专题二 函数概念与基本初等函数-2024五年高考题分类训练（数学）

这是一份专题二 函数概念与基本初等函数-2024五年高考题分类训练（数学），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

题组
一、选择题
1. [2023新高考卷Ⅱ，5分]若fx=x+a⋅ln2x-12x+1 为偶函数，则a= ( B )
A. -1 B. 0C. 12 D. 1
[解析]设gx=ln 2x-12x+1 ，易知gx 的定义域为-∞,-12∪12,+∞ ，且g-x=ln -2x-1-2x+1=ln 2x+12x-1=-ln 2x-12x+1=-gx ，所以gx 为奇函数.若fx=x+aln 2x-12x+1 为偶函数，则y=x+a 也应为奇函数，所以a=0 ，（在公共定义域内：奇± 奇= 奇，偶± 偶= 偶，奇×奇= 偶，偶×偶= 偶，奇×偶= 奇）故选B .
【速解】 因为fx=x+aln 2x-12x+1 为偶函数，f-1=a-1ln 3 ,f1=a+1ln 13=-a+1ln 3 ,所以a-1ln 3=-a+1ln 3 ,解得a=0 ,故选B.
【方法技巧】常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0 且a≠1) ，y=cs x ，y=x2nn∈Z ，y=x 等;常见的奇函数有y=ax-a-x ，y=sin x ，y=tan x ，y=x2n+1n∈Z ，y=1x ,y=lga1-x1+x ，y=lgax+1+x2 等，其中a>0 且a≠1 .
2. [2023全国卷甲，5分]已知函数fx=e-x-12 ．记a=f22 ，b=f32 ，c=f62 ，则( A )
A. b>c>a B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
[解析]函数fx=e-x-12 是由函数y=eu 和u=-x-12 复合而成的复合函数，y=eu 为R 上的增函数，u=-x-12 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，fx 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减.易知fx 的图象关于直线x=1 对称，所以c=f62=f2-62 ，又22<2-62<32<1 ，所以f22c>a ，故选A .
3. [2022新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx 的定义域为R ,且fx+y+fx-y=fxfy ,f1=1 ,则∑22k=1 fk= ( A )
A. -3 B. -2 C. 0D. 1
[解析]因为f1=1 ，所以在fx+y+fx-y=fxfy 中，令y=1 ，得fx+1+fx-1=fxf1 ，所以fx+1+fx-1=fx ①，所以fx+2+fx=fx+1 ②.由①②相加，得fx+2+fx-1=0 ，故fx+3+fx=0 ，所以fx+3=-fx ，所以fx+6=-fx+3=fx ，所以函数fx 的一个周期为6.在fx+y+fx-y=fxfy 中，令y=0 ，得fx+fx=fxf0 ，所以f0=2 .令x=1 ,y=1 ，得f2+f0=f1f1 ，所以f2=-1 .由fx+3+fx=0 ，得f1+f4=0 ,f2+f5=0 ,f3+f6=0 ，所以f1+f2+…+f6=0 ，根据函数的周期性知，∑22k=1fk=f1+f2+f3+f4=1-1-2-1=-3 ，故选A .
4. [2022全国卷乙，5分]已知函数fx ，gx 的定义域均为R ，且fx+g2-x=5 ，gx-fx-4=7 .若y=gx 的图象关于直线x=2 对称，g2=4 ，则∑22k=1fk= ( D )
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
[解析]由y=gx 的图象关于直线x=2 对称，可得g2+x=g2-x .在fx+g2-x=5 中,用-x 替换x ，可得f-x+g2+x=5 ，可得f-x=fx ①,所以y=fx 为偶函数.在gx-fx-4=7 中，用2-x 替换x ,得g2-x=f-x-2+7 ，代入fx+g2-x=5 中,得fx+f-x-2=-2 ②,所以y=fx 的图象关于点-1,-1 中心对称，所以f1=f-1=-1 .由①②可得fx+fx+2=-2 ,所以fx+2+fx+4=-2 ，所以fx+4=fx ，所以函数fx 是以4为周期的周期函数.由fx+g2-x=5 可得f0+g2=5 ，又g2=4 ，所以可得f0=1 ，又fx+fx+2=-2 ,所以f0+f2=-2 ,得f2=-3 ，又f3=f-1=-1 ,f4=f0=1 ，所以∑22k=1fk=6f1+6f2+5f3+5f4=6×-1+6×-3+5×-1+5×1=-24 .故选D .
【方法技巧】 函数图象的对称性的常用结论
（1）fa+x=fb-x⇔ 函数fx 的图象关于直线x=a+b2 对称；
（2）fx+a+fb-x=c⇔ 函数y=fx 的图象关于点a+b2,c2 中心对称.
5. [2021全国卷甲，5分]下列函数中是增函数的为( D )
A. fx=-x B. fx=23x C. fx=x2 D. fx=3x
[解析]如图，在坐标系中分别画出A ，B ，C ，D 四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D 项符合题意．故选D ．
6. [2021全国卷乙，5分]设函数fx=1-x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( B )
A. fx-1-1 B. fx-1+1 C. fx+1-1 D. fx+1+1
[解析]因为fx=1-x1+x ，所以fx-1=1-x-11+x-1=2-xx ，fx+1=1-x+11+x+1=-xx+2 .
对于A ,Fx=fx-1-1=2-xx-1=2-2xx ,定义域关于原点对称，但不满足Fx=-F-x ；
对于B ,Gx=fx-1+1=2-xx+1=2x ，定义域关于原点对称，且满足Gx=-G-x ；
对于C ,fx+1-1=-xx+2-1=-2x+2x+2 ,定义域不关于原点对称；
对于D ,fx+1+1=-xx+2+1=2x+2 ,定义域不关于原点对称.故选B .
【速解】fx=1-x1+x=2-x+11+x=21+x-1 ，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=fx 的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=fx-1+1 ，故选B.
