中考数学二轮复习核心专题复习攻略（讲+练）专题02 整式的运算（2份打包，原卷版+解析版）

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考点01 整式的有关概念
1．整式：单项式和多项式统称为整式．
2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．
【注意】单项式的系数包括它前面的符号
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
【例1】单项式 SKIPIF 1 < 0 的次数是_____．
【答案】5
【解析】单项式 SKIPIF 1 < 0 的次数是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为5．
【例2】下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的系数是–5 B．单项式x的系数为1，次数为0
C． SKIPIF 1 < 0 的次数是6 D．xy＋x–1是二次三项式
【答案】D
【解析】A. SKIPIF 1 < 0 的系数是– SKIPIF 1 < 0 ，则A错误；
B.单项式x的系数为1，次数为1，则B错误；
C. SKIPIF 1 < 0 的次数是1+1+2=4，则C错误；
D.xy＋x–1是二次三项式，正确，故选D.
【例3】若单项式 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同类项，则 SKIPIF 1 < 0 的值是_______________．
【答案】2
【解析】由同类项的定义得： SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 故答案为：2．
【例4】按一定规律排列的单项式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，第 SKIPIF 1 < 0 个单项式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，
可记为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 第 SKIPIF 1 < 0 项为： SKIPIF 1 < 0 故选A．
【例5】如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是（ ）
A．54B．63
C．74D．84
【答案】A
【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒，
拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒，
拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒，
拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒，
…
拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.
当n=6时，n2+3n=62+3×6=54.
故选A.
考点02 整式的运算
1．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an= SKIPIF 1 < 0 .
2. 整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。.
3．整式的乘法：
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb..
4．整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
5．乘法公式：
（1）平方差公式： SKIPIF 1 < 0 .
（2）完全平方公式： SKIPIF 1 < 0
【例6】下列计算正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】A、a3和a4不是同类项，不能合并，故A错误；B、 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；C、 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；D、 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.答案为B.
【例7】下列计算正确的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【例8】已知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．–1B．1
C．–2D．2
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和是 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同类项，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .故选A.
【例9】先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，9
【解析】解：原式 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
考点03 因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
【例10】下列因式分解正确的是
A．x2–9=（x+9）（x–9）B．9x2–4y2=（9x+4y）（9x–4y）
C．x2–x+ SKIPIF 1 < 0 =（x− SKIPIF 1 < 0 ）2D．–x2–4xy–4y2=–（x+2y）2
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选D
【例11】分解因式： SKIPIF 1 < 0 =_________________．
【答案】(a+4)(a-2)
【解析】=
【例12】若m+ SKIPIF 1 < 0 =3，则m2+ SKIPIF 1 < 0 =_____．
【答案】7
【解析】把m+ SKIPIF 1 < 0 =3两边平方得：（m+ SKIPIF 1 < 0 ）2=m2+ SKIPIF 1 < 0 +2=9，则m2+ SKIPIF 1 < 0 =7，故答案为：7
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1．若，则的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】∵，∴==4×1-3=1．故选：D．
2．点在函数的图像上，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】把代入函数解析式得：，化简得到：，
∴．故选：C．
3．如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解:由题可知求小球的总数的方法会按照不同的计数方法而规律不同,比如可以按照一共有12条棱,去掉首尾衔接处的小球,则每条棱上剩下12(m-2)个小球,加上衔接处的8个小球,则小球的个数为,选项B中,故B,C,D均正确,故本题选A.
4．观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是
A．2a2-2aB．2a2-2a-2
C．2a2-aD．2a2+a
【答案】C
【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…
∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，
∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，
∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．
已知a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（ ）
A．2B．﹣2
C．8D．﹣8
【答案】D
【解析】根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故选D．
下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（ab）3＝ab3
【答案】B
【解析】解：，因此选项不正确；，因此选项正确；
，因此选项不正确；，因此选项不正确；故选：B．
一个长方形的周长为，相邻的两边中一边长为，则另一边长为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵长方形的周长为，
∴相邻的两边的和是,
∵一边长为，
∴另一边长为，
故选B.
如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，∴．故选：C．
已知x＋y=–1，则代数式2021–x–y的值是
A．2020B．2019
C．2022D．2021
【答案】C
【解析】∵–x–y=–（x+y），∴2021–x–y=2021–（x+y）=2021–（–1）=2022，故选C．
按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2017次得到的结果为
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
【答案】A
【解析】当x=2时，第一次输出结果==1；
第二次输出结果=1+3=4；
第三次输出结果=4×=2，；
第四次输出结果=×2=1，
…
2017÷3=672…1．
所以第2017次得到的结果为1．
故选A．
填空题
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11. 已知单项式与是同类项，那么的值是___________
【答案】3
【解析】∵与是同类项，
∴，
解得，
∴=3.
故答案为3.
12.因式分解：a3﹣a= ______
【答案】a（a+1）（a﹣1）
【解析】原式=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
13.分解因式：_________．
【答案】
【解析】：故答案为：（ab-1）（a+b）
14. 若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【解析】解：多项式是关于，的三次多项式，
，，，，
或，或，或8．故答案为：0或8．
15.若2x=5，2y=3，则22x+y= ______ ．
16.若m﹣＝3，则m2+＝_____．
【答案】11
【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】解：原式
当时，原式 。
先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】
【解析】原式
，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以当时，原式．

已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
【答案】-1.
【解析】∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴
如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．
阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S=1+2+22+…+22017+22018①，
则2S=2+22+…+22018+22019②，
②-①得2S-S=S=22019-1，
∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29=__________；
（2）3+32+…+310=__________；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．
【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①，
则2S=2+22+…+210②，
②-①得2S-S=S=210-1，
∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，
则3S=32+33+34+35+…+311②，
②-①得2S=311-1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=，
故答案为：．
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1，
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+an=．