福建省厦门市金林湾实验学校2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门市金林湾实验学校2023-2024学年七年级下册第一次月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分，有且只有一个选项正确）
1．下列数中，是无理数的是（ ）
A．0B．C．D．2
2．如图，点D，E分别在三角形的边上，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．9的算术平方根是（ ）
A．3B．C．-3D．
5．如图，在长方形中，点在边上，则点A到直线的距离是线段（ ）

A．的长度B．的长度C．的长度D．的长度
6．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．内错角相等B．同角的余角相等
C．相等的角是对顶角D．互补的角是邻补角
8．如果直线直线，直线直线，那么与重合（即，，三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
9．如图，正方形的边长为3，点A的坐标为，平行于x轴，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题有6小题，第11题4分，其它每题4分，共24分）
11．计算： ① ；② ；③ ；④ ．
12． ；的相反数是 ．
13．如图，是由平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上，若，则 ．
14．数轴上点A表示，那么点A沿数轴向左平移3个单位得到的点表示的数是 ．
15．如图是某局象棋比赛的残局（部分图），在残局上建立平面直角坐标系，若“”和“”的坐标分别是和，则“”的坐标为 ．

16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．计算；
(1)计算：
(2)计算：
(3)计算：
(4)计算：
18．如图，，平分交于点E，若，则为多少度？
19．已知，y是的立方根，的平方根等于它本身，求的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，.

(1)在图中画出三角形；
(2)将三角形平移得到，点的对应点的坐标是，在图中画出平移后的三角形，并分别写出点，的坐标.
21．如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形，

(1)大正方形的边长是 ；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
22．已知：如图，在中，过点A作，垂足为D，E为上一点，过点E作，垂足为F，过点D作交AC于点G．

(1)依题意补全图形；
(2)请你判断与的数量关系，并说明理由．
23．在平面直角坐标系中，将一个图形中的每一个点的横、纵坐标都乘以n（且），会得到一个新的图形，我们把这个新的图形称为原图形经过“n倍变换”得到的图形．
(1)若，，将线段经过“3倍变换”得到线段，求线段的长；
(2)将一个正方形经过“n倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形吗？请举一个例子并画出相应的示意图加以说明；
24．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000
∴，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而．
∴能确定的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴，可得．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
25．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．
【解答】解：∵是无理数
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可得到．
【解答】解：∵，，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】根据各象限内点的坐标特点及M的坐标，即可判定．
【解答】解：，，
点M在第四象限，
故选：D．
【点拨】本题考查了各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键．
4．A
【分析】根据算术平方根的定义的定义求解即可．
【解答】解：∵
故选：A．
【点拨】本题考查了算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
5．D
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：∵四边形是长方形，
∴AB⊥BC于B，
∴点A到直线的距离是线段的长度，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
6．B
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据进行求解即可．
【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
7．B
【分析】考查了命题与定理以及内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质等知识，解题的关键是理解内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质．
根据真命题的定义及内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质逐项分析即可．
【解答】解：A．内错角不一定相等，故内错角相等是假命题，不符合题意；
B．同角的余角相等，是真命题，符合题意；
C．相等的角不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题，不符合题意；
D．互补的角不一定是邻补角，故互补的角是邻补角是假命题，不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】利用垂线的性质解答．
【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），
其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的性质．
9．D
【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．
根据正方形的边长为3，点的坐标为，平行于轴，可以得到点的坐标，根据点的坐标可以得到点的坐标．
【解答】解：正方形的边长为3，点的坐标为，平行于轴，
点的横坐标为：，纵坐标为：1．
点的坐标为．
点的横坐标为：，纵坐标为：．
点的坐标为．
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意，找到小球前6次碰到球桌边时小球的位置，然后得到规律小球每六次碰到球桌边为一个循环，小球碰球桌边的位置分别为，，，，，，据此规律求解即可．
【解答】如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是，
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是
……，
以此类推，可知，小球每六次碰到球桌边为一个循环，小球碰球桌边的位置分别为，，，，，
∵，
∴小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是，
故选：A．
11． 3
【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根：①根据有理数加法计算法则求解即可；②根据算术平方根的定义求解即可；③根据立方根的定义求解即可；④根据实数的运算法则求解即可．
【解答】解：①；
②；
③；
④；
故答案为：①3；②；③；④
12． ##
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【解答】解：，的相反数是
故答案为：；．
13．
【分析】根据平移的性质，得，从而推导得，再根据线段和差的性质分析，即可得到答案．
【解答】∵是由通过平移得到
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了平移、线段和差的知识；解题的关键是熟练掌握平移的性质．
14．##
【分析】本题主要考查了实数与数轴，直接用点A表示的数减去向左平移的距离即可得到答案．
【解答】解：数轴上点A表示，那么点A沿数轴向左平移3个单位得到的点表示的数是，
故答案为：．
15．
【分析】先根据“”和“”的坐标建立平面直角坐标系，再由平面直角坐标系即可得出“”的坐标．
【解答】解：“”和“”的坐标分别是和，
建立坐标系如图所示：