7. [2021新高考卷 Ⅱ，5分]设函数fx 的定义域为R ，且fx+2 为偶函数，f2x+1 为奇函数，则( B )
A. f-12=0 B. f-1=0 C. f2=0 D. f4=0
[解析]因为函数fx+2 是偶函数，所以fx+2=f-x+2 ，则函数fx 的图象关于直线x=2 对称.因为函数f2x+1 是奇函数，所以f-2x+1=-f2x+1 ，则f1=0 ，且函数fx 的图象关于点1,0 对称.fx=f4-x=-f[2-4-x]=-fx-2 ，则fx+4=-fx+2=--fx=fx ，所以函数fx 是以4为周期的周期函数，所以f1=f1+4=f5=0 ，又函数fx 的图象关于直线x=2 对称，所以f5=f4-5=f-1=0 ，故选B .
【方法技巧】 函数的奇偶性和图象的对称性的关系
（1）若fax+b 是奇函数，则函数fx 的图象关于点b,0 对称；
（2）若fax+b 是偶函数，则函数fx 的图象关于直线x=b 对称；
（3）若函数fx 是奇函数，则函数fax+ba≠0 的图象关于点-ba,0 对称；
（4）若函数fx 是偶函数，则函数fax+ba≠0 的图象关于直线x=-ba 对称.
8. [2021全国卷甲，5分]设函数fx 的定义域为R ，fx+1 为奇函数，fx+2 为偶函数，当x∈[1,2] 时,fx=ax2+b .若f0+f3=6 ，则f92= ( D )
A. -94 B. -32 C. 74 D. 52
[解析]由于fx+1 为奇函数，所以函数fx 的图象关于点1,0 对称，即有fx+f2-x=0 ，令x=1 ，得f1=0 ，即a+b=0 ①,令x=0 ,得f0=-f2 .由于fx+2 为偶函数，所以函数fx 的图象关于直线x=2 对称，即有fx-f4-x=0 ，令x=1 ,得f3=f1 ,所以f0+f3=-f2+f1=-4a-b+a+b=-3a=6 ②.根据①②可得a=-2 ,b=2 ，所以当x∈[1,2] 时，fx=-2x2+2 .
根据函数fx 的图象关于直线x=2 对称，且关于点1,0 对称，可得函数fx 的周期为4，所以f92=f12=-f32=2×322-2=52 .
【方法技巧】函数周期性的常用结论
设函数y=fx ,x∈R ,a>0 ，a≠b .
（1）若fx+a=-fx ，则函数的周期为2a ;
（2）若fx+a=±1fx ，则函数的周期为2a ;
（3）若fx+a=fx+b ，则函数的周期为a-b ;
（4）若函数fx 的图象关于直线x=a 与x=b 对称，那么函数fx 的周期为2b-a ;
（5）若函数fx 的图象既关于点a,0 对称，又关于点b,0 对称，则函数fx 的周期是2b-a ;
（6）若函数fx 的图象既关于直线x=a 对称，又关于点b,0 对称，则函数fx 的周期是4b-a .
9. [2020新高考卷Ⅰ，5分]若定义在R 上的奇函数fx 在-∞,0 单调递减，且f2=0 ,则满足xfx-1≥0 的x 的取值范围是( D )
A. [-1,1]∪[3,+∞) B. [-3,-1]∪[0,1] C. [-1,0]∪[1,+∞) D. [-1,0]∪[1,3]
[解析]由题意知fx 在-∞,0 ,0,+∞ 单调递减，（奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同）
且f-2=f2=f0=0 .当x>0 时,令fx-1≥0 ,得0≤x-1≤2 ,∴1≤x≤3 ；当x<0 时,令fx-1≤0 ,得-2≤x-1≤0 ,∴-1≤x≤1 ,又x<0 ，∴-1≤x<0 ；当x=0 时,显然符合题意.综上，原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3] ,选D .
【速解】当x=3 时,f3-1=0 ,符合题意，排除B；当x=4 时，f4-1=f3<0 ,此时不符合题意，排除选项A,C.故选D.
10. [2019全国卷 Ⅲ，5分]设fx 是定义域为R 的偶函数，且在0,+∞ 单调递减，则( C )
A. flg314>f2-32>f2-23 B. flg314>f2-23>f2-32
C. f2-32>f2-23>flg314 D. f2-23>f2-32>flg314
[解析]根据函数fx 为偶函数可知，flg314=f-lg34=flg34 ，因为0<2-32<2-23<20f2-23>flg34=flg314 .故选C .
11. [2019天津，5分]已知a∈R .设函数fx=x2-2ax+2a,x≤1,x-aln x,x>1. 若关于x 的不等式fx≥0 在R 上恒成立，则a 的取值范围为( C )
A. [0 ，1] B. [0 ，2] C. [0 ，e] D. [1 ，e]
[解析]解法一当a=0 时,不等式fx≥0 恒成立,排除D ;当a=e 时,fx=x2-2ex+2e,x≤1,x-eln x,x>1, 当x≤1 时,fx=x2-2ex+2e 的最小值为f1=1>0 ,满足fx≥0 ;当x>1 时,由fx=x-eln x 可得f'x=1-ex=x-ex ,易得fx 在x=e 处取得极小值（也是最小值）fe=0 ,满足fx≥0 恒成立,排除A ,B .故选C .
解法二若x≤1 ,fx=x2-2ax+2a=x-a2-a2+2a ,当a≤1 时,可得fx 的最小值为fa=-a2+2a ，令fa≥0 ,解得0≤a≤2 ,故0≤a≤1 ;当a>1 时,可得fx 的最小值为f1=1≥0 ,满足条件.所以a≥0 .
