专题6.3 实数-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题6.3 实数-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共14页。

【知识点1 无理数的概念】
无理数：无限不循环小数叫无理数．
无理数常见的三种类型：
（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．
【题型1 无理数的概念】
【例1】（2021春•汉阴县期末）下列实数3π，-78，0，2，﹣3.1415，9，53中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：-78是分数，属于有理数；
0，9=3，是整数，属于有理数；
﹣3.1415是有限小数，属于有理数；
无理数有3π，2，53，共3个．
故选：C．
【变式1-1】（2021春•乌苏市期末）在实数3.14，-227，-9，1.7，5，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解答】解：在实数3.14，-227，-9=-3，1.7，5，0，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”）中，无理数有5，﹣π，4.262262226…（两个6之间依次增加一个“2”），一共3个．
故选：B．
【变式1-2】（2021春•西双版纳期末）已知下列各数：19，3.14159265，﹣3，5，π，0.2⋅3⋅，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数一共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无限不循环小数是无理数即可判断无理数的个数．
【解答】解：5，π，0.3131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1）是无理数，
故选：C．
【变式1-3】（2021春•扶沟县期末）下列各数﹣0.101001，7，14，-π2，2-3，0，16中，无理数的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据无理数的定义即可判断．
【解答】解：∵﹣0.101001是有限小数，
∴﹣0.101001不是无理数，
∵7是无限不循环小数，
∴7是无理数，
∵14=0.25是有限小数，
∴14不是无理数，
∵π是无限不循环小数，
∴-π2是无理数，
∵2-3是无限不循环小数，
∴2-3是无理数，
∵0是整数，
∴0不是无理数，
∵16=4是整数，
∴16不是无理数，
∴无理数有3个，
故选：C．
【知识点2 实数的分类】
【题型2 实数的分类】
【例2】（2021春•裕华区校级期末）把下列数填入相应的集合中．
9，34，5π3，0.6⋅，-34，3．
（1）整数集合 ；
（2）分数集合 ；
（3）有理数集合 ；
（4）无理数集合 ；
（5）实数集合 ．
【分析】有理数和无理数统称为实数；整数和分数统称为有理数；常见的无理数有π家族，开方开不尽的数，无限不循环小数，逐一分析判断即可．
【解答】解：（1）整数集合9，3；
（2）分数集合0.6⋅，-34；
（3）有理数集合9，0.6⋅，-34，3；
（4）无理数集合34，5π3；
（5）实数集合9，34，5π3，0.6⋅，-34，3．
【变式2-1】（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π4，⑧0.2⋅3⋅，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．
【解答】解：（1）整数集合{③④⑥…}；
（2）分数集合{①⑧⑨…}；
（3）无理数集合{②⑤⑦…}．
故答案为：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦．
【变式2-2】（2020春•赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中
0，-54，16，3.1415926，-37，2π，2-1，0.13030030003…，0.15⋅，3-125
（1）整数集合：{ …}
（2）分数集合：{ …}
（3）有理数集合：{ …}
（4）无理数集合：{ …}
【分析】（1）根据整数的定义选出即可；
（2）根据负数和分数的定义选出即可；
（3）根据有理数的定义选出即可；
（4）根据无理数的定义选出即可．
【解答】解：16=4，3-125=-5，
（1）整数集合：{0，16，3-125，…}；
（2）分数集合：{-54，3.1415926，0.15⋅，…}；
（3）有理数集合：{0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3-125，…}；
（4）无理数集合：{-37，2π，2-1，0.13030030003…，…}．
故答案为：0，16，3-125；-54，3.1415926，0.15⋅；0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3-125；-37，2π，2-1，0.13030030003…．
【变式2-3】（2020秋•海曙区期中）把下列各数的序号填入相应的括号内①﹣3，②π，③3-27，④﹣3.14，⑤2，⑥0，⑦227，⑧﹣1，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）．
整数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
正有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【分析】根据有理数的定义及分类方法即可得出答案．
【解答】解：∵3-27=-3，
又∵整数有正整数和负整数，
∴整数有：①③⑥⑧，
根据负分数的定义知负分数有：④，
根据正有理数的定义知正有理数有：⑦⑨，
∵无理数是指无限不循环小数，
∴无理数有②⑤⑩，
故答案为①③⑥⑧，④，⑦⑨，②⑤⑩．
【题型3 实数的性质】
【例3】（2020春•丛台区校级月考）已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则-3ab+c+d+1的平方根为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，
∴ab＝1，c+d＝0，
则-3ab+c+d+1
＝﹣1+0+1
＝0．
故选：C．
【变式3-1】（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2B．92-2C．92+2或92-2D．132
【分析】直接利用倒数以及互为相反数、绝对值、算术平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，
∴ab＝1，c+d＝0，e＝±2，f＝64，
故12ab+c+d5+e2+3f
=12+0+2+4
=132．
故选：D．
【变式3-2】（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-23|取最小值时，x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据绝对值的意义，由于23最接近的整数是5，可得结论．
【解答】解：∵16＜23＜25，4.52＝20.25＞16，
∴4.5＜23＜5，
∴|x-23|取最小值时，x＝5．
故选：C．
【变式3-3】（2021春•营口期末）已知a、b满足-(4+a)2=2021|b-3|，则a2+b2的平方根为 ．
【分析】由二次根式a中必须a≥0可得，﹣（4+a）2≥0，得4+a＝0后，a、b的值就可求解，最终求得结果．
【解答】解：由题意可得﹣（4+a）2≥0，
∴（4+a）2≤0，
而（4+a）2≥0，
∴4+a＝0，
解得a＝﹣4，
∴b-3=0，
解得b=3，
∴a2+b2的平方根为±(-4)2+(3)2=±19．
故答案为：±19．
【题型4 实数与数轴的关系】
