陕西省商洛市初级中学2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份陕西省商洛市初级中学2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了 单选题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
3月月考 数学试题
（考试总分：120 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计7小题，总分21分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．81B．3C．D．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）

A． B． C． D．
3．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射人水中，两条折射光线也互相平行．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移2个单位长度后经过点，则的值为（ ）
A．5B．C．1D．
5．如图，在Rt中，分别为的中点，连接．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在⊙О中，弦AB=2，点C是圆上一点且∠ACB=45°，则⊙О的直径为（ ）
A．2B．3C．D．4
7．已知是二次函数图象上的三个点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、 填空题 （本题共计6小题，总分18分）
8．在实数∶中，无理数有 个．
9．分解因式： ．
10．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 ．
11．如图，在中，，连接，交于点F，，则的长为 ．
12．如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为 ．

13．如图，在中，，，点在边上，且，点是直线上一动点，点是边上一动点，则的最小值为 ．
三、 解答题 （本题共计14小题，总分81分）
14．计算：．
15．求不等式的正整数解．
16．解方程∶．
17．已知，D为上一点，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．(保留作图痕迹，不写作法)
18．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且，CE，BF交于点P．求证：．
19．某商场推出新年大促销活动，其中标价为元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为．求该商品的成本价是多少？
20．有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别为和．试猜想哪个长方形纸片的面积更大，并通过计算证明自己的猜想．
21．甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．

(1)随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ；
(2)小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由．
22．问题情境
某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．
实践发现
测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下．
款软件每段短文中识别正确的字数记录为∶．
实践探究
、两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如下表∶
问题解决
(1)上述表格中：_______，_______．
(2)若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)若会议记录员用、两款软件各识别了800段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？
23．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．他们的身高分别是，（，），小明在距离树的处（），看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度．
24．小西外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．从山脚出发后小西所走路程(米)和所用时间(分钟)之间的函数关系如图所示．
(1)小西中途休息用了_________分钟；小西休息后爬山的平均速度是_________米分钟；
(2)求直线的函数表达式；
(3)当小西出发分钟时，求他所走的路程．
25．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．
26．如图，某粮仓的横截面由抛物线的一段和矩形构成．以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中，米，米．若抛物线的表达式为为平行于地面的一排除湿板．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)已知除湿板与地面间的距离为米，若除湿板上方需安装一排与地面平行的隔热板，且隔热板与除湿板相距米，求隔热板的最小长度．
27．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且．
(1)直接写出点的坐标(_____，______)；
(2)如图，点为线段的中点，点在线段上，若，求点的坐标；
(3)如图，动点分别在边上，将正方形沿直线折叠，使点的对应点始终落在边上(点不与点重合)，点落在点处，设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式．
参考答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了算术平方根．根据算术平方根的概念求解．
【解答】解：∵，
∴9的算术平方根是3，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
根据从左边看到的图形即为左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是3个小正方形，上层2个小正方形，且小正方形在中间位置，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，可得答案．
【解答】解：如图，
空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行，水面与底边平行，
，，
，
故选B．
4．D
【分析】此题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，是解题的关键．
根据平移的规律确定平移后的直线的解析式为，再把代入求解即可．
【解答】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，
平移后的直线的解析式为：，
∵过点，
∴，
解得：，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，
由三角形中位线定理可得，进而可得，则推出，利用勾股定理可求，再解直角三角形可得结论；
【解答】解：在Rt中，，分别为的中点，
，，
，
，
设，
，
，
故选：A
6．D
【分析】由圆周角定理可得∠O=90°，然后可得△AOB是等腰直角三角形，进而问题可求解．
【解答】解：∵∠ACB=45°，
∴∠O=2∠ACB =90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴，即，
∴⊙О的直径为4；
故选D．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
先算出函数图象的对称轴，再根据图像开口向下距离对称轴越远，函数值越小来判断的大小关系．
【解答】解：函数图像的对称轴为，又∵，
∴开口向下，
∴在对称轴左侧，距离对称轴越远，函数值越小，
∵距离对称轴，距离对称轴，距离对称轴，
∴，
故选：A．
8．2
【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：0，是整数，是分数，它们不是无理数；，是无限不循环小数，是无理数，共2个．
故答案为：2．
9．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可．
【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，
则，
解得：，
故答案为：．
11．6
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．
根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可．
【解答】解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
作轴，根据条件可得，所以，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式．
【解答】解：作轴，垂直为点，