若x>1 ,由fx=x-aln x 可得f'x=1-ax=x-ax ,当a≤1 时,f 'x>0 ,则fx 单调递增,故只需f1≥0 ,显然成立;当a>1 时,由f'x=0 可得x=a ,易得fx 的最小值为fa=a-aln a ，令fa≥0 ,解得a≤e ,故112. [2019全国卷Ⅱ，5分]设函数fx 的定义域为R ，满足fx+1=2fx ，且当x∈(0,1] 时，fx=xx-1 .若对任意x∈(-∞,m] ，都有fx≥-89 ，则m 的取值范围是( B )
A. (-∞,94] B. (-∞,73] C. (-∞,52] D. (-∞,83]
[解析]当-1fx=…12x+1x,-1【方法技巧】 破解此类题的关键：一是会转化，把不等式恒成立问题转化为两个函数的图象的关系问题，如本题，把“对任意x∈(-∞,m] ，都有fx≥-89 ”转化为“x∈(-∞,m] 时，函数fx 的图象都不在直线y=-89 的下方”；二是会借形解题，即画出函数的图象，借助图象的直观性，可快速找到参数所满足的不等式，从而得到参数的取值范围．
13. [2023新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）已知函数fx 的定义域为R ，fxy=y2fx+x2fy ，则( ABC )
A. f0=0 B. f1=0
C. fx 是偶函数D. x=0 为fx 的极小值点
[解析]取x=y=0 ，则f0=0 ，故A 正确；取x=y=1 ，则f1=f1+f1 ，所以f1=0 ，故B 正确；取x=y=-1 ，则f1=f-1+f-1 ，所以f-1=0 ，取y=-1 ，则f-x=fx+x2f-1 ,所以f-x=fx ，所以函数fx 为偶函数，故C 正确；由于f0=0 ，且函数fx 为偶函数，所以函数fx 的图象关于y 轴对称，所以x=0 可能为函数fx 的极小值点，也可能为函数fx 的极大值点，也可能不是函数fx 的极值点，故D 不正确.综上，选ABC .
14. [2022新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）已知函数fx 及其导函数f 'x 的定义域均为R ，记gx= f 'x .若f32-2x ，g2+x 均为偶函数，则( BC )
A. f0=0 B. g-12=0 C. f-1=f4 D. g-1=g2
[解析]因为f32-2x 为偶函数，所以f32-2x=f32+2x ,所以函数fx 的图象关于直线x=32 对称，f32-2×54=f32+2×54 ,即f-1=f4 ，所以C 正确；
因为g2+x 为偶函数，所以g2+x=g2-x ，函数gx 的图象关于直线x=2 对称，因为gx=f 'x ，所以函数gx 的图象关于点32,0 对称，（二级结论：若函数hx 为偶函数，则其图象上在关于y 轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原点对称．本题函数fx 的图象关于直线x=32 对称，则其导函数gx 的图象关于点32,0 对称）
所以gx 的周期T=4×2-32=2 ，因为f-1=f4 ，所以f '-1=-f '4 ，即g-1=-g4=-g2 ，所以D 不正确；
因为f32-2=f32+2 ，即f-12=f72 ，所以f '-12=-f '72 ，所以g-12=-g72=-g2×2-12=-g-12 ，所以g-12=0 ，所以B 正确；
不妨取fx=1x∈R ,经验证满足题意，但f0=1 ，所以选项A 不正确.综上，选BC .
【速解】 因为f32-2x ,g2+x 均为偶函数，所以函数fx 的图象关于直线x=32 对称，函数gx 的图象关于直线x=2 对称．取符合题意的一个函数fx=1x∈R ，则f0=1 ，排除A；取符合题意的一个函数fx=sin πx ，则f 'x=πcs πx ，即gx=πcs πx ，所以g-1=πcs-π=-π ，g2=πcs 2π=π ，所以g-1≠g2 ，排除D.故选BC .
二、填空题
15. [2023全国卷甲，5分]若fx=x-12+ax+sinx+π2 为偶函数，则a= 2.
[解析]解法一因为fx 为偶函数，所以f-x=fx ，即-x-12-ax+sin-x+π2=x-12+ax+sinx+π2 ，得a=2 .
解法二因为fx 为偶函数，所以f-π2=fπ2 ，即-π2-12-π2a=π2-12+π2a ，得a=2 .
16. [2022北京，5分]函数fx=1x+1-x 的定义域是-∞,0∪(0,1] .
[解析]因为fx=1x+1-x ，所以x≠0 ,1-x≥0 ，解得x∈-∞,0∪(0,1] .
17. （2022全国卷乙，5分）若fx=lna+11-x+b 是奇函数，则a= -12 ,b= ln 2 .
[解析]fx=lna+11-x+b=lna+11-x+ln eb=lna+1eb-aebx1-x.∵fx 为奇函数，∴f-x+fx=lna+12e2b-a2e2bx21-x2=0 ，∴a+12e2b-a2e2bx2=1-x2 .当a+12e2b-a2e2bx2=1-x2 时，则a+12e2b=1,a2e2b=1, 解得a=-12,b=ln 2. 当a+12e2b-a2e2bx2=-1+x2 时，则a+12e2b=-1,a2e2b=-1, 无解.综上，a=-12 ,b=ln 2 .
【速解】 易知x≠1.∵ 函数fx 为奇函数，∴ 由奇函数定义域关于原点对称可得x≠-1 ，∴ 当x=-1 时，a+11-x≤0 .又∵a+11-x≥0 恒成立，∴ 当x=-1 时，a+11-x=0 ，∴a=-12 .又由f0=0 可得b=ln 2 .经检验符合题意，∴a=-12 ，b=ln 2 .
18. [2022浙江，6分]已知函数fx=-x2+2,x≤1x+1x-1,x>1 ,则ff12= 3728 ;若当x∈[a ,b] 时，1≤fx≤3 ，则b-a 的最大值是3+3 .
