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专题一集合、常用逻辑用语与不等式-2024五年高考题分类训练（数学）

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这是一份专题一集合、常用逻辑用语与不等式-2024五年高考题分类训练（数学），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

题组
一、选择题
1. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知集合M={-2 ,-1 ,0,1,2} ，N={x|x2-x-6≥0} ，则M∩N= ( C )
A. {-2 ,-1 ,0,1} B. {0 ,1,2} C. {-2} D. {2}
[解析]解法一因为N={xx2-x-6≥0}={xx≥3 或x≤-2} ，所以M∩N={-2} ，故选C .
解法二由于1∉N ，所以1∉M∩N ，排除A ，B ；由于2∉N ，所以2∉M∩N ，排除D .故选C ．
2. [2023新高考卷Ⅱ，5分]设集合A={0 ,-a} ,B={1 ,a-2 ,2a-2} ，若A⊆B ，则a= ( B )
A. 2B. 1C. 23 D. -1
[解析]依题意，有a-2=0 或2a-2=0 .当a-2=0 时，解得a=2 ，此时A={0 ,-2} ，B={1 ,0,2} ，不满足A⊆B ；当2a-2=0 时，解得a=1 ，此时A={0 ,-1} ，B={-1 ,0,1} ，满足A⊆B .所以a=1 ，故选B .
3. [2023天津，5分]已知集合U={1 ,2,3,4,5} ,A={1 ,3} ,B={1 ,2,4} ，则∁UB∪A= ( A )
A. {1 ,3,5} B. {1 ,3} C. {1 ,2,4} D. {1 ,2,4,5}
[解析]因为U={1 ,2,3,4,5} ,B={1 ,2,4} ，所以∁UB={3 ,5} ,又A={1 ,3} ，所以∁UB∪A={1 ,3,5} .故选A .
4. [2023全国卷甲，5分]设全集U=Z ，集合M={x|x=3k+1,k∈Z} ,N={x|x=3k+2,k∈Z} ，则∁UM∪N= ( A )
A. {x|x=3k,k∈Z} B. {x|x=3k-1,k∈Z}
C. {x|x=3k-2,k∈Z} D. ⌀
[解析]解法一 M={… ,-2 ,1,4,7,10,…} ,N={… ,-1 ,2,5,8,11,…} ，所以M∪N={… ,-2 ，-1 ,1,2,4,5,7,8,10,11，…} ,所以∁UM∪N={… ,-3 ,0,3,6,9,…} ，其元素都是3的倍数,即∁UM∪N={x|x=3k,k∈Z} ，故选A .
解法二集合M∪N 表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A .
5. [2023全国卷乙，5分]设集合U=R ,集合M={x|x<1} ,N={x|-1A. ∁UM∪N B. N∪∁UM C. ∁UM∩N D. M∪∁UN
[解析]M∪N={x|x<2} ，所以∁UM∪N={x|x≥2} ，故选A .
6. [2022浙江，4分]设集合A={1 ,2} ,B={2 ,4,6} ，则A∪B= ( D )
A. {2} B. {1 ,2} C. {2 ,4,6} D. {1 ,2,4,6}
[解析]由集合并集的定义，得A∪B={1 ,2,4,6} ，故选D ．
7. [2022新高考卷Ⅰ，5分]若集合M={x|x<4} ,N={x|3x≥1} ,则M∩N= ( D )
A. {x|0≤x<2} B. {x|13≤x<2} C. {x|3≤x<16} D. {x|13≤x<16}
[解析]因为M={x|x<4} ，所以M={x|0≤x<16} ；因为N={x|3x≥1} ，所以N={x|x≥13 }.所以M∩N={x|13≤x<16} ，故选D ．
8. [2022新高考卷Ⅱ，5分]已知集合A={-1 ，1，2，4} ，B={x x-1|≤1} ，则A∩B= ( B )
A. {-1 ,2} B. {1 ,2} C. {1 ,4} D. {-1 ,4}
[解析]由x-1≤1 ，得-1≤x-1≤1 ，解得0≤x≤2 ，所以B={x|0≤x≤2} ，所以A∩B={1 ,2} ，故选B .
