福建省泉州市丰泽区泉州师范学院附属中学等校联考2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份福建省泉州市丰泽区泉州师范学院附属中学等校联考2023-2024学年九年级下册月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三年数学学科
试卷满分150分，考试时间120分钟
一、单选题
1．要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．B．
C．D．
5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A．B．
C．D．
9．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，中，，平分交于点D，交于点E，M为的中点，交的延长线于点F，，．下列结论①；② ；③；④，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．方程的解是 .
12．若，则代数式的值为 ．
13．若，则= ．
14．如图，，直线、分别与这三条平行线交于点和点．已知，，，则BD的长为 ．
15．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点， PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S1、S2．若S=2，则S1+S2= ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程
(1)
(2)
19．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根．
(2)若这个方程的两个实根，，满足，求m的值．
20．如图，在中，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果的面积为2，求四边形的面积．
21．如图，一位数学家为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较木棒的影长与金字塔的影长，即可近似算出金字塔的高度．如果米，米，米，求金字塔的高度．

22．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
23．某商人如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可以销售100件，为了增加利润并减少进货量，现采用提高售价的办法，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件．
(1)问他将每件商品涨价多少元时，才能使每天所赚利润是320元？
(2)请你为该商人估算一下，若要获得最大利润，每件商品应涨价多少元？最大利润为多少元？
24．（1）模型探究：如图1，、、分别为三边、、上的点，且，与相似吗？请说明理由.

（2）模型应用：为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且.
①如图2，当点在线段上时，求的值；

②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的周长之比.

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿线段AB以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点B出发沿折线B﹣C﹣A以每秒2cm的速度运动．其