[解析]由题意知f12=-122+2=74 ，则ff12=f74=74+174-1=74+47-1=3728 .作出函数fx 的大致图象，如图所示，结合图象，令-x2+2=1 ，解得x=±1 ；令x+1x-1=3 ，解得x=2±3 ，又x>1 ，所以x=2+3 ，所以b-amax=2+3--1=3+3 .
19. [2022北京，5分]设函数fx =-ax+1, x[解析]当a=0 时，函数fx=1,x<0,x-22,x≥0, 存在最小值0，所以a 的一个取值可以为0；当a<0 时，若x2 时，若x20. [2021浙江，4分]已知a∈R ，函数fx=x2-4,x>2,∣x-3∣+a,x≤2. 若ff6=3 ，则a= 2.
[解析]因为6>2 ，所以f6=6-4=2 ，所以ff6=f2=1+a=3 ，解得a=2 .
21. [2021新高考卷Ⅱ，5分]写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx: fx=x2 （答案不唯一）.
①fx1x2=fx1fx2 ；②当x∈0,+∞ 时，f'x>0 ；③f'x 是奇函数.
[解析]由题意，可考虑二次函数，如函数fx=x2 ，则fx1x2=x12x22 ，fx1=x12 ,fx2=x22 ，所以fx1x2=fx1fx2 ；因为f 'x=2x ，f '-x=-2x=-f 'x ，所以f 'x 为奇函数，且当x>0 时，f 'x>0 .故函数fx=x2 符合题意.
22. [2020北京，5分]函数fx=1x+1+ln x 的定义域是0,+∞ .
[解析]函数fx=1x+1+ln x 的自变量满足x+1≠0,x>0,∴x>0 ,即定义域为0,+∞ .
23. [2020江苏，5分]已知y=fx 是奇函数，当x≥0 时，fx=x23 ,则f-8 的值是-4 .
[解析]由题意可得f-8=-f8=-823=-2323=-22=-4 .
24. [2019北京，5分]设函数fx=ex+ae-x （a 为常数）.若fx 为奇函数，则a= -1 ;若fx 是R 上的增函数，则a 的取值范围是(-∞,0] .
[解析]∵fx 为奇函数，∴f-x=-fx ,即e-x+aex=-ex-ae-x ,∴1+ae-x+1+aex=0 ,∴a=-1 ;∵fx 是R 上的增函数，∴f 'x=ex-ae-x=e2x-aex≥0 ,∴e2x-a≥0 ,则a≤0 ,故a 的取值范围是(-∞,0] .
考点5 函数的图象
题组
选择题
1. [2023天津，5分]函数fx 的图象如图所示，则fx 的解析式可能为( D )
A. fx=5ex-e-xx2+2 B. fx=5sin xx2+1 C. fx=5ex+e-xx2+2 D. fx=5cs xx2+1
[解析]由题图可知函数fx 的图象关于y 轴对称，所以函数fx 是偶函数.因为y=x2+2 是偶函数，y=ex-e-x 是奇函数，所以fx=5ex-e-xx2+2 是奇函数，故排除A ；因为y=x2+1 是偶函数，y=sin x 是奇函数，所以fx=5sin xx2+1 是奇函数，故排除B ；因为x2+2>0 ，ex+e-x>0 ，所以fx=5ex+e-xx2+2>0 恒成立，不符合题意，故排除C .分析知，选项D 符合题意，故选D .
2. [2022全国卷甲，5分]函数y=3x-3-x⋅cs x 在区间[-π2,π2] 的图象大致为( A )
A.
B.
C.
D.
[解析]解法一（特值法）取x=1 ，则y=3-13cs 1=83cs 1>0 ；取x=-1 ，则y=13-3cs-1=-83cs 1<0 .结合选项知选A ．
解法二 令y=fx ，则f-x=3-x-3xcs-x=-3x-3-xcs x=-fx ，所以函数y=3x-3-xcs x 是奇函数，且当x∈0,π2 时,3x-3-x>0 ,cs x>0 ,故fx>0 ,故选A ．
【方法技巧】解图象识别题的关键：一是活用函数的性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不符合题意的选项；二是取特殊点进行排除，根据函数的解析式，选择特殊点，即可排除不符合题意的选项．
3. [2022全国卷乙，5分]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3] 的大致图象，则该函数是( A )
A. y=-x3+3xx2+1 B. y=x3-xx2+1 C. y=2xcs xx2+1 D. y=2sin xx2+1
[解析]对于选项B ，当x=1 时，y=0 ，与图象不符，故排除B ；对于选项D ，当x=3 时，y=15sin 3>0 ，与图象不符，故排除D ；对于选项C ，当x>0 时，y=2xcs xx2+1≤2xcs x2x=cs x≤1 ，与图象在y 轴右侧最高点大于1不符，所以排除C .故选A .
4. [2022天津，5分]函数fx=x2-1x 的图象是( A )
A. B.
C. D.
[解析]fx=x2-1x 的定义域为{x|x≠0} ，且f-x=-x2-1-x=-x2-1x=-fx ，所以函数fx 是奇函数，函数fx 的图象关于原点对称，故排除选项C ,D ;因为x2-1≥0 ,所以当x>0 时,fx≥0 ,当x<0 时,fx≤0 ,故排除选项B .故选A .
5. [2021浙江，4分]已知函数fx=x2+14 ,gx=sin x ,则图象如图的函数可能是( D )
A. y=fx+gx-14 B. y=fx-gx-14 C. y=fxgx D. y=gxfx
[解析]易知函数fx=x2+14 是偶函数，gx=sin x 是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数.选项A ，y=fx+gx-14=x2+sin x 为非奇非偶函数，不符合题意，排除A ；选项B ，y=fx-gx-14=x2-sin x 也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B ；因为当x∈0,+∞ 时，fx 单调递增，且fx>0 ,当x∈0,π2 时，gx 单调递增，且gx>0 ，所以y=fxgx 在0,π2 上单调递增，由图象可知所求函数在0,π4 上不单调，排除C .故选D .
