广西壮族自治区百色市德保县德保高中2023-2024学年高一下学期月考（一）（3月）数学试题（一+一）

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命题人：汪朝宽 张忠武 宁海钰 谭成 审题人：汪朝宽 张忠武 宁海钰 谭成
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）.

A. 12B. 12
C. 6D.
3. 若，，，则，，大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 若，，，则向量与的夹角为（ ）
A B. C. D.
7. 如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）

A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
8. 如图，在中，点满足，点为的中点，过点的直线分别交线段，于点，，若，，则的最小值为（ ）

A. 9B. 4C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列关于向量的结论正确的是（ ）
A 若，则或
B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D. 若向量与同向，且，则
10. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若是中点，则
B. 若，则
C. 与不共线
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量,,若,则______.
13. 设复数z满足，则的取值范围是_________.
14. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，则滕王阁的高度OP＝________米．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足．
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
16. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于，求的长.
17. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若点在上，满足，求面积的最大值．
18. 已知函数的图象经过点，且关于直线对称．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调递减，求的最大值；
（3）当取最大值时，求函数在区间上的值域．
19. 设为坐标原点，定义非零向量“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.
（1）设函数，求证：；
（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.