【例4】（2021春•德阳期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，5，且AC＝AB，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣1+5B．﹣1-5C．﹣2-5D．1+5
【分析】设点C表示的数为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出点C的数即可．
【解答】解：设点C表示的数x，
根据AC＝AB得：5-（﹣1）＝﹣1﹣x，即5+1＝﹣1﹣x，
解得：x＝﹣2-5，
则点C 表示的数为﹣2-5．
故选：C．
【变式4-1】（2021春•景县月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点A、B，则点A表示的数为（ ）
A．1-3B．3-1C．-3-1D．3+1
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解答】解：∵正方形的面积为3，
∴正方形的边长为3，
即圆的半径为3，
∴点A表示的数为1-3．
故选：A．
【变式4-2】（2021春•单县期末）数轴上A、C两点分别对应实数1和23-1，点A、C关于点B对称，则下列各数中，与点B所对应的数最接近的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接根据中点坐标公式即可得出结论．
【解答】解：∵点A与C关于点B对称，
∴点B是线段AC的中点，
∴点B所对应的实数为1+23-12=3，
∵1＜3＜2，且1.52＝2.25＜3，
∴与点B所对应的数最接近的是2．
故选：B．
【变式4-3】（2021春•铜官区期末）已知数轴上点A、B分别表示2、3，若点C也在数轴上，且AC＝2AB，则点C所表示的数为（ ）
A．32-23B．23-2
C．3+2或32-23D．32-23或23-2
【分析】数轴上两个不同的点之间的距离可以用右边点代表的数减去左边点代表的数，本题由于不知道AC两点的位置，可以用AC两个点代表的数的差的绝对值来表示AC之间的距离，进而列出一个一元一次方程求解出C点所代表的数
【解答】解：设数轴上点C所表示的数为x
由题AC＝2AB，AC＝|x-2|，AB=3-2
可得|x-2|＝2（3-2）
∴±（x-2）＝2（3-2）
∴x＝32-23或23-2，C点表示的数为32-23或23-2，可得D选项为正确答案
故选：D．
【题型5 利用数轴化简】
【例5】（2020秋•二七区校级月考）实数A，B在数轴上的位置，如图所示，那么化简|a+b|+|﹣a|+3b3的结果为 ．
【分析】借助数轴判断出a，b，c的符号，进行绝对值和立方根的化简即可．
【解答】解：由数轴知：a+b＜0，a＜0，
∴|a+b|+|﹣a|+3b3=-（a+b）﹣a+b
＝﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【变式5-1】（2020秋•东坡区月考）实数a、b在数轴上对应点A、B的位置如图，化简：|a+b|-a2-3(a-b)3．
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后利用算术平方根和绝对值的性质解答即可．
【解答】解：由图可知，b＜0＜a，且|a|＜|b|，
所以，a+b＜0，
所以，|a+b|-a2-3(a-b)3
＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a﹣a+b
＝﹣3a．
【变式5-2】（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．
（1）计算：a2﹣2a-c的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；
（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．
【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，
∴c﹣4＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，c＝4，
则原式＝a2﹣2a-c=（﹣3）2﹣2×（﹣3）-4=9﹣（﹣6）﹣2＝13；
（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，
∴b＝﹣1，
∵a＝﹣3，
∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，
∵c＝4，
∴与点C重合的点表示的数是﹣8；
故答案为：（1）13；（2）﹣8．
【变式5-3】（2021春•雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式a2+|b﹣a|+(b-c)2-|2b|的值．
【分析】根据c为8的立方根，求得c＝2，因为a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可．
【解答】解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．
【题型6 实数的应用】
【例6】（2021春•嘉祥县期末）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【答案】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：2，
∴S正方形ABCD=(2)2=2；
（3）∵正方形ABCD的边长为2，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1-2，
故答案为：﹣1-2．
【变式6-1】如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数8．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；
（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数8的位置．
【答案】解：（1）正方形的边长是：5，
面积为：5×5=5．
（2）见图：在数轴上表示实数8，
【变式6-2】如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的边长为 ．
（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ．
（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．
【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【答案】解：（1）设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a=5，
即拼成的正方形的边长为5，
故答案为：5；
（2）由（1）得点A表示的数为5-1，
故答案为：5-1；
（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为6．
【变式6-3】（2020秋•瑞安市期中）如图（1），在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．
（1）求图（1）中正方形ABCD的面积；
（2）如图（2），若点A在数轴上表示的数是﹣1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
【分析】（1）求出正方形ABCD边长即可得面积；
（2）E表示的数比﹣1大，用﹣1加上AE长度即为E表示的数．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD边长为：32+12=10，
∴正方形ABCD的面积是（10）2＝10；
（2）∵正方形ABCD边长为10，
∴AE＝AD=10，
∴E表示的数比﹣1大10，即E表示的数为﹣1+10，
故答案为：﹣1+10．