6. [2019全国卷 Ⅰ，5分]函数fx=sin x+xcs x+x2 在[-π,π] 的图象大致为( D )
A.
B.
C.
D.
[解析]易知函数fx 的定义域为R .∵f-x=sin-x-xcs-x+-x2=-sin x+xcs x+x2=-fx ，∴fx 为奇函数，排除A ；∵fπ=sin π+πcs π+π2=ππ2-1>0 ，∴ 排除C ；∵f1=sin 1+1cs 1+1 ，且sin 1>cs 1 ，∴f1>1 ，∴ 排除B ．选D ．
考点6 指数函数、对数函数、幂函数
题组
选择题
1. [2023天津，5分]若a=1.010.5 ,b=1.010.6 ,c=0.60.5 ，则a ,b ,c 的大小关系为( D )
A. c>a>b B. c>b>a C. a>b>c D. b>a>c
[解析]因为函数fx=1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0 ，所以1.010.6>1.010.5>1 ，即b>a>1 ；因为函数gx=0.6x 是减函数，且0.5>0 ，所以0.60.5<0.60=1 ，即c<1 .综上，b>a>c .故选D .
2. [2023新高考卷Ⅰ，5分]设函数fx=2xx-a 在区间0,1 单调递减，则a 的取值范围是( D )
A. (-∞,-2] B. [-2,0) C. (0,2] D. [2,+∞)
[解析]解法一 由题意得y=xx-a 在区间0,1 单调递减，所以x=a2≥1 ，解得a≥2 .故选D .
解法二 取a=3 ，则y=xx-3=x-322-94 在0,1 单调递减，所以fx=2xx-3 在0,1 单调递减，所以a=3 符合题意，排除A ,B ,C ，故选D .
3. [2022天津，5分]已知a=20.7 ,b=130.7 ,c=lg213 ,则( C )
A. a>c>b B. b>c>a C. a>b>c D. c>a>b
[解析]因为a=20.7>20=1 ，0b>c ，故选C .
4. [2022天津，5分]化简2lg43+lg83lg32+lg92 的值为( B )
A. 1B. 2C. 4D. 6
[解析]2lg43+lg83lg32+lg92=2lg223+lg233lg32+lg322=lg23+13lg23lg32+12lg32=43×lg23×32×lg32=2 ，故选B .
5. [2022北京，4分]已知函数fx=11+2x ,则对任意实数x ，有( C )
A. f-x+fx=0 B. f-x-fx=0 C. f-x+fx=1 D. f-x-fx=13
[解析]函数fx 的定义域为R ，f-x=11+2-x=2x1+2x ，所以f-x+fx=2x1+2x+11+2x=1 ，故选C .
6. [2022浙江，4分]已知2a=5 ,lg83=b ,则4a-3b= ( C )
A. 25B. 5C. 259 D. 53
[解析]由2a=5 得a=lg25 ．又b=lg83=13lg23 ，所以a-3b=lg25-lg23=lg253=lg453lg42=2lg453=lg4259 ，所以4a-3b=4lg4259=259 ，故选C ．
7. [2022全国卷甲，5分]已知9m=10 ，a=10m-11 ,b=8m-9 ,则( A )
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
[解析]因为9m=10 ，所以m=lg910 ，所以a=10m-11=10lg 910-11=10lg 910-10lg1011 .因为lg910-lg1011=lg 10lg 9-lg 11lg 10=lg 102-lg 9⋅lg 11lg 9⋅lg 10>lg 102-lg 9+lg 1122lg 9⋅lg 10=1-lg 9922lg 9>0 ,所以a>0.b=8lg910-9=8lg910-8lg89 ,因为lg910-lg89=lg 10lg 9-lg 9lg 8=lg 10⋅lg 8-lg 92lg 9⋅lg 80>b .故选A .
8. [2021新高考卷Ⅱ，5分]若a=lg52 ，b=lg83 ，c=12 ，则( C )
A. c[解析]a=lg52=lg54lg88=12=c ，所以a9. [2021全国卷甲，5分]青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L=5+lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9 ,则其视力的小数记录法的数据约为1010≈1.259 ( C )
A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
[解析]4.9=5+lg V⇒lg V=-0.1⇒V=10-110=11010≈11.259≈0.8 ,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
10. [2020全国卷Ⅰ，5分]设alg34=2 ,则4-a= ( B )
A. 116 B. 19 C. 18 D. 16
[解析]解法一 因为alg34=2 ，所以lg34a=2 ，则有4a=32=9 ，所以4-a=14a=19 ，故选B .
解法二 因为alg34=2 ，所以-alg34=-2 ，所以lg34-a=-2 ，所以4-a=3-2=132=19 ，故选B .
11. [2020新高考卷Ⅰ，5分]基本再生数R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：It=ert 描述累计感染病例数It 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R0 ，T 近似满足R0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R0=3.28 ,T=6 .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为ln 2≈0.69 ( B )
A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天
[解析]∵R0=1+rT ,∴3.28=1+6r ,∴r=0.38 .若It1=e0.38t1,It2=e0.38t2,It2=2It1, 则e0.38t2-t1=2 ,0.38t2-t1=ln 2≈0.69 ,t2-t1≈1.8 ,选B .
12. [2020新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=lgx2-4x-5 在a,+∞ 上单调递增,则a 的取值范围是( D )
A. (-∞,-1] B. (-∞,2] C. [2,+∞) D. [5,+∞)
[解析]由x2-4x-5>0 ，解得x>5 或x<-1 ，所以函数fx 的定义域为-∞,-1∪5,+∞ .又函数y=x2-4x-5 在5,+∞ 上单调递增，在-∞,-1 上单调递减，所以函数fx=lgx2-4x-5 在5,+∞ 上单调递增，所以a≥5 ，故选D .
