安徽省2024届高三下学期春季阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省2024届高三下学期春季阶段性检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合和，则( )
A.B.C.D.
2．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则( )
A.甲是乙的充要条件
B.甲是乙的充分条件但不是必要条件
C.甲是乙的必要条件但不是充分条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数、劳累程度有关，并建立了数学模型，已知李老师工作了20年，根据上述公式，与工作10年时相比，如果他的工作效率不变，则他现在的劳累程度是工作10年时劳累程度的( )
A.倍B.倍C.倍D.倍
5．已知数列中，，，且当时，，则( )
A.B.C.3D.4
6．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为( )
A.B.C.D.
7．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则( )
A.1B.2C.3D.4
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某专业饲料市场研究机构统计得到2023年1-9月和2022年同期的豆粕价格走势图如图所示，则( )
A.2023年1-9月的豆粕价格仅有4个月低于2022年同期
B.从极差来看，2022年1-9月的豆粕价格比2023年同期波动范围更大
C.2023年1-9月的豆粕价格的中位数为2.30
D.2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30
10．如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，M，N分别是线段，的中点，则( )
A.B.平面
C.与所成角的余弦值为D.与平面所成角的正弦值为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P是E上异于A，B的一个动点，若，则( )
A.E的离心率为B.直线PA与PB的斜率之积为
C.满足的点P有4个D.
三、填空题
12．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
13．某商场搞抽奖活动，将30副甲品牌耳机和20副乙品牌耳机放入抽奖箱中，让顾客从中随机抽1副，两个品牌的耳机外包装相同，耳机的颜色都只有黑色和白色，记事件“抽到白色耳机”，“抽到乙品牌耳机”，若，，则抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有__________副.
14．若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点C且与平行的平面分别与棱，交于点E，F，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________.
四、解答题
15．某大棚种植户通过长期观察统计，发现去年本地市场中黄瓜每天的收购价格X（元/kg）服从正态分布，规定收购价格在内的为“合理价格”.
（1）从去年随机抽取10天，记这10天中黄瓜的收购价格是“合理价格”的天数为Y，求；
（2）该大棚种植户为家乡的农产品做了5次直播带货，成交额y（万元）如下表所示：
若用最小二乘法得到的y关于x的线性回归方程为，预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为多少万元.
附：若，则，.
16．如图，等边三角形与正方形所在平面垂直，且，，与的交点为D，平面.
（1）求线段的长度；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知等差数列的前n项和为，，，是各项均为正数的等比数列，，且.
（1）求和的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
18．已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.
（1）求C的方程；
（2）若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值.
19．已知函数.
（1）若，分析的单调性；
（2）若，证明：在，内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
参考答案
1．答案：C
解析：，所以，
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：，所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．答案：A
解析：乙:等价于，
即，
因为，所以，所以乙等价于，即，
所以甲、乙互为充要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：设李老师现在的劳累程度是，工作10年时的劳累程度是，
依题意，，所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为①，所以②，
①②得，即有，所以，
即数列为周期数列，且周期为6，又，，
所以，得到，
故选：D.
6．答案：C
解析：设，在中，，
在中，，
所以，解得，
因为，所以，
所以的面积为.
故选：C.
7．答案：B
解析：设，，，
则两式相减，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直线，得，
所以，所以，解得.
故选：B.
