，所以，
所以，
在中，由余弦定理，
，所以，
设l与AB的交点为E，，，如图，
则，
由，可得，
，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
7．函数其中，b，，当时，恒成立，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】由题时，恒成立，
则时，恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
则
设，当且仅当时，等号成立，
结合题意，则与同号．
①当，时，
即且时，与具有相同零点，
设这两个相同的零点为，，
则，，
方程的两根为，，
即，，
则，
即，且时，
，
令，，，
则时，，单调递减，
时，，单调递增，
则，故
②当，时，
即且时，恒成立，
即此时恒成立，
则，
当且仅当，，时，取到最小值，故
综上所述，
故答案为
8．如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先．如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切．若，则该模型中最小小球的半径为__________．
【答案】
【解析】如图所示正四面体ABCD，设棱长为，高为h，
O为正四面体ABCD内切球的球心，延长AO交底面BCD于E，E是等边三角形的中心，
过A作交CD于F，连接BF，则OE为正四面体ABCD内切球的半径
，，，，
，
由图可知最大球内切于高为的正四面体中，最大球半径，
中等球内切于高为的正四面体中，中等球半径，
最小求内切于高为的正四面体中，最小球半径
故答案为：
03 数形结合巧解填空题
9．已知O为坐标原点，A，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，即，，
当M不在直线AB上时，
在线段AB上取点E，使得，所以
在AB的延长线上取点F，使得，所以
所以
因为，所以ME为的角平分线．
因为，所以MF平分的邻补角．
所以，即
所以点M的轨迹为以为直径的圆除去E，，半径为
当M在直线AB上时，点M的轨迹为点E，
综上，点M的轨迹为以为直径的圆上，半径为
设直线l：，过O作交l于点D，
当EF的中点为D时，此时
因为，，
所以
故答案为
10．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内作往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动，记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为__________．
【答案】
【解析】以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为，
设点，由于，则，
由，可得，设，所以，解得，则点M的运动轨迹是椭圆，其方程为，
设上的点，则，
则切线长为，
所以切线长的最大值为
故答案为：
11．已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是__________．
【答案】
【解析】如图为直角三角形以斜边所在直线为轴旋转而成的旋转体．
因为两条直角边分别为3，4，
所以斜边长为5，
利用三角形的面积相等，得出斜边上的高为，
则圆锥的底面半径为，
设两个圆锥的高为，，则，
所以
故答案为
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，若关于平分线的对称点Q在C上，则C的离心率为__________．
【答案】
【解析】因为关于平分线的对称点Q在椭圆C上，
由对称性可得P，，Q三点共线，设，则，
，
在中，由余弦定理可得，
所以
而，
所以，
可得，
在中，由余弦定理可得，
整理得，
即离心率
故答案为
04 换元法巧解填空题
13．已知函数，则方程是自然对数的底数的实根个数为__________．
【答案】6
【解析】令，得方程变为：，即，
由与的图象可知方程有三个根
当时，，可得函数有极大值，
则
由函数的图象，方程无解；方程四解；方程两解；
所以原方程共有6个根，
故答案为：
14．已知函数，则在上的零点个数为__________．
【答案】2
【解析】由，得，
设，则，
因为，
所以，
此时与有两个交点，
所以方程有两个根，
即有两个根，
所以在上的零点个数为2个．
故答案为
15．已知，若在上恰有两个不相等的实数a、b满足，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，，
令，则，
因为恰有两个不相等的实数a、b满足，
故，
故，
故
16．已知a，b都是正数，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为 均为正实数，故设 ， ，则
联立解得 ， ，
，
当且仅当 ，即 ，即 时取等号，
故答案为： ．
05 整体代换法巧解填空题
17．如图，在所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为已知，且，则__________．
【答案】
【解析】因为，在中有，
所以，由正弦定理得，
由，得，即，则，
由题意得，，
如图：
在中，，
则
得
18．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则__________．