是等腰三角形，底边在轴上，，
，
，
反比例函数图象在第四象限，
，
故反比例函数解析式为：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识．作点关于的对称点，连接，，取，连接，得四边形是菱形，则，故而，当、、共线，最小，从而解决问题．
【解答】解：作点关于的对称点，连接，，取，连接，
则，
四边形是菱形，
，
，
当、、共线，且时，最小，
过点作于，
，
，
，
的最小值为和之间的距离即为为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查实数的混合运算，负整指数幂，二次根式的加减法，掌握相关的法则是解题的关键．
先算负整指数幂，同时化简二次根式和去绝对值，再算乘法，最后合并同类二次根式．
【解答】
15．正整数解为1，2
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法及正整数的定义，正确解出不等式是解题的关键，需熟练掌握不等式的解法步骤；解不等式的步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
首先根据一元一次不等式的解法步骤解不等式，得到解集，然后根据正整数的定义，找到符合条件的正整数即可．
【解答】，
，
，
∴原不等式的正整数解为1，2．
16．
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是转化思想，将其转化为整式方程，解分式方程一定要注意验根．
将分式方程去分母，得到整式方程，求出整式方程的解，在进行检验即可．
【解答】解∶去分母，得，
整理，得，
解得．
经检验是分式方程的解．
∴原方程的解为．
17．见解析
【分析】本题考查了基本作图，掌握平行线的判定的解题的依据．
作出，利用同位角相等，两直线平行，即可说理为所作直线
【解答】解：过点E作，两弧交于点M，过点M、E作直线交于点F，点F即为所求．
18．证明见解析
【分析】根据等边三角形性质，得到，，再利用两个三角形全等的判定定理SAS判定两个三角形全等，根据全等性质即可得到结论．
【解答】证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查两个三角形全等的判定与性质，涉及到等边三角形的性质，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
19．元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的成本价是元，列方程求解即可．
【解答】解：设该商品的成本价是元，
则有：，
解得：，
答：该商品的成本价是元
20．甲的面积更大，见解析
【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是正确表示出两个图形的面积．分别表示出两个图形的面积，再根据作差法比较和的大小，即可解题．
【解答】解∶甲的面积更大．
，
，
，
，
，
，
甲的面积更大．
21．(1)
(2)选第二种猜测特征，才能使小明获胜的可能性更大，见解析
【分析】本题主要考查列表或画树状图求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率的计算方法是即可求解；
（2）运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【解答】（1）解：转盘有3中等可能结果，白色的有1中结果，
∴指针指向白色的概率，
故答案为：．
（2）解：选第二种“转出的一定有黑色”，理由如下：
解法一：画树状图为：

