广东省惠州市惠城区2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市惠城区2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数据为勾股数的是（ ）
A．7，24，25B．2，3，4C．，，D．1，，
3．下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在直角坐标系中，已知点M的坐标为，则点M到原点的距离是（ ）
A．7B．24C．25D．31
6．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米．当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A．11米B．12米C．13米D．14米
7．平行四边形的一边长为，周长为，则这条边的邻边长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．若的三边长a、b、c满足，那么是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．已知矩形的面积是，其中一边长为 ，则对角线长为 ．
13．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为 米．

14．将边长为2的正方形OABC如图放置,O为原点.若∠α=15°,则点B的坐标为 .
15．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为、、，则第四个顶点的坐标是 ．
16．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于 ．
三、解答题（一）（本大题共4小题，17、18每题4分，19、20每题6分，共20分）
17．已知，求的值．
18．计算：﹣．
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边.
（1）已知，b=3，求c的长．
（2）已知c=13，b=12，求的长．
20．如图，平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：．
四、解答题（二）（本大题共3小题，21题8分，22、23每题10分，共28分）
21．如图在四边形中，，，，且，求的度数．
22．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
23．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定，如图，AB为一长度为6米的梯子．
（1）当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.7米高的墙头吗？
（2）如图2，若梯子底端向左滑动（3﹣2）米，那么梯子顶端将下滑多少米？
五、解答题（三）（本大题共2小题，24、25每题12分，共24分）
24．问题背景：
在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你直接写出的面积为______；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，则它的面积是______；
探索创新：
（3）若三边的长分别为，， （m>0，n>0，且m≠n，则这三角形的面积是_____．（用含，的式子表示）
25．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接．求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．