【答案】6
【解析】由题意可知，，
设，的定义域为，
所以，
所以为奇函数，所以，
所以
故答案为：
19．锐角中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积是1，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
由正弦定理可得：，
即，
化为：，
是锐角三角形，
，解得
，
，解得
，
，
，
的面积是1，，化为：
故答案为：
06 坐标法巧解填空题
20．在平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，E为线段AC上的动点，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】平行四边形ABCD中，，，AC，BD相交于点O，，
可得，
可得，解得，
建立如图所示的坐标系，
则，，，，
AC的方程为：
设，，
，
，当且仅当时取等号．
故答案为：
21．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．若，，，则MA的最小值为__________．
【答案】
【解析】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，其方程为
设点，，，依题意，，且，
所以，
且即且
由于t不恒为0，于是，故，，
代入，可得，
则，
，当时，取最小值，
故的最小值为
22．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为．根据以上性质，函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意画出图象，
函数表示的是点到点的距离与到点，到的距离之和，
则这个等腰三角形ABC的费马点在高线AD上，设O点即费马点，连接OB，OC，
则，，，，
，，，
距离之和的最小值为：
故答案为：
23．用平行于圆锥母线的平面不过顶点截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________．
【答案】
【解析】连接PO，
由题意可得面ABC，所以，
由题意，
因为E是母线PB的中点，
所以，
由题意建立适当的坐标系，以BP为y轴以OE为x轴，E为坐标原点，
如图所示：可得：，
设抛物线的方程为，
将C点坐标代入可得，
所以，
所以抛物线的方程为：，
所以焦点坐标为，准线方程为，
所以焦点到其准线的距离为，
故答案为：
07 赋值法巧解填空题
24．已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：；在上是增函数；的图象关与直线对称；函数在处取得最小值；函数没有最大值，其中判断正确的序号是__________．
【答案】①④
【解析】由得到，
再结合函数为偶函数，，
，将x换做得：，
，所以函数的周期是
在中，
令时，得，所以，
又周期为4，，所以①正确；
在区间上单调递增，
是偶函数，图像关于y轴对称，
又，函数图象关于点对称，
函数在区间上单调递增，在上减，在上增，
函数的大致图象可模拟如下：
故函数在处可取得最小值，函数在处可取得最大值，
y轴和都是函数的对称轴，而不是对称轴，
所以②错误，③错误，④正确，⑤错误；
故答案为①④．
25．若函数的定义域为，且，，则__________．
【答案】
【解析】，令，则，可得，
令，则，可得，
由，可得，，
故答案为：
26．对于函数，给出下列命题：
在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
若，则函数的图象关于直线对称；
若，则函数是周期函数；
若，则函数的图象关于点对称．
其中所有正确命题的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】设函数与的图象关于直线对称，
则，即，解得：，
即函数与的图象关于直线对称，故①正确；
若，则函数的图象关于直线对称，故②错误；
③若，，
则函数是周期为2的周期函数，故③正确；
④若，则函数的图象关于点对称，故④正确．
故答案为：①③④
27．函数是定义在R上的奇函数，且满足当时，，则__________．
【答案】1
【解析】是定义在R上的奇函数，
，且
又，
，
，
可得，
奇函数的周期为4，
故答案为
08 正难则反法巧解填空题
28．设集合…，，，2，3，…，，则集合A中满足条件“…”的元素个数为__________．
【答案】
【解析】集合A中共有个元素；
其中…的只有一个元素，
…的有个元素；
故满足条件“…”的元素个数为
故答案为：
29．已知的面积为1，在所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为__________．
【答案】
【解析】点P满足，
，可得点P是线段AC的中点，
又，
，
可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点，
因此，的面积为，
的面积为1，，
由此可得四边形BCPQ的面积为，
故答案为：
30．若存在，，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】命题“存在，，
的否定是：“任意，”，
它等价于①，或②；
由①得，，且在上的最小值是，
；
由②得，，且在上的最大值为，
；
由①②知，或，
它的否定是，
实数a的取值范围是
故答案为：