专题十 计数原理-2024五年高考题分类训练（数学）

这是一份专题十 计数原理-2024五年高考题分类训练（数学），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

题组
一、选择题
1. [2023全国卷乙，5分]甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( C )
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
[解析]甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61=6 （种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有C51C41=20 （种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120 （种）选法，故选C .
2. [2023全国卷甲，5分]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( B )
A. 120种B. 60种C. 30种D. 20种
[解析]先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C51 种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有A42 种安排方式.所以不同的安排方式共有C51⋅A42=60 （种）.故选B .
3. [2022新高考卷Ⅱ，5分]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( B )
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
[解析]先将丙和丁捆在一起有A22 种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33 种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C21 种排列方式，所以不同的排列方式共有A22A33C21=24 （种），故选B ．
4. [2021全国卷乙，5分]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( C )
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
[解析]根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52 种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44 种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52⋅A44=240 （种）.
5. [2020新高考卷Ⅰ，5分]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( C )
A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种
[解析]不同的安排方法共有C61C52C33=60 （种）.
【举一反三】如果将该题的问题改成：前提条件不变，往甲、乙、丙三个场馆中的一个场馆安排1名，一个场馆安排2名，一个场馆安排3名，那么不同的安排方法有C61C52C33A33=360 （种）.
二、填空题
6. [2023新高考卷Ⅰ，5分]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.
[解析]解法一 由题意,可分三类：第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41 种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42 种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41 种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41+C41C42+C42C41=64 （种）.
解法二 若学生从这8门课中选修2门课，则有C82−C42−C42=16 （种）选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有C83−C43−C43=48 （种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16+48=64 （种）.
7. [2020全国卷Ⅱ，5分]4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有36种.
[解析]由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有C42=6 种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有A33=6 种安排方法，所以不同的安排方法有6×6=36 （种）．
考点34 二项式定理
题组
一、选择题
1. [2022北京，4分]若2x−14=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ,则a0+a2+a4= ( B )
A. 40B. 41C. −40 D. −41
[解析]依题意，令x=1 ，可得1=a4+a3+a2+a1+a0 ，令x=−1 ，可得81=a4−a3+a2−a1+a0 ，以上两式相加可得82=2a4+a2+a0 ，所以a0+a2+a4=41 ，故选B .
2. [2020北京，4分]在x−25 的展开式中，x2 的系数为( C )
A. −5 B. 5C. −10 D. 10
[解析]由二项式定理得x−25 的展开式的通项Tr+1=C5rx5−r−2r=C5r−2rx5−r2 ,令5−r2=2 ,得r=1 ,所以T2=C51−2x2=−10x2 ,所以x2 的系数为−10 ,故选C .
3. [2020全国卷Ⅰ，5分]x+y2xx+y5 的展开式中x3y3 的系数为( C )
A. 5B. 10C. 15D. 20
[解析]因为x+y5 的展开式的通项Tr+1=C5rx5−ryr ，所以x+y2xx+y5 的展开式中x3y3 的系数为C53+C51=15 ．故选C ．
4. [2019全国卷Ⅲ，5分]1+2x21+x4 的展开式中x3 的系数为( A )
A. 12B. 16C. 20D. 24
[解析]1+x4 的展开式的通项公式为Tr+1=C4r14−rxrr=0,1,2,3,4.1+2x21+x4 的展开式中含x3 的项的系数为1⋅C43⋅11+2⋅C41⋅13=12 .故选A ．
【解后反思】 当求几个多项式的乘积的展开式中的特定项时，常用分类求和法，结合通项公式列式找到特定项.
二、填空题
5. [2023天津，5分]在2x3−1x6 的展开式中，x2 的系数是60.
[解析]解法一 二项式2x3−1x6 展开式的通项公式Tk+1=C6k2x36−k−1xk=−1k26−kC6kx18−4k ，令18−4k=2 ，解得k=4 ,所以x2 的系数为−14×22×C64=60 .