参考答案与解析
1．C
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则，计算得出答案．
【解答】解：，
故选择：C.
【点拨】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题的关键．
2．A
【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数是正整数，且两小数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可．
【解答】解：A、，故是勾股数，故选项符合题意；
B、，故不是勾股数，故选项不符合题意；
C、，，都不是正整数，故不是勾股数，故选项不符合题意；
D、，都不是正整数，故不是勾股数，故选项符合题意．
故选：A．
3．D
【分析】先化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，错误；
B、，与不是同类二次根式，错误；
C、，与不是同类二次根式，错误；
D、，与是同类二次根式，正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．B
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵点M的坐标为，
∴点M到原点的距离；
故选C．
6．B
【分析】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键．根据题意设旗杆的高为x，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得的长，即旗杆的高．
【解答】解：画出示意图如下所示：
设旗杆的高为x，则绳子的长为，
在中，，
，
解得：，
，
即旗杆的高是．
故选：B．
7．D
【分析】平行四边形的对边相等，据此即可求解．
【解答】解：由题意得
()；
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，掌握性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【解答】解：可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟记“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
9．B
【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．
【解答】解：，
移项得，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．
10．C
【分析】由平方关系：，先代值，再开平方．
【解答】解：
，
故选C．
【点拨】本题考查了已知代数式与所求代数式关系的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和开平方运算，开平方运算时，一般要取“”．
11．
【分析】根据被开方式大于且等于零列式求解即可.
【解答】由题意得
x+8≥0，
∴.
故答案为.
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式大于且等于零时二次根式有意义是解答本题的关键.
12．.
【分析】先运用矩形面积公式求出它的另一边，再运用勾股定理求出对角线即可．
【解答】解：∵矩形的面积是，其中一边长为，
∴另一边＝ ，
∴对角线长＝ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查二次根式的应用，关键是根据矩形的性质和勾股定理求出对角线．
13．25
【分析】利用勾股定理即可求解．
【解答】解：由题意得：
在中，，（米），（米），
（米），
这棵大树在折断前的高度为：（米），
故答案为：25．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．(-,)
【解答】试题分析：如图，连接OC，过点C作CD⊥x轴于D， ∵正方形AOBC的边长为2，
∴OC=2，∠AOC=45°， ∵∠α=15°， ∴∠COD=∠AOC+∠α=45°+15°=60°，
∴∠OCD=90°-∠COD=90°-60°=30°，∴OD=OC= CD=，从而求出点B的坐标.
点拨：本题主要考查的就是直角三角形的性质以及勾股定理，首先过点C分别作x轴和y轴的垂线得出直角三角形，然后根据正方形的性质得出直角三角形的角的度数，最后根据勾股定理求出点C的坐标.同学们在解答这种问题的时候一定要注意角之间的关系，解决本题的关键就是通过辅助线得出直角三角形.
15．或或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，先连接，，，已知平行四边形中三个顶点、、，则可以分为对角线，为对角线，为对角线三种情况求出点坐标即可，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
【解答】解：如图，
当，时，和的纵坐标相等，
若选择为对角线，则；
若选择为对角线，则；
当，时，
选择为对角线，则，
故第四个顶点坐标是：，，，
故答案为：或或．
16．5．
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a-b=7，解得a，b的值代入即可．
【解答】∵AB＝13，EF＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE为a，DE为b，即，
∴2ab＝120，a2+b2＝169，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝169+120＝289，
∴a+b＝17，
∵a﹣b＝7，
解得：a＝12，b＝5，
∴AE＝12，DE＝5，
∴AH＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点拨】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
17．
【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是∶各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(1)根据二次根式的被开方数是非负数解答；
(2)结合(1)求得a、b的值，然后开平方根即可．
【解答】与有意义，
，，
，
．
原式．
18．6
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝6﹣4+4
＝6．
【点拨】本题考查二次根式的性质以及立方根的性质，实数的加减法，解题关键是掌握运算法则．
19．(1)4;(2)5
【分析】（1）利用勾股定理计算c边的长；
（2）利用勾股定理计算a边的长；
【解答】解：（1）∵∠C=90°，a=，b=3．
∴c==4
（2））∵∠C=90°，c=13，b=12，
∴a==5
【点拨】本题考查勾股定理的应用，属于基础题，解题关键是熟练掌握勾股定理．
20．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质：根据是平行四边形，得出，由 从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而不难得到结论．
【解答】证明：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴
21．．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．
由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求．
【解答】解：如图所示，连接，
，
，
又，
，
，
是直角三角形，
，
．
故的度数为．
22．（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
【解答】（1）
证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．
23．（1）它的顶端不能到达5.7米高的墙头；（2）梯子的顶端将下滑动米．
【分析】（1）由题意可得，AB=6m，OB=AB=2m，在Rt△AOB中，由勾股定理求得OA的长，与5.7比较即可得结论；（2）由题意求得OD= 3米, 在Rt△DOC中，由勾股定理求得OC的长，即可求得AC的长，由此即可求得结论.
【解答】（1）由题意可得，AB=6m，OB=AB=2m，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得，
AO=m，
∵4＜5.7，
∴梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；
（2）因梯子底端向左滑动（3﹣2）米，
∴BD=（3﹣2）米，
∴OD=OB+BD=3米,
在Rt△DOC中，由勾股定理可得，
OC=米，
∴AC=OA-OC=-=米.
∴梯子的顶端将下滑动米．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学问题，利用勾股定理求解是解决此类问题的基本思路.
24．（1）3.5；（2）图见解析，；（3）
【分析】本题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出是解题的关键．
（1）利用恰好能覆盖的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可；
（3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可．
【解答】解：（1），
故答案为：3.5；
（2）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为2和1的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是2的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是4和1的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
，
故答案为：3；
（3）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，可以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
∴．
故答案为：．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论；
（3）延长到点F，使，连接，由（2）知，，,则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵是的中线，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点F，使，连接，

∵是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点F，使，连接，
由（2）知，, ，
则取最小值时，最小，故时，最小，如图，

∵是的中线，
，
由勾股定理得，
利用等面积法得，
解得，
在中，由勾股定理得，，
．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键．