9. [2022北京，4分]已知全集U={x|-3A. (-2,1] B. -3,-2∪[1,3) C. [-2,1) D. (-3 ,-2]∪1,3
[解析]因为全集U=-3,3 ，A=(-2,1] ，所以∁UA=(-3,-2]∪1,3 ，故选D .
10. [2022全国卷乙，5分]设全集U={1 ,2,3,4,5} ，集合M 满足∁UM={1 ,3} ,则( A )
A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M
[解析]由题意知M={2 ,4,5} ，故选A .
11. [2022全国卷甲，5分]设全集U={-2 ，-1 ,0，1，2，3} ,集合A={-1 ,2} ,B={x|x2 -4x+3=0} ,则∁UA∪B= ( D )
A. {1 ,3} B. {0 ,3} C. {-2 ,1} D. {-2 ,0}
[解析]集合B={1 ,3} ，所以A∪B={-1 ,1,2,3} ，所以∁UA∪B={-2 ,0} .故选D .
12. [2021新高考卷Ⅰ，5分]设集合A={x|-2A. {2} B. {2 ,3} C. {3 ,4} D. {2 ,3,4}
[解析]因为A={x|-213. [2021新高考卷Ⅱ，5分]若全集U={1 ，2，3，4，5，6} ,集合A={1 ，3，6} ，B={2 ，3，4} ，则A∩∁UB= ( B )
A. {3} B. {1 ，6} C. {5 ，6} D. {1 ，3}
[解析]因为∁UB={1 ,5,6} ，A={1 ,3,6} ，所以A∩∁UB={1 ,6} .
14. [2021全国卷甲，5分]设集合M={x|0A. {x|0[解析]M∩N={x|13≤x<4} .
15. [2021全国卷乙，5分]已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z} ,T={t|t=4n+1,n∈Z} ,则S∩T= ( C )
A. ⌀ B. S C. T D. Z
[解析]在集合T 中，令n=kk∈Z ，则t=4n+1=22k+1k∈Z ，而集合S 中，s=2n+1n∈Z ，所以必有T⫋S ，所以T∩S=T ，故选C .
【速解】 S={… ,-3 ,-1 ,1,3,5,…} ，T={… ,-3 ,1,5,…} ，观察可知，T⫋S ，所以T∩S=T ，故选C.
16. [2020新高考卷Ⅰ，5分]设集合A={x|1≤x≤3} ,B={x|2A. {x|2[解析]A={x|1≤x≤3} ，B={x|2【速解】因为1∈A={x|1≤x≤3} ,所以1∈A∪B .而选项A，B和D中的集合均没有元素1，故选C.
17. [2020北京，4分]已知集合A={-1 ,0,1,2} ,B={x|0A. {-1 ,0,1} B. {0 ,1} C. {-1 ,1,2} D. {1 ,2}
[解析]由题意得，A∩B={1 ,2} ,故选D .
18. [2020全国卷Ⅰ，5分]设集合A={x|x2-4≤0} ,B={x|2x+a≤0} ,且A∩B={x|-2≤x≤1} ,则a= ( B )
A. -4 B. -2 C. 2D. 4
[解析]易知A={x|-2≤x≤2} ，B={x|x≤-a2} ,因为A∩B={x|-2≤x≤1} ,所以-a2=1 ，解得a=-2 ．故选B ．
19. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知集合A={x,y|x,y∈N*,y≥x} ,B={x,y|x+y=8} ,则A∩B 中元素的个数为( C )
A. 2B. 3C. 4D. 6
[解析]由题意得，A∩B={1,7 ,2,6 ,3,5 ,4,4} ，所以A∩B 中元素的个数为4，选C .
20. [2020新高考卷Ⅰ，5分]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96% 的学生喜欢足球或游泳，60% 的学生喜欢足球，82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( C )
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
[解析]不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96%=100×60%+100×82%-x ,解得x=46 ，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46% .选C .