解法二 将二项式2x3−1x6 看成6个多项式2x3−1x 相乘，要想出现x2 项，则先在2个多项式中分别取2x3 ，然后在余下的多项式中都取−1x ，相乘，即C622x32×C44−1x4=60x2 ，所以x2 的系数为60.
6. [2022新高考卷Ⅰ，5分]1−yxx+y8 的展开式中x2y6 的系数为−28 （用数字作答）.
[解析]x+y8 展开式的通项Tr+1=C8rx8−ryr ，r=0 ,1,… ,7,8.令r=6 ，得T6+1=C86x2y6 ，令r=5 ,得T5+1=C85x3y5 ，所以1−yxx+y8 的展开式中x2y6 的系数为C86−C85=−28 ．
7. [2022天津，5分]x+3x25 的展开式中常数项为15.
[解析]x+3x25 展开式的通项公式为Tk+1=C5kx5−k3x2k=3kC5kx5−5k2 ，令5−5k2=0 ，得k=1 ，所以常数项为3×C51=15 .
8. [2022浙江，6分]已知多项式x+2x−14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,则a2= 8,a1+a2+a3+a4+a5= −2 .
[解析]由多项式展开式可知，a2=2C42−12+C43−13=12−4=8 .令x=0 可得a0=2 ，令x=1 可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0 ，所以a1+a2+a3+a4+a5=−2 .
9. [2021北京，5分]x3−1x4 的展开式中常数项是−4 ．
[解析]解法一 Tr+1=C4rx34−r−x−1r=−1rC4rx12−4r ，令12−4r=0 ，解得r=3 ，所以常数项为−4 .
解法二 由于x3−1x4 可以看成4个因式x3−1x 的乘积，则要得到常数项，即在4个因式中有1个因式选出x3 ，其余3个因式选出−1x ，即C41x3⋅−1x3=−4 ，所以常数项为−4 .
10. [2021浙江，6分]已知多项式x−13+x+14=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 ,则a1= 5;a2+a3+a4= 10.
[解析]x−13 展开式的通项Tr+1=C3rx3−r⋅−1r ,x+14 展开式的通项Tk+1=C4kx4−k ，则a1=C30+C41=1+4=5 ，a2=C31−11+C42=3 ，a3=C32−12+C43=7 ，a4=C33−13+C44=0 ，所以a1=5 ,a2+a3+a4=3+7+0=10 .
11. [2020全国卷Ⅲ，5分]x2+2x6 的展开式中常数项是240（用数字作答）.
[解析]x2+2x6 展开式的通项Tr+1=C6rx26−r2xr=C6r2rx12−3r ，令12−3r=0 ，解得r=4 ，所以常数项为C6424=240 .
12. [2020天津，5分]在x+2x25 的展开式中，x2 的系数是10.
[解析]二项式x+2x25 的展开式的通项为Tr+1=C5r⋅x5−r⋅2x2r=C5r⋅2r⋅x5−3r .令5−3r=2 得r=1 .因此，在x+2x25 的展开式中，x2 的系数为C51⋅21=10 .
【易错警示】 注意区分二项展开式中的项的系数与二项式系数，否则容易失分.
13. [2020浙江，6分]二项展开式1+2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,则a4= 80,a1+a3+a5= 122.
[解析]由二项式定理得，1+2x5 展开式的通项公式为Tr+1=C5r2rxr ，所以a4=C5424=80 ，令x=1 ,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5 ;令x=−1 ,得−1=a0−a1+a2−a3+a4−a5 ,两式相减得35+1=2a1+a3+a5 ,得a1+a3+a5=122 .
14. [2019天津，5分]2x−18x38 的展开式中的常数项为28.
[解析]二项展开式的通项Tr+1=C8r2x8−r−18x3r=−18r⋅28−r⋅C8rx8−4r ,令8−4r=0 可得r=2 ,故常数项为−182×26×C82=28 .
15. [2019浙江，6分]在二项式2+x9 的展开式中，常数项是162 ，系数为有理数的项的个数是5.
[解析]该二项展开式的第k+1 项为Tk+1=C9k29−kxk ，当k=0 时，第1项为常数项，所以常数项为29=162 ；当k=1 ,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.