专题9.1 分式及其基本性质-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

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【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念】
【例1】（2021秋•信都区校级月考）在代数式3x+12、5a、6x2y、35+y、2π+b3、2ab2c35中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：3x+12、6x2y、2π+b3、2ab2c35的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
5a、35+y中分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•新化县校级期中）在下列各式中，分式的个数是（ ）个．
a22，1a+b，ax-1，x2x，﹣m2，x+yx．
A．3B．4C．5D．2
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：a22，﹣m2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
1a+b，ax-1，x2x，x+yx的分母中含有字母，因此是分式，分式共有4个．
故选：B．
【变式1-2】（2020秋•莱州市期中）在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y中，分式有 3 个．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：式子1a、56+x、9x+10y的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【变式1-3】（2021春•秦淮区期末）下列各式：①2020x；②aπ；③-x-3x；④x2+y；⑤1+yx-y；⑥2m2m；⑦﹣3x2，是分式的有 ①、③、⑤、⑥ ，是整式的有 ②、④、⑦ ．（只填序号）
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：②aπ；④x2+y；⑦﹣3x2的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
①2020x；③-x-3x；⑤1+yx-y；⑥2m2m分母中含有字母，因此是分式．
故答案是：①、③、⑤、⑥，②、④、⑦．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2020秋•夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：
（1）x+22x-3
（2）6(x+3)|x|-12
（3）x+6x2+1．
【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：（1）要使x+22x-3有意义，
得2x﹣3≠0．
解得x≠32，
当x≠32时，x+22x-3有意义；
（2）要使6(x+3)|x|-12有意义，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
当x≠±12时，6(x+3)|x|-12有意义；
（3）要使x+6x2+1有意义，得
x2+1≠0．
x为任意实数，x+6x2+1有意义．
【变式2-1】（2021春•温州期末）要使分式a2-4a2-4a+4有意义，实数a必须满足（ ）
A．a＝2B．a＝﹣2C．a≠2D．a≠2且a≠﹣2
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：∵分式a2-4a2-4a+4有意义，
∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≠0．
∴a﹣2≠0．
解得a≠2．
故选：C．
【变式2-2】（2020春•卫辉市期中）使代数式x+3x-3÷x2-9x+4有意义的x的取值范围是 x≠±3且x≠﹣4 ．
【分析】根据分式的分母不等于零得到：x﹣3≠0、x+4≠0、且x2﹣9≠0．
【解答】解：由题意，得x-3≠0x+4≠0x2-9≠0．
解得x≠±3且x≠﹣4．
故答案是：x≠±3且x≠﹣4．
【变式2-3】（2020秋•赛罕区校级期中）要使式子x-11+11+x有意义，则x的取值范围为 x≠﹣1且x≠﹣2 ．
【分析】根据分式的分母为负数不能为0，可得答案．
【解答】解：1+x≠0，1+11+x≠0，
x≠﹣1，x≠﹣2
故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．
【题型3 分式的值为零】
【例3】当x取何值时，下列分式的值为零？
（1）x2-4x+2
（2）x2+2x-3|x|-1
（3）x2-1x2-3x+2
（4）5-|x|x2+4x-5．
【分析】（1）由分式值为0的条件可知；x2﹣4＝0且x+2≠0，从而可解得x的值；
（2）由分式值为0的条件可知；x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，从而可解得x的值；
（3）由分式值为0的条件可知；x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，从而可解得x的值；
（4）由分式值为0的条件可知；5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，从而可解得x的值．
【解答】解：（1）∵分式值为0，
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得x＝2；