21. [2020浙江，4分]设集合S ,T ,S⊆N* ，T⊆N* ,S ,T 中至少有2个元素，且S ,T 满足：
①对于任意的x ,y∈S ,若x≠y ，则xy∈T ;
②对于任意的x ,y∈T ,若x下列命题正确的是( A )
A. 若S 有4个元素，则S∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S∪T 有6个元素
C. 若S 有3个元素，则S∪T 有5个元素D. 若S 有3个元素，则S∪T 有4个元素
[解析]①当S 中有3个元素时，设S={a ,b ,c} ，a②当S 中有4个元素时，设S={a ,b ,c ,d} ，a【速解】当S={1 ,2,4} ，T={2 ,4,8} 时，S∪T={1 ,2,4,8} ，故C错误；当S={2 ,4,8} ，T={8 ,16,32} 时，S∪T={2 ,4,8,16,32} ，故D错误；当S={2 ,4,8,16} ，T={8 ,16,32,64,128} 时，S∪T={2 ,4,8,16,32,64,128} ，故B错误.故选A.
22. [2019全国卷Ⅲ，5分]已知集合A={-1 ，0，1，2} ，B={x|x2≤1} ，则A∩B= ( A )
A. {-1 ，0，1} B. {0 ，1} C. {-1 ，1} D. {0 ，1，2}
[解析]集合B={x|-1≤x≤1} ,则A∩B={-1 ,0,1} .
23. [2019全国卷Ⅰ，5分]已知集合M={x|-4A. {x|-4[解析]解法一 ∵N={x|-2解法二由M∩N⊆M 可排除A ,D .由1∈M ,1∈N ,知1∈M∩N ，排除B ,选C ．
【方法技巧】求解集合的基本运算问题的方法
（1）直接法：离散数集的运算借助韦恩图，连续数集的运算借助数轴；
（2）间接法：根据集合的定义进行取值验证即可.
24. [2019天津，5分]设集合A={-1 ，1，2，3，5} ，B={2 ，3，4} ，C={x∈R|1≤x<3} ，则A∩C∪B= ( D )
A. {2} B. {2 ，3} C. {-1 ，2，3} D. {1 ，2，3，4}
[解析]由条件可得A∩C={1 ,2} ,故A∩C∪B={1 ,2,3,4} .
25. [2019全国卷Ⅲ，5分]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( C )
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8
[解析]解法一根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7 .
解法二设事件A 表示随机从这100位被调查的学生中选择1名学生，该学生阅读过《红楼梦》；事件B 表示随机从这100位被调查的学生中选择1名学生，该学生阅读过《西游记》.
根据题设知，PA∪B=0.9 ,PA=0.8 ,PA∩B=0.6 ,可得PB=PA∪B-PA+PA∩B=0.7 .
则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 0.7.选C .
二、填空题
26. [2020江苏，5分]已知集合A={-1 ,0,1,2} ，B={0 ,2,3} ，则A∩B= {0 ,2} .
[解析]由交集的定义可得A∩B={0 ,2} .
27. [2019江苏，5分]已知集合A={-1 ，0，1，6} ，B={x|x>0,x∈R} ，则A∩B= {1 ,6} .
[解析]由交集定义可得A∩B={1 ,6} .
考点2 常用逻辑用语
题组
选择题
1. [2023天津，5分]“a2=b2 ”是“a2+b2=2ab ”的( B )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
[解析]因为“a2=b2 ”⇔ “a=-b 或a=b ”，“a2+b2=2ab ”⇔ “a=b ”，所以本题可以转化为判断“a=-b 或a=b ”与“a=b ”的关系，又“a=-b 或a=b ”是“a=b ”的必要不充分条件，所以“a2=b2 ”是“a2+b2=2ab ”的必要不充分条件.故选B .
