思想01 运用分类讨论的思想方法解题（5大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157378564" 01 由情境的规则引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378564 \h 1
\l "_Tc157378565" 02 由定义引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378565 \h 2
\l "_Tc157378566" 03 由平面图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378566 \h 3
\l "_Tc157378567" 04 由变量的范围引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378567 \h 4
\l "_Tc157378568" 05 由空间图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378568 \h 5
01 由情境的规则引起的分类讨论
1．三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示
假设汽车A只能在约定日期某月某日的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发将频率视为概率，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（ ）
A．公路1和公路2B．公路2和公路1C．公路2和公路2D．公路1和公路1
3．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成万元的经济损失．为防止洪水的爆发，现有四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用预防措施后不爆发洪水的概率为，所需费用为万元
若联合使用和措施，则不爆发洪水的概率是多少?
现在有以下两类预防方案可供选择：
预防方案一：单独采用一种预防措施；
预防方案二：联合采用两种不同预防措施．
则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案?
总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值
02 由定义引起的分类讨论
5．大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A．6B．13C．19D．60
6．（多选题）已知函数有两个不同的零点，，符号表示不超过x的最大整数，如，，则下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围为
B．a的取值范围为
C．
D．若，则 a的取值范围为
7．（多选题）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，则（ ）
A．数列为等差数列B．数列为递减数列
C．D．，，成等差数列
8．若函数的定义域为，对任意的，，当时，都有，则称函数是关于D关联的．已知函数是关于关联的，且当时，则：①当时，函数的值域为__________；②不等式的解集为__________．
03 由平面图形的可变性引起的分类讨论
9．（多选题）已知圆M：，直线l：，下面四个命题中是真命题的是 （ ）
A．对任意实数k与，直线l和圆M相切；
B．对任意实数k与，直线l和圆M有公共点；
C．对任意实数，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切
D．对任意实数k，必存在实数，使得直线l与和圆M相切
10．已知直线与交于A、B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________
11．设椭圆的离心率为，其左焦点到的距离为
求椭圆E的方程；
椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A，B两点不是左、右顶点，若其满足，且直线l与以原点为圆心，半径为的圆相切；求直线l的方程．
12．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆上动点P到右焦点最小距离为
求椭圆C的标准方程；
点M，N是曲线C上的两点，O是坐标原点，，求面积的最大值．
04 由变量的范围引起的分类讨论
13．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是__________．
14．已知函数
当，时，求的单调区间；
若在区间内存在极值点
求实数k的取值范围；
求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由．
15．已知函数为自然对数的底数
若不等式恒成立，求实数x的取值范围；
若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围
16．证明：当时，；
已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
05 由空间图形的可变性引起的分类讨论
17．如图，正方体的棱长是若G，E是所在棱的中点，F是正方形的中心，则封闭折线BGFF在该正方体各面上的射影围成的图形的面积不可能是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在中，，，，点D是边端点除外上的一动点．若将沿直线CD翻折，能使点A在平面BCD内的射影落在的内部不包含边界，且设，则t的取值范围是__________．
19．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，点P在线段EF上．给出下列命题：
①直线直线AC；
②直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
③存在点P，使得直线平面ACF；
④存在点P，使得直线平面
其中所有真命题的序号是__________．
20．直棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现表面积都比原三棱柱的表面积小，则a的取值范围是__________．
所用时间天数
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10