共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果，
∴，，
∵，
∴．
∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大．
解法二：列表如下：
共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果，
∴，，
∵，
∴．
∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大．
22．(1)7.7，8
(2)我会向公司推荐款软件，见解析
(3)估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段
【分析】（1）根据平均数、中位数的意义，可以得到结果；
（2）根据表格中的数据，由于平均数相同，因此可以从9字及以上次数所占百分比比较得出答案；
（3）分别求出把款语音识别完全正确的百分比和款语音识别完全正确的百分比，再根据题意求解即可；
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是读懂题意，理解各个概念的内涵和计算方法，利用数形结合的思想解答．
【解答】（1）
故款的平均数为，即，
由折线图可得，将款语音识别输入软件每次识别正确的字数从小到大排列，第10，11个数都是8，故中位数为8，即，
故答案为：，8．
（2）我会向公司推荐款软件．
理由：款语音识别输入软件更准确，因为在9字及以上次数所占百分比中，款是，大于款，说明款识别准确率更高．
∴假如我是小林，我会向公司推荐款软件．
（3）款语音识别完全正确的百分比是，
B款语音识别完全正确的百分比是，
估计这800段话中输入完全正确的有：(段)．
答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有280段．
23．树的高度为15.4米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过点作于点，延长交于点，则，证明，可得，求得，进而可求得．
【解答】解：如图，过点作于点，延长交于点，则，
，，，
四边形，四边形是矩形．
，，，
，
，
，
，
，即，
解之，得．
，
答∶树的高度为15.4米．
24．(1)；；
(2)；
(3)当小西出发分钟时，他所走的路程为米．
【分析】（）从图象来看，小西在第分钟时开始休息，第分钟时结束休息，故休息用了分钟，根据“速度路程时间”即可；
（）根据图象可得经过，利用待定系数法即可求解；
（）当时，代入求出的值即可；
此题主要考查函数图象及一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的应用及从图象获取信息是解题的关键．
【解答】（1）根据图象可知，中途休息用了（分钟），小西休息后爬山的平均速度是（米分钟），
故答案为：；；
（2）设直线的函数表达式为，且过点，，
，
解得：，
∴直线的函数表达式是；
（3）当时，；
∴当小西出发分钟时，他所走的路程为米．
25．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求得∠COD＝2∠DAC＝90°，∠BOD＝2∠BAD＝90°，再根据平行线的性质可求OD⊥ED，即可证得DE是⊙O的切线；
（2）根据勾股定理求得BC的长，从而求得OB的长，然后求得BD、CD的长，再根据边形ABCD是⊙O的内接四边形，求得∠ACD＝∠DBE，再证得△EBD∽△DCA，得到，由此求得BE的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝45°．
∴∠COD＝2∠DAC＝90°．
∠BOD＝2∠BAD＝90°．
∵DE∥BC，∴∠COD＝∠EDO＝90°．
∵∠EDO＝90°，∴OD⊥ED．
∵OD为半径，OD⊥ED，垂足为点D，∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径．
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，BC＝ ＝10 ，∴OB＝OC＝OD＝5．
∵OB＝OD＝5，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°－∠BOD）＝45°．
∴∠BDE＝∠EDO－∠ODB＝45°．
在Rt△BOD中，∠BOD＝90°，BD＝ ．
在Rt△DOC中，∠COD＝90°，CD＝．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ACD＋∠ABD＝180°．
又∵∠EBD＋∠ABD＝180°，∴∠ACD＝∠DBE．
∵∠ACD＝∠EBD，∠BDE＝∠DAC＝45°，∴△EBD∽△DCA．
∴．
∴．
∴EB＝．
答：BE的长为．
【点拨】本题考查的知识点是切线的判定, 平行线的性质, 等腰三角形的性质, 勾股定理, 垂径定理, 圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理.
26．(1)
(2)隔热板的最小长度为10米
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键．
（1）把代入抛物线的表达式，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）由，令，解得．再结合函数图象分析即可．
【解答】（1）解：根据题意可知，，
把代入抛物线的表达式，
得
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）∵(米)，
∴令，解得．
∵，抛物线开口向下，
∴当时，或．
∵(米)，
∴隔热板的最小长度为10米．
27．(1)4；4
(2)
(3)与之间的关系式为
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，坐标与图形
（1）根据正方形的性质得到，由此即可得到答案；
（2）过点作于点，连接，先证明得到再证明得到设，则，根据勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）分别连接，由折叠的性质得到．设，且，则．，在中，根据勾股定理得，，解得．在和中， 由勾股定理得到．即，解得，即．再由，进行求解即可.
【解答】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：4；4；
（2）解：如图，过点作于点，连接．
∵四边形是正方形，，
在和中，
∵点为线段的中点，
∴．
∴．
在和中，
设，则，
在中，根据勾股定理得，，即，
解得，
∵点在轴的正半轴上，
∴．
（3）解：如图，分别连接，
∵是折痕，
∴垂直平分．
∴．
设，且，
则．
∵，点的对应点始终落在边上不与点重合)，
，
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得．
在和中，，
∵，
∴．
∴，
解得，即．
∵，
∴．
即与之间的关系式为．
软件
平均数
众数
中位数
识字正确9字及以上的段数所占百分比
A款
7.7
6
8
50%
B款
a
8
b
30%
黑
白
红
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，红）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，红）
红
（红，黑）
（红，白）
（红，红）