【方法技巧】 函数y=lga fx 的单调性与函数u=fxfx>0 的单调性在a>1 时相同，在013. [2020全国卷Ⅱ，5分]设函数fx=ln2x+1-ln2x-1 ,则fx ( D )
A. 是偶函数，且在12,+∞ 单调递增0B. 是奇函数，且在-12,12 单调递减
C. 是偶函数，且在-∞,-12 单调递增D. 是奇函数，且在-∞,-12 单调递减
[解析]由2x+1≠0,2x-1≠0, 得函数fx 的定义域为-∞,-12∪-12,12∪12,+∞ ，其关于原点对称，因为f-x=ln2-x+1-ln2-x-1=ln2x-1-ln2x+1=-fx ，所以函数fx 为奇函数，排除A ，C ．当x∈-12,12 时，fx=ln2x+1-ln1-2x ，易知函数fx 单调递增，排除B ．当x∈-∞,-12 时，fx=ln-2x-1-ln1-2x=ln2x+12x-1=ln1+22x-1 ，易知函数fx 单调递减，故选D ．
【方法技巧】解答本题的关键点：（1）判断函数的奇偶性通常利用定义，但必须要先判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）确定函数的单调性时，要注意化简函数的解析式，并利用复合函数的单调性进行判断．
14. [2020天津，5分]设a=30.7 ,b=13-0.8 ,c=lg0.70.8 ,则a ,b ,c 的大小关系为( D )
A. a[解析]由题知c=lg0.70.8<1 ，b=13-0.8=30.8 ，易知函数y=3x 在R 上单调递增，所以b=30.8>30.7=a>1 ，所以c15. [2020全国卷Ⅱ，5分]若2x-2y<3-x-3-y ,则( A )
A. lny-x+1>0 B. lny-x+1<0 C. lnx-y>0 D. lnx-y<0
[解析]由2x-2y<3-x-3-y ，得2x-3-x<2y-3-y ，即2x-13x<2y-13y ．设ft=2t-13t ，则fx0 ，所以y-x+1>1 ，所以lny-x+1>0 ，故选A ．
【方法技巧】解答本题的关键点：（1）对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数；（2）利用指数函数与对数函数的单调性得到x ,y 的大小关系及lny-x+1 的符号．
16. [2020全国卷Ⅰ，5分]若2a+lg2a=4b+2lg4b ,则( B )
A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a[解析]令fx=2x+lg2x ,因为y=2x 在0,+∞ 上单调递增，y=lg2x 在0,+∞ 上单调递增，所以fx=2x+lg2x 在0,+∞ 上单调递增．又2a+lg2a=4b+2lg4b=22b+lg2b<22b+lg22b ，所以fa【方法技巧】破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a+lg2a=4b+2lg4b ”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小．
17. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知55<84 ,134<85 .设a=lg53 ,b=lg85 ，c=lg138 ,则( A )
A. a[解析]55<84⇒ln 55ln 5ln 8=lg85=b ;同理134<85⇒ln 134ln 3ln 5=lg53=a ;83<54⇒ln 83【方法技巧】 比较两数（式）大小的方法
（1）作差法：根据两数或两式的差与0的大小关系判断大小.
（2）作商法：根据两数或两式的商与1的大小关系判断大小.作商比较大小时要注意两者的符号，否则会产生错解.比如，若ab>1 ，则当b>0 时，有a>b ；当b<0 时，有a（3）中间值法：对于两个数值，如果无法直接比较大小，那么可以考虑利用中间值来比较大小.一般常用的中间值有0，1，12 等.如比较大小：2.10.3 和0.32.1 ，显然2.10.3 大于1，0.32.1 小于1 ，则中间值可取1；lg32 和lg3lg32 ，显然lg32 是正的，lg3lg32 是负的，则中间值可取0.
（4）函数法：根据两数或两式的结构特征找出共性与差异，利用差异性设置变量，根据共性构造函数，将两数（式）的大小比较问题转化为函数的单调性问题进行求解.
18. [2019浙江，4分]在同一直角坐标系中，函数y=1ax ，y=lgax+12(a>0 ，且a≠1) 的图象可能是( D )
A. B.
C. D.
[解析]若01 ，则y=1ax 是减函数，而y=lgax+12 是增函数且其图象过点12,0 ，结合选项可知，没有符合的图象.故选D .
【速解】分别取a=12 和a=2 ，在同一坐标系内画出相应函数的图象（图略），通过对比可知选D.
19. [2019北京，5分]下列函数中,在区间0,+∞ 上单调递增的是( A )
A. y=x12 B. y=2-x C. y=lg12x D. y=1x
[解析]根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性易得A 正确.
20. [2019北京，5分]在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2 ，其中星等为mk 的星的亮度为Ekk=1,2 .已知太阳的星等是-26.7 ，天狼星的星等是-1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为( A )
A. 1010.1 B. 10.1C. lg 10.1 D. 10-10.1
[解析]由题意可设太阳的星等为m2 ,太阳的亮度为E2 ,天狼星的星等为m1 ,天狼星的亮度为E1 ,则由m2-m1=52lg E1E2 ,得-26.7+1.45=52lg E1E2 ,52lg E1E2=-25.25 ,∴lg E1E2=-10.1 ,lg E2E1=10.1 ,E2E1=1010.1 .故选A .