2. [2023全国卷甲，5分]设甲:sin2α+sin2β=1 ,乙:sin α+cs β=0 ,则( B )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]甲等价于sin2α=1-sin2β=cs2β ，等价于sin α=±cs β ，所以由甲不能推导出sin α+cs β=0 ，所以甲不是乙的充分条件；由sin α+cs β=0 ，得sin α=-cs β ，平方可得sin2α=cs2β=1-sin2β ，即sin2α+sin2β=1 ，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B .
3. [2023新高考卷Ⅰ，5分]设Sn 为数列{an} 的前n 项和，设甲：{an} 为等差数列；乙：{Snn} 为等差数列.则( C )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]若{an} 为等差数列，设其公差为d ，则an=a1+n-1d ，所以Sn=na1+nn-12d ，所以Snn=a1+n-1⋅d2 ，所以Sn+1n+1-Snn=a1+n+1-1⋅d2-[a1+n-1⋅d2]=d2 ，为常数，（等差数列的定义）
所以{Snn} 为等差数列，即甲⇒ 乙；若{Snn} 为等差数列，设其公差为t ，则Snn=S11+n-1t=a1+n-1t ，所以Sn=na1+nn-1t ，所以当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=na1+nn-1t-[n-1a1+n-1n-2t]=a1+2n-1t ，当n=1 时，S1=a1 也满足上式，所以an=a1+2n-1tn∈N* ，所以an+1-an=a1+2n+1-1t-[a1+2n-1t]=2t ，为常数，所以{an} 为等差数列，即甲⇐ 乙.所以甲是乙的充要条件，故选C .
4. [2022天津，5分]“x 是整数”是“2x+1 是整数”的( A )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]若x 是整数，则2x+1 是整数；当x=12 时，2x+1 是整数，但x 不是整数.所以“x 是整数”是“2x+1 是整数”的充分不必要条件，故选A .
5. [2022浙江，4分]设x∈R ，则“sin x=1 ”是“cs x=0 ”的( A )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]由sin x=1 ，得x=2kπ+π2k∈Z ，则cs 2kπ+π2=csπ2=0 ，故充分性成立；又由cs x=0 ，得x=kπ+π2k∈Z ，而sinkπ+π2=1 或-1 ，故必要性不成立.所以“sin x=1 ”是“cs x=0 ”的充分不必要条件,故选A ．
【方法技巧】定义法是判断充分条件与必要条件最基本、最常用的方法，解题要点如下：①分清条件与结论(p 与q) ，②判断“若p ,则q ”及“若q ,则p ”的真假，③下结论，p⇒q,q⇏ p⇔p 是q 的充分不必要条件；p⇏ q,q⇒p⇔p 是q 的必要不充分条件；p⇒q,q⇒p⇔p 是q 的充要条件；p⇏ q,q⇏ p⇔p 是q 的既不充分也不必要条件．
6. [2022北京，4分]设{an} 是公差不为0的无穷等差数列，则“{an} 为递增数列”是“存在正整数N0 ，当n>N0 时,an>0 ”的( C )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]设无穷等差数列{an} 的公差为dd≠0 ，则an=a1+n-1d=dn+a1-d ，若{an} 为递增数列，则d>0 ，则存在正整数N0 ，使得当n>N0 时，an=dn+a1-d>0 ，所以充分性成立；若存在正整数N0 ，使得当n>N0 时，an=dn+a1-d>0 ，即d>d-a1n 对任意的n>N0 ，n∈N* 均成立，由于n→+∞ 时，d-a1n→0 ，且d≠0 ，所以d>0 ,{an} 为递增数列，必要性成立.故选C .
7. [2021北京，4分]设函数fx 的定义域为[0,1] ，则“函数fx 在[0,1] 上单调递增”是“函数fx 在[0,1] 上的最大值为f1 ”的( A )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]设p: 函数fx 在[0,1] 上单调递增，q: 函数fx 在[0,1] 上的最大值为f1 ，由单调性的定义可知，p⇒q 成立，而q⇒p 不成立，举反例如图所示，所以p 是q 的充分而不必要条件，选A .