（2）∵分式值为0，
∴x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，
解得：x＝﹣3；
（3）∵分式值为0，
∴x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，
解得：x＝﹣1；
（4）∵分式值为0，
∴5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，
∴x＝±5，且（x+5）（x﹣1）≠0
∴x＝5．
【变式3-1】（2021春•碑林区校级期中）若|x|-1x2-2x+1=0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】分式的值为零时：分子＝0，分母≠0．
【解答】解：根据题意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0．
解得x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【变式3-2】（2021春•白云区校级月考）若a、b是实数，且分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，则3a+b的值是（ ）
A．10B．10或2C．2D．非上述答案
【分析】根据分式为0的条件得b+4≠0(a-2)2+|b2-16|=0，再根据绝对值的非负性以及平方的非负性，求得a＝2，b＝4，从而解决此题．
【解答】解：∵分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，
∴b+4≠0(a-2)2+|b2-16|=0．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故选：A．
【变式3-3】（2021春•江阴市校级月考）当x ≠1 时，分式2x-1有意义；如果分式x2-1x+1的值为0，那么x的值是 1 ．当x满足 x＜2且x≠﹣1 时，分式x2+2x+1x-2的值为负数．
【分析】依据分式有意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为负数的条件，即可得出结论．
【解答】解：由题可得，x﹣1≠0，
解得x≠1，
∴当x≠1时，分式2x-1有意义；
由题可得，x2-1=0x+1≠0，
解得x＝1，
∴如果分式x2-1x+1的值为0，那么x的值是1．
由题可得，x2+2x+1＞0x-2＜0，
解得x＜2且x≠﹣1，
当x满足x＜2且x≠﹣1时，分式x2+2x+1x-2的值为负数．
故答案为：≠1；1；x＜2且x≠﹣1．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
；（C≠0）。
【题型4 分式的基本性质】
【例4】（2021秋•河北月考）若分式2xyx2+□中的x和y都扩大3倍，且分式的值不变，则□可以是（ ）
A．2B．yC．y2D．3y
【分析】x和y都扩大3倍，则2xy扩大到原来的9倍，要使分式的值不变，则x2+□也扩大到原来的9倍，所以□可以是y2．
【解答】解：∵x和y都扩大3倍，
∴2xy扩大到原来的：3×3＝9倍，
∵分式的值不变，
∴x2+□也扩大到原来的9倍，
∵x扩大3倍，x2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□也要扩大到原来的9倍，
∵y扩大3倍，y、3y都扩大到原来的3倍，y2扩大到原来的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故选：C．
【变式4-1】（2021春•米易县期末）下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A．ab=a+2b+2B．ab=ambm
C．a2-b2a-b=a-bD．ab=abb2
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式4-2】（2021春•碑林区校级期末）已知|a-3|a2-6a+9=13-a，则a的取值范围是 a＜3 ．
【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案．
【解答】解：∵|a-3|a2-6a+9=|a-3|(a-3)2=13-a，
∴a﹣3＜0．
解得a＜3．
故答案是：a＜3．
【变式4-3】（2020春•和平区期中）如果分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值是 3 ．
【分析】直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵分式2x3x2+5y2的值为9，把式中的x，y同时变为原来的3倍，
∴原式=3×2x3(3x)2+5(3y)2=13×2x3x2+5y2=3．
故答案为：3．
【知识点3 分式的约分和通分】
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【题型5 分式的约分与通分】
【例5】（2020秋•聊城期中）约分：
（1）24a12x3y218a6x3；
（2）ma+mb-mca+b-c；
（3）a2-4ab+4b2a2-4b2．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后再约掉分子分母的公因式即可．
【解答】解：（1）原式=6a6x3⋅4a6y26a6x3⋅3=43a6y2；
（2）原式=m(a+b-c)a+b-c=m；
（3）原式=(a-2b)2(a+2b)(a-2b)=a-2ba+2b．