21. [2019全国卷Ⅱ，5分]若a>b ，则( C )
A. lna-b>0 B. 3a<3b C. a3-b3>0 D. a>b
[解析]由函数y=ln x 的图象（图略）知，当0b 时，3a>3b ，故B 不正确；因为函数y=x3 在R 上单调递增，所以当a>b 时，a3>b3 ，即a3-b3>0 ，故C 正确；当b【速解】 当a=0.3 ,b=-0.4 时，lna-b<0 ,3a>3b ,a22. [2019天津，5分]已知a=lg52 ，b=lg0.50.2 ,c=0.50.2 ，则a ,b ,c 的大小关系为( A )
A. a[解析]a=lg520.51=12 ,故a ,而c=0.50.2<0.50=1 ，故c考点7 函数与方程
题组
一、选择题
1. [2023全国卷乙，5分]函数fx=x3+ax+2 存在3个零点，则a 的取值范围是( B )
A. -∞,-2 B. -∞,-3 C. -4,-1 D. -3,0
[解析]由题意知f 'x=3x2+a ,要使函数fx 存在3个零点，则f 'x=0 要有2个不同的根，则a<0 .令3x2+a=0 ，解得x=±-a3 ,所以fx 在-∞,--a3 和-a3,+∞ 上单调递增，在(--a3 ，-a3) 上单调递减，所以要使fx 存在3个零点，则f--a3>0,f-a3<0, 即-2a3⋅-a3+2>0,2a3⋅-a3+2<0, 解得-a3>1 ,即a<-3 .故选B .
2. [2020天津，5分]已知函数fx=x3,x≥0,-x,x<0. 若函数gx=fx-kx2-2xk∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是( D )
A. -∞,-12∪22,+∞ B. -∞,-12∪0,22
C. -∞,0∪0,22 D. -∞,0∪22,+∞
[解析]由题意可知x=0 为gx 的一个零点.函数gx=fx-kx2-2xk∈R 恰有4个零点，即函数fx 与hx=kx2-2x 的图象有4个交点，其中0,0 为其中一个交点，当x>0 时,由x3=kx2-2x 可得x2=kx-2 ,当x<0 时，由-x=kx2-2x 可得1=kx-2 ,令φx=x2,x>0,1,x<0,μx=∣kx-2∣x≠0 ,则函数y=φx 与y=μx 的图象有3个交点.若k<0 ,如图1所示，函数y=φx 与y=μx 的图象有3个交点，所以k<0 符合题意.若k>0 ,如图2所示，需证当x>2k 时，函数y=φx 与y=μx 的图象有2个交点.当x>2k 时，φx=x2 ,μx=kx-2 ,令φx=μx ，则x2-kx+2=0 ,因为x2-kx+2=0 有两个不同实根，所以Δ>0 ,即k2-8>0 ,解得k>22 .综上，当k<0 或k>22 时，函数gx=fx-kx2-2x 恰有4个零点.
3. [2019全国卷Ⅲ，5分]函数fx=2sin x-sin 2x 在[0,2π] 的零点个数为( B )
A. 2B. 3C. 4D. 5
[解析]fx=2sin x-2sin xcs x=2sin x1-cs x ，令fx=0 ，则sin x=0 或cs x=1 ，所以x=kπk∈Z ，又x∈[0,2π] ，所以x=0 或x=π 或x=2π .故选B .
【方法技巧】 判定函数零点个数的方法
1.直接法：令fx=0 ，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点.
2.图象法：画出函数fx 的图象，函数fx 的图象与x 轴交点的个数就是函数fx 的零点个数；将函数fx 拆成两个函数hx 和gx 的差的形式，根据fx=0⇔hx=gx ，则函数fx 的零点个数就是函数y=hx 和y=gx 的图象的交点个数.
4. [2019浙江，4分]设a ，b∈R ，函数fx=x,x<0,13x3-12a+1x2+ax,x≥0. 若函数y=fx-ax-b 恰有3个零点，则( C )
A. a<-1 ，b<0 B. a<-1 ，b>0 C. a>-1 ，b<0 D. a>-1 ，b>0
[解析]当x<0 时,y=fx-ax-b=x-ax-b=1-ax-b ,则y=fx-ax-b 最多有1个零点.
当x≥0 时，y=fx-ax-b=13x3-12a+1x2+ax-ax-b=13x3-12a+1x2-b ,y'=x2-a+1x ,当a+1≤0 ，即a≤-1 时,y'≥0 ，y=fx-ax-b 在[0,+∞) 上单调递增,则y=fx-ax-b 在[0,+∞) 上最多有1个零点;当a+1>0 ,即a>-1 时，令y'>0 ,得x∈a+1,+∞ ,令y'<0 ，得x∈0,a+1 ,所以y=fx-ax-b 在[0,a+1) 上单调递减，在[a+1,+∞) 上单调递增，则y=fx-ax-b 在[0,+∞) 上最多有2个零点.由已知函数y=fx-ax-b 恰有3个零点，知y=fx-ax-b 在-∞,0 上有1个零点，在[0,+∞) 上有2个零点，则b1-a<0,a>-1,-b>0,13a+13-12a+1a+12-b<0, 解得-1二、填空题
5. [2023天津，5分]若函数fx=ax2-2x-x2-ax+1 有且仅有两个零点，则a 的取值范围为-∞,0∪0,1∪1,+∞ .
[解析]当a=1 时，函数fx 只有一个零点-1 ，不符合题意;当a=0 时，函数fx 只有一个零点-1 ，不符合题意;当a=-1 时，函数fx 有两个零点,分别为-1 和-12 ，符合题意.
若a≠0 且a≠±1 ，分以下两种情况：
①当x2-ax+1≥0 时,fx=ax2-2x-x2-ax+1=ax2-2x-x2-ax+1=a-1x2+a-2x-1=x+1[a-1x-1] ,令fx=0 ，由a≠0 且a≠±1 ，得x1=-1 ,x2=1a-1 ，且x1≠x2 .又x1=-1 时，ax2-2x-x2-ax+1=a+2-x2-ax+1=0 ,所以a=x2-ax+1-2 ,则x2-ax+1≥0 时，a≥-2 且a≠0 ,a≠±1 ;x2=1a-1 时，ax2-2x-x2-ax+1=aa-12-2a-1-x2-ax+1=0 ,所以2-aa-12=x2-ax+1 ,则x2-ax+1≥0 时,a≤2 且a≠0 ,a≠±1 .