8. [2021浙江，4分]已知非零向量a ,b ,c ,则“a⋅c=b⋅c ”是“a=b ”的( B )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]由a⋅c=b⋅c 可得a-b⋅c=0 ，所以a-b⊥c 或a=b ，所以“a⋅c=b⋅c ”是“a=b ”的必要不充分条件.故选B .
9. [2021全国卷甲，5分]等比数列{an} 的公比为q ,前n 项和为Sn .设甲：q>0 ，乙：{Sn} 是递增数列，则( B )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析]当a1<0 ,q>1 时，an=a1qn-1<0 ，此时数列{Sn} 递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn} 递增时，有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0 ，若a1>0 ，则qn>0n∈N* ，即q>0 ；若a1<0 ，则qn<0n∈N* ，不存在.所以甲是乙的必要条件.故选B .
10. [2020天津，5分]设a∈R ,则“a>1 ”是“a2>a ”的( A )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]由a2>a 得a>1 或a<0 ，反之，由a>1 得a2>a ，则“a>1 ”是“a2>a ”的充分不必要条件，故选A .
11. [2020北京，4分]已知α ，β∈R ,则“存在k∈Z 使得α=kπ+-1kβ ”是“sin α=sin β ”的( C )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]若存在k∈Z 使得α=kπ+-1kβ ，则当k=2n ,n∈Z 时，α=2nπ+β ，则sin α=sin2nπ+β=sin β ；当k=2n+1 ,n∈Z 时，α=2n+1π-β ，则sin α=sin2nπ+π-β=sinπ-β=sin β .若sin α=sin β ，则α=2nπ+β 或α=2nπ+π-β ，n∈Z ,即α=kπ+-1kβ ，k∈Z ，故选C .
12. [2020浙江，4分]已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n .“l ,m ,n 共面”是“l ,m ,n 两两相交”的( B )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]m ,n ，l 在同一平面内，可能有m ,n ,l 两两平行，所以m ,n ,l 可能没有公共点，所以不能推出m ,n ，l 两两相交.由m ,n ,l 两两相交且m ,n ,l 不经过同一点，可设l∩m=A ,l∩n=B ,m∩n=C ，且A∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α ，而B ,C∈n ，所以B ,C∈α ，所以l ,m⊂α ，所以m ,n ,l 在同一平面内.故选B .
13. [2019天津，5分]设x∈R ，则“x2-5x<0 ”是“x-1<1 ”的( B )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]由x2-5x<0 可得0【方法技巧】对于判断充分必要条件的问题,可以借助集合之间的包含关系进行,例如,本题先通过求不等式的解集,再根据区间0,2 是0,5 的真子集即可得出结论.
14. [2019浙江，4分]设a>0 ，b>0 ，则“a+b≤4 ”是“ab≤4 ”的( A )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]因为a>0 ,b>0 ，所以a+b≥2ab ，由a+b≤4 可得2ab≤4 ，解得ab≤4 ，所以充分性成立；当ab≤4 时，取a=8 ,b=13 ，满足ab≤4 ，但a+b>4 ，所以必要性不成立.所以“a+b≤4 ”是“ab≤4 ”的充分不必要条件.故选A .
15. [2019北京，5分]设函数fx=cs x+bsin x （b 为常数）,则“b=0 ”是“fx 为偶函数”的( C )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]b=0 时，fx=cs x ，显然fx 为偶函数，充分性成立；fx 为偶函数，则有f-x=fx ，即cs-x+bsin-x=cs x+bsin x ，又cs-x=cs x ,sin-x=-sin x ，所以cs x-bsin x=cs x+bsin x ，则2bsin x=0 对任意x∈R 恒成立，得b=0 ，因此必要性也成立.因此“b=0 ”是“fx 为偶函数”的充分必要条件，故选C .