【变式5-1】（2021春•玄武区校级期中）分式1x2-4，x-1x，1x+2的最简公分母是 x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：1x2-4=1(x+2)(x-2)，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【变式5-2】（2020秋•丹江口市期中）通分：
（1）1x2-2x+1，1x2-1；
（2）aa2-b2，ba2+2ab+b2；
（3）x+2yx2-y2，x-y2x2-4xy+2y2；
（4）a-2ba2-4ab+4b2，a+ba2+2ab+b2．
【分析】（1）直接找出最简公分母（x﹣1）2（x+1），进而通分运算得出答案；
（2）直接找出最简公分母（a+b）2（a﹣b），进而通分运算得出答案；
（3）直接找出最简公分母2（x+y）（x﹣y），进而通分运算得出答案；
（4）直接找出最简公分母（a﹣2b）（a+b），进而通分运算得出答案．
【解答】解：（1）1x2-2x+1=1(x-1)2=x+1(x-1)2(x+1)，
1x2-1=1(x+1)(x-1)=x-1(x-1)2(x+1)；
（2）aa2-b2=a(a+b)(a-b)=a(a+b)(a+b)2(a-b)=a2+ab(a+b)2(a-b)，
ba2+2ab+b2=b(a+b)2=b(a-b)(a+b)2(a-b)=ab-b2(a+b)2(a-b)；
（3）x+2yx2-y2=x+2y(x+y)(x-y)=2x+4y2(x+y)(x-y)，
x-y2x2-4xy+2y2=x-y2(x-y)2=12(x-y)=x+y2(x-y)(x+y)；
（4）a-2ba2-4ab+4b2=a-2b(a-2b)2=1a-2b=a+b(a-2b)(a+b)，
a+ba2+2ab+b2=1a+b=a-2b(a+b)(a-2b)．
【变式5-3】（2021秋•岱岳区校级月考）已知分式13x2-3，2x-1，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且ba=3，试求这两个分式的值．
【分析】找出两分式中分母的公因式确定出a，找出最简公分母确定出b．
【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x+1）（x﹣1），
∴ba=3(x+1)(x-1)x-1=3（x+1）＝3，即x＝0
则13x2-3=-13．
2x-1=20-1=-2．
【题型6 运用分式的基本性质求值】
【例6】（2021春•兰州期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：y+zx=z+xy=x+yz，其中x+y+z≠0，求x+y-zx+y+z的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设y+zx=x+zy=x+yz=k，
则：y+z=kx(1)x+z=ky(2)x+y=kz(3)，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式=2z-z2z+z=z3z=13．
【变式6-1】（2020秋•沂源县期中）若1x+1y=2，则2x-xy+2y3x+5xy+3y= 311
【分析】由1x+1y=2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由1x+1y=2，得x+y＝2xy
则2x-xy+2y3x+5xy+3y=2(x+y)-xy3(x+y)+5xy=2⋅2xy-xy3⋅2xy+5xy=3xy11xy=311．
故答案为311．
【变式6-2】（2021•奉化区）若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f= 34 ；若x-2yy=23，则xy= 83 ．
【分析】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可；
（2）将已知条件变换即可得．
【解答】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：a+c+eb+d+f=3x+3y+3z4x+4y+4z=34；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以xy=83．
故答案为34、83．
【变式6-3】（2020秋•武陵区校级期中）阅读下列解题过程，并完成问题：
若ab=-2，求a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2的值．
解：因为ab=-2，所以a＝﹣2b．
所以a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2=(-2b)2-2(-2b)b-3b2(-2b)2-6(-2b)b-7b2=5b29b2=59．
（1）解题过程中，由5b29b2得59，是对分式进行了 约分 ；
（2）已知ab=12，求a2-2ab-3b2a2-6ab-7b2的值；
（3）已知x3=y4=z6≠0，求x+y-zx-y+z的值．
【分析】（1）根据分式的分子、分母都除以b2，知道是对分式进行了约分；
（2）根据条件得：b＝2a，代入代数式中，约去a2即可得到答案；
（3）设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k，代入代数式中，约去k，即可得到答案．
【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案为：约分；
（2）∵ab=12，
∴b＝2a，
∴原式=a2-2a⋅2a-3(2a)2a2-6a⋅2a-7(2a)2
=-15a2-29a2
=1529；
（3）设x3=y4=z6=k（k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴原式=3k+4k-6k3k-4k+6k
=k5k
=15．