8．答案：D
解析：令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，即，
所以，
令，则在区间上恒成立，
即在区间上单调递增，所以，即，
所以，所以，
令，则在区间上恒成立，
即在在区间上单调递增，所以，即，
所以，
综上，，
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A，2023年3月、4月、5月、6月、7月的豆粕价格低于2022年同期，A错误；
对于B，2022年的极差约为0.6，2023年的极差约为0.4，B正确；
对于C，2023年1-9月的豆粕价格的中位数是3月的数据，小于2.30，C错误；
对于D，2022年3月、4月、9月的豆粕价格均高于2.30，且与2.30的差不大于0.2，
而其余月份豆粕价格均低于2.30，且1月、2月的豆粕价格与2.30的差分别大于0.4，0.2，
因此2022年1-9月的豆粕价格的平均数低于2.30，D正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：如图，取中点O，中点H，连接，，
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
易知，故可建立如图所示的空间直角坐系，
又棱长均为2，，
则，，，，，
所以，又，所以，
对于选项A，因为，，得，
所以，即有，故选项A正确，
对于选项B，因为N是线段的中点，又M是与的交点，则M为的中点，
所以，又面，面，所以平面，故选项B正确，
对于选项C，因为，，
设与所成的角为，则，
故选项C错误，
对于选项D，易知平面的一个法向量为，又，
设与平面所成的角为，
则，故选项D正确，
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A，设椭圆E的半焦距为，离心率为e，
因为，所以，
左边分子分母同时除以a，得，解得，故A正确;
对于B，设，，，
因为，所以，，
则，故B错误;
对于C，因为，所以E的上、下顶点在以为直径的圆内，故该圆与E有4个交点，
因此满足的点P有4个，故C正确;
对于D，E的方程可写为，设，，
则，
当时取等号，则，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为为奇函数，且定义域为R，
所以，得到，
当时，，，
所以满足意义，故，所以，
故，又，所以曲线在点处的切线方程为，
故答案为：.
13．答案：10
解析：设抽奖箱中甲品牌的黑色耳机有x副，则白色耳机有副.
因，而乙品牌耳机共有20副，故乙品牌耳机中白色耳机有副，
于是抽奖箱里共有白色耳机副，又，则，解得：.
故答案为：10.
14．答案：
解析：如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，
设正四面体的棱长为，所以正方体的边长为a，
易知正方体的外接球直径为体对角线的长，又，所以正四面体的半径，
依题有，得到，即正四面体的棱长为2，
因为面，面面，面，所以，
设，
因为，则，，
在中，因为，所以，
在中，，，则，
所以空间四边形的四条边长之和，
又，当时，，
故答案为：.
15．答案：（1）8.186
（2）35.2万元
解析：（1）由，得，，
则收购价格是“合理价格”的概率，
依题意，，所以.
（2）依题意，，，
于是，解得，则线性回归方程为，
当时，，
所以预计该大棚种植户第7次直播带货的成交额为35.2万元.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）取线段的中点H，连接，，
则，又，所以.
所以A，G，D，H四点共面.
由平面平面，平面，平面，可得，
所以四边形为平行四边形，
故.
（2）取的中点O，连接，，在等边三角形中，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，平面，所以，，
以O为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则取.
设平面的法向量为，
则取.
设平面与平面的夹角为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设的公差为d.
因为，所以当时，，
两式相减，得，
因为，所以，所以，
又，得，所以.
设的公比为q，由条件知，得，
又，所以.
（2）根据题意，
在前项中，奇数项之和，
偶数项之和，
，
所以，
所以，
故.
18．答案：（1）
（2）为定值63，证明过程见解析
解析：（1）由题意得，故，
令得，解得，
由于，故，解得，
所以C的方程为.
（2）直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），故直线l的斜率不为0，
设直线l方程为，联立得，
设，，则且，
解得，
，，
直线，令得，
同理可得，故，，
则
.
为定值.
19．答案：（1）在R上单调递增
（2）证明见解析
解析：（1）若，则，.
设，则，令，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，
所以，所以在R上单调递增.
（2）.
设，则，
令，解得，令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增.
若，即，则，
又，当时，，当时，，
所以在，内各恰有一个零点，设为，.
当或时，，单调递增，当时，，单调递减.
由于，所以，，
又当时，当时，
的大致图象如下:
设为函数在内的零点，下面证明也是的零点，即.
因为，
所以，
综上，在，内各恰有一个零点，并且这两个零点互为相反数.
第x次直播带货
1
2
3
4
5
成交额y（万元）
9
12
17
21
27