16. [2019北京，5分]设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB+AC>BC ”的( C )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]如图，在平行四边形ABDC 中，易知AB+AC=AD .当∠CAB=90∘ 时，AD=BC ;当∠CAB<90∘ 时，AD>BC
（如图中平行四边形ACD'B' ）；同理可得，当∠CAB>90∘ 时，ADBC ”的充分必要条件，故选C .
考点3 不等式的性质与解法、基本不等式
题组
一、选择题
1. [2022全国卷甲，5分]已知a=3132 ,b=cs14 ,c=4sin14 ,则( A )
A. c>b>a B. b>a>c C. a>b>c D. a>c>b
[解析]因为b=cs14=1-2sin218 ，所以b-a=1-2sin218-3132=132-2sin218=2164-sin218 .由x>sin xx>0 ，得18>sin 18 ，得164>sin218 ，所以b>a .因为cb=4sin 14cs 14=4tan 14 ，由tan x>xx>0 得tan14>14 ，即4tan14>1 ，所以cb>1b>0 ，即c>b .综上c>b>a .
2. [2021全国卷乙，5分]下列函数中最小值为4的是( C )
A. y=x2+2x+4 B. y=sin x+4sin x
C. y=2x+22-x D. y=ln x+4ln x
[解析]选项A ：因为y=x2+2x+4=x+12+3 ，所以当x=-1 时，y 取得最小值，且ymin=3 ，所以选项A 不符合题意.
选项B ：因为y=sin x+4sin x≥2sin x⋅4sin x=4 ，所以y≥4 ，当且仅当sin x=4sin x ，即sin x=2 时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知sin x=2 不可能成立，（易错警示：利用基本不等式求最值时，必须关注“等号”能否取到）
因此可知y>4 ，所以选项B 不符合题意.
选项B 另解设sin x=t ,则t∈(0,1] ，根据函数y=t+4t 在(0,1] 上单调递减可得ymin=1+41=5 ，（难点突破：“换元”，构造函数，灵活运用对勾函数的单调性）
所以选项B 不符合题意.
选项C ：因为y=2x+22-x≥22x⋅22-x=4 ，当且仅当2x=22-x ，即x=2-x ，x=1 时不等式取等号，所以ymin=4 ，所以选项C 符合题意.
选项D ：当01 ，即ln x>0 时，才有y=ln x+4ln x≥2ln x⋅4ln x=4 ，当且仅当ln x=4ln x ，即ln x=2 ，x=e2 时不等式取等号，此时ymin=4 ）
故选C .
3. [2021浙江，4分]已知α ，β ，γ 是互不相同的锐角，则在sin αcs β ，sin βcs γ ，sin γcs α 三个值中，大于12 的个数的最大值是( C )
A. 0B. 1C. 2D. 3
[解析]因为α ,β ,γ 是互不相同的锐角，所以sin α ，cs β ,sin β ，cs γ ,sin γ ，cs α 均为正数.由基本不等式可知sin αcs β≤sin2α+cs2β2 ，sin βcs γ≤sin2β+cs2γ2 ，sin γcs α≤sin2γ+cs2α2 .三式相加可得sin αcs β+sin βcs γ+sin γcs α≤32 ，当且仅当sin α=cs β ,sin β=cs γ ,sin γ=cs α ，即α=β=γ=π4 时取等号.因为α ,β ,γ 是互不相同的锐角，所以sin αcs β+sin βcs γ+sin γcs α<32 ，所以这三个值不会都大于12 .若取α=π6 ,β=π3 ,γ=π4 ，则sinπ6csπ3=12×12=14<12 ，sinπ3csπ4=32×22=64>24=12 ，sinπ4csπ6=22×32=64>12 ，所以这三个值中大于12 的个数的最大值为2.故选C .
【方法技巧】解决本题的关键在于利用基本不等式得到这三个值不会都大于12 ，再利用赋值法确定这三个值中可能存在两个值大于12 ，由此确定结论.