②当x2-ax+1<0 时，fx=ax2-2x-x2-ax+1=ax2-2x+x2-ax+1=a+1x2-a+2x+1=x-1[a+1x-1] ,令fx=0 ,由a≠0 且a≠±1 ，得x3=1 ，x4=1a+1 ，且x3≠x4 .同理，x3=1 时,x2-ax+1<0 ,则a>2 ;x4=1a+1 时,x2-ax+1<0 ,则a<-2 .
综上，a 的取值范围为-∞,0∪0,1∪1,+∞ .
6. [2022天津，5分]设a∈R ,记fx=min{x-2,x2-ax+3a-5} ，若fx 至少有3个零点，则实数a 的取值范围是[10,+∞) .
[解析]令gx=x2-ax+3a-5 ，方程x2-ax+3a-5=0 的判别式Δ=a2-12a+20 .
（1）当Δ<0 时，函数gx=x2-ax+3a-5 无零点，从而fx 不可能至少有3个零点.
（2）当Δ=0 时，a=2 或a=10 ，
①当a=2 时，fx=min{x-2,x2-2x+1}=x-2 ，此时fx 有2个零点，不符合要求；
②当a=10 时，fx=min{x-2,x2-10x+25} 有3个零点，符合要求.
（3）当Δ>0 时，a<2 或a>10 ，
①如图，当a>10 时，函数gx=x2-ax+3a-5 的图象的对称轴为直线x=a2>5 ，若fx 至少有3个零点，则要求g2=a-1≥0 ，即a≥1 ，从而a>10 ；
②当a<2 时，函数gx=x2-ax+3a-5 的图象的对称轴为直线x=a2<1 ，此时fx 只有2个零点，不符合题意.综上所述，a≥10 ．
7. [2021北京，5分]已知fx=lg x-kx-2 ，给出下列四个结论：
①若k=0 ，则fx 有两个零点；
②∃k<0 ，使得fx 有一个零点；
③∃k<0 ，使得fx 有三个零点；
④∃k>0 ，使得fx 有三个零点.
以上正确结论的序号是①②④．
[解析]作出函数y=lg x 和y=kx+2 的大致图象如图所示，
对于①，当k=0 时，显然直线y=2 与y=lg x 的图象有两个交点，即函数fx=lg x-kx-2 有两个零点，所以①正确；
对于②，由图可知，∃k0<0 ，使得直线y=k0x+2 与y=lg x 的图象相切，即当k=k0 时，函数fx=lg x-kx-2 有一个零点，所以②正确；
对于③，由图可知，当k<0 时，直线y=kx+2 与y=lg x 的图象不可能有三个交点，即函数fx=lg x-kx-2 不可能有三个零点，所以③不正确；
对于④，由图可知，∃k1>0 ，使得直线y=k1x+2 与y=lg x 的图象相切,所以当08. [2019江苏，5分]设fx ，gx 是定义在R 上的两个周期函数，fx 的周期为4，gx 的周期为2，且fx 是奇函数.当x∈(0,2] 时，fx=1-x-12 ，gx=kx+2,00 .若在区间(0,9] 上，关于x 的方程fx=gx 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是[13,24) .
[解析]当x∈(0,2] 时，令y=1-x-12 ，则x-12+y2=1 ,y≥0 ，即fx 的图象是以1,0 为圆心、1为半径的半圆，利用fx 是奇函数，且周期为4，画出函数fx 在(0,9] 上的图象，再在同一坐标系中作出函数gx(x∈0,9] 的图象，如图，关于x 的方程fx=gx 在(0,9] 上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知gx(x∈0,1] 与fx(x∈0,1] 的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y=kx+2 经过点1,1 时，k=13 ，当直线y=kx+2 与半圆x-12+y2=1y≥0 相切时，3kk2+1=1 ,k=24 或k=-24 （舍去），所以k 的取值范围是[13,24) .
考点8 函数模型及其应用
题组
一、选择题
1. [2022北京，4分]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度,单位是K ；P 表示压强，单位是bar .下列结论中正确的是( D )
A. 当T=220 ，P=1 026 时，二氧化碳处于液态
B. 当T=270 ，P=128 时，二氧化碳处于气态
C. 当T=300 ，P=9 987 时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T=360 ，P=729 时，二氧化碳处于超临界状态
[解析]对于A 选项，当T=220 ，P=1 026 时，lg P=lg 1 026>lg 103=3 ，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B 选项，当T=270 ，P=128 时，即lg P=lg 128∈lg102,lg103 ，即lg P∈2,3 时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C 选项，当T=300 ，P=9 987 时，lg P=lg 9 9872. [2023新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lgpp0 ，其中常数p0p0>0 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1 ,p2 ，p3 ，则( ACD )
A. p1≥p2 B. p2>10p3 C. p3=100p0 D. p1≤100p2
[解析]由已知，知60≤20×lgp1p0≤90 ,解得1 000p0≤p1≤10 00010P0 ;50≤20×lgp2p0≤60 ,解得10010p0≤p2≤1 000p0 ;20×lgp3p0=40 ,解得p3=100p0 .易知A ，C 正确.10p3=1 000p0≥p2 ，故B 错误.100p2≥10 00010p0≥p1 .故D 正确.
二、填空题
3. [2020北京，5分]为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W=ft ,用-fb-fab-a 的大小评价在[a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0,t1] ,[t1,t2] ,[t2,t3] 这三段时间中，在[0,t1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是①②③.
[解析]由题图可知甲企业的污水排放量在t1 时刻高于乙企业的，而在t2 时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1,t2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；由题图知在t2 时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故②正确；在t3 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0,t1] ，[t1,t2] ，[t2,t3] 这三段时间中，在[0,t1] 的污水治理能力明显低于[t1,t2] 时的，故④错误．声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40