专题15 三角形及全等三角形（共25道）-中考数学真题分项汇编（全国通用）

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1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【答案】C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，，，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线交于点M，交于点N．连接．则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分线的性质可得，利用等边对等角、三角形内角和定理求出，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，通过解直角三角形求出和即可．
【详解】解：由作法可得垂直平分，
，
，
．
，，
，
，
如图，过点C作于点H，则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．
3．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图．在中，，，，，点是边的中点，则（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵，
∴为直角三角形．
∴．
∵点为的斜边的中点，
∴．
∵，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
4．（2023·北京·统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，，，，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，即，
∴，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
二、填空题
5．（2023·江苏南通·统考中考真题）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝ ．
【答案】1：4//0.25
【分析】根据题意得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得出DEBC， DE=BC，证出△ADE∽△ABC，相似比为1∶2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案．
【详解】∵点D、E分别为AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DEBC， DE=BC
∴△ADE∽△ABC，相似比为：DE∶BC=1∶2
∴S△ADE∶S△ABC=12∶22=1∶4
故答案为：1∶4
【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三角形相似，以及相似比为1∶2，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出本题．
6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键．
7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．
【答案】或或
【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定．
【详解】解：∵在与中，，，
∴添加，则；
或添加，则；
或添加，则；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

【答案】//1.5
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解：，
，
点D为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
9．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①与面积相同；
②；
③若，连接和，则；
④若，，，则．
【答案】①②③
【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，，
得出，，，，根据四边形内角和得出
，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误．
【详解】解：延长，并截取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据旋转可知，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即与面积相同，故①正确；
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，故②正确；
当时，，
∴，，，，
∵，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴根据②可知，，
∵当时，，为中线，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上分析可知，正确的是①②③．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
10．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）

【答案】或或
【分析】根据三角形全等的判定方法处理．
【详解】∵
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．

【答案】65
【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：65．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，若，则 °．

【答案】/55度
【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
14．（2023·陕西·统考中考真题）如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件．
【详解】解：如图，点即为所求．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得．
【详解】证明：如图，延长交于，

∵平分，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，．

(1)尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可；
（2）根据菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）①如图：直线即为所求；
②如图，即为所求；
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键．
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________．
给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．

【答案】②③，①；证明见详解
【分析】根据题意补全图形，连接、，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出，在求证三角形全等得出角相等，求得，进而得出结论平分．
【详解】②③，①
证明：根据题意补全图形如图所示：

垂直平分，
，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
又，
，即，
平分．
故答案为：②③①．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）直接利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，则．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，，
∴，
在与中，，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可．
【详解】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
23．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
24．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

【答案】证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
25．（2023·河南·统考中考真题）如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．