4. [2020北京，4分]已知函数fx=2x-x-1 ，则不等式fx>0 的解集是( D )
A. -1,1 B. -∞,-1∪1,+∞ C. 0,1 D. -∞,0∪1,+∞
[解析]函数fx=2x-x-1 ，则不等式fx>0 的解集即2x>x+1 的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x ,y=x+1 的图象，如图所示，结合图象易得2x>x+1 的解集为-∞,0∪1,+∞ ，故选D .
5. [2022新高考卷Ⅱ，5分]（多选题）若x ,y 满足x2+y2-xy=1 ，则( BC )
A. x+y≤1 B. x+y≥-2 C. x2+y2≤2 D. x2+y2≥1
[解析]由题意得，x2+y2=xy+1 .因为x2+y2≥2xy ，所以xy+1≥2xy ，所以xy≤1 ，所以x2+y2≤2 ，当且仅当x=y 时等号成立，故C 正确.因为x+y2=x2+y2+2xy=3xy+1≤4 ，所以x+y≤2 ，所以-2≤x+y≤2 ，故B 正确.故选BC .
6. [2020新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）已知a>0 ,b>0 ,且a+b=1 ,则( ABD )
A. a2+b2≥12 B. 2a-b>12
C. lg2a+lg2b≥-2 D. a+b≤2
[解析]对于选项A ，∵a2+b2≥2ab ,∴2a2+b2≥a2+b2+2ab=a+b2=1 ,∴a2+b2≥12 ，A 正确；对于选项B ，易知02-1=12 ，B 正确；对于选项C ，令a=14 ,b=34 ,则lg214+lg234=-2+lg234<-2 ，C 错误；对于选项D ,∵2=2a+b ,∴[2a+b]2-a+b2=a+b-2ab=a-b2≥0 ,∴a+b≤2 ,D 正确.故选ABD .
【拓展结论】 21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22 （a>0 ,b>0 ，当且仅当a=b 时取等号）.
二、填空题
7. [2020天津，5分]已知a>0 ，b>0 ，且ab=1 ，则12a+12b+8a+b 的最小值为4.
[解析]依题意得12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2×8a+b=4 ，当且仅当a>0,b>0,ab=1,a+b2=8a+b, 即ab=1,a+b=4 时取等号.因此12a+12b+8a+b 的最小值为4.
【方法技巧】利用基本不等式证明不等式或求最值时，若满足“一正、二定、三相等”，则直接应用基本不等式；若不满足基本不等式条件，则需要创造条件，如构造“1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等使之转化为可用基本不等式的形式.若多次使用基本不等式，一定要注意是否每次使用都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错.若可用基本不等式，但等号不成立，则一般利用函数单调性求解.
8. [2020江苏，5分]已知5x2y2+y4=1x,y∈R ，则x2+y2 的最小值是45 .
[解析]解法一由5x2y2+y4=1 得x2=15y2-y25 ，则x2+y2=15y2+4y25≥215y2⋅4y25=45 ，当且仅当15y2=4y25 ,即y2=12 时取等号，则x2+y2 的最小值是45 .
解法二 4=5x2+y2⋅4y2≤[5x2+y2+4y22]2=254x2+y22 ，则x2+y2≥45 ，当且仅当5x2+y2=4y2=2 ，即x2=310 ,y2=12 时取等号，则x2+y2 的最小值是45 .
9. [2019天津，5分]设x>0 ，y>0 ，x+2y=5 ，则x+12y+1xy 的最小值为43 .
[解析]x+12y+1xy=2xy+2y+x+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy .由x+2y=5 得5≥22xy ,即xy≤524 ,即xy≤258 ,当且仅当x=2y=52 时等号成立.2xy+6xy≥22xy⋅6xy=43 ,当且仅当2xy=6xy ,即xy=3 时取等号,结合xy≤258 可知,xy 可以取到3,故x+12y+1xy 的最小值为43 .
10. [2019北京，5分]李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% .
① 当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130 元;
[解析]顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60+80=140 （元），又140>120 ，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.
② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为15.
[解析]设顾客一次购买的水果总价为m 元.由题意易知，当0