“”的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据“”和“”的坐标建立平面直角坐标系，是解题的关键．
16．3；255
【解答】试题分析：①[]=9，[]=3，[]=1，
故答案为3；
②最大的是255，
[]=15，[]=3，[]=1，而[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为255．
考点：估算无理数的大小；数字的变化规律
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算立方根，再计算加减法即可；
（2）根据实数的运算法则求解即可；
（3）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可；
（4）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可．
【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．
【分析】本题考查角平分线的有关计算，平行线的性质．掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键．
根据邻补角的定义和角平分线的定义求得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得．
【解答】解：∵平分，，且
∴
∵
∴
∴．
19．
【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根和平方根的定义，根据算术平方根的定义可得，根据立方根的定义可得．只有0的平方根等于它本身，则，据此代值计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∵y是的立方根，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据点的坐标描出点，顺次连线即可；
（2）先确定平移的规律，再画出图形即可得到点坐标．
【解答】（1）如图，三角形即为所求；

（2）∵将三角形平移得到，点的对应点的坐标是，
∴将三角形先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，
如图，三角形即为所求，

∴．
【点拨】此题考查了坐标与图形，平移作图，根据平移规律确定点的坐标，正确掌握坐标与图形是解题的关键．
21．(1)4
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】（1）大正方形的边长是；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：，
，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【点拨】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画图即可，
（2）先证明，得到,再由平行线的性质得到进而可得结论.
【解答】（1））如图所示，

（2），理由如下
∴，
∴
∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关定理是解题关键.
23．(1)
(2)将一个正方形经过“倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形，举例和示意图以及说明见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形：
（1）先求出，经过3倍变换后的坐标，进而解答即可；
（2）先写出一个正方形四个顶点的坐标，再求出经过倍变换后的原来正方形四个顶点对应点的坐标，进而得出它们的关系解答即可；
【解答】（1）解：∵，，
，，
；
（2）解：将一个正方形经过“倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形，
举例为：若一个正方形的四个顶点的坐标分别为：，，，，
根据定义，将正方形经过“2倍变换”后，得到的四边形的四个顶点坐标分别为：，，，，
如图所示，
∴得到的四边形仍是正方形；
24．(1)两；2
(2)a=54
【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.
（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.
【解答】（1）解：∵，，且1000＜1728＜1000000
∴，即1728的立方根是一个两位数．
∵1728的个位数字是8，而，
∴能确定的个位数字是2.
故答案为：两，2
（2）解：∵，，且1000＜157464＜1000000
∴，即157464的立方根是一个两位数．
∵157464的个位数字是4，而，
∴能确定的个位数字是4.
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．
∴，可得．
∴157464的立方根的十位数字是5．
∴157464的立方根是54．
即a=54
经过验证
【点拨】本题主要考查了学生的阅读理解能力，能够读懂材料并能熟练计算1-10的立方是解题的关键.
25．（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；
（3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【解答】解：（1）平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
∴．
（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1＝∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，
∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°，
∴∠1＝×48°＝24°，
∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°．
（3）存在．
AB与CD在EF的两侧时，如图①所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使，
则∠ACD＝∠BAF，
即120°−3t＝110°−t，
解得t＝5；
此时（180°−60°）÷3＝40，
∴0＜t＜40，
∴t＝5符合题意；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使，
则∠DCF＝∠BAC，
即300°−3t＝110°−t，
解得t＝95，
此时（360°−60°）÷3＝100，
∴40＜t＜100，
∴t＝95符合题意；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°，
∠BAC＝t−110°，
要使，
则∠DCF＝∠BAC，
即3t−300°＝t−110°，
解得t＝95，
此时t＞110，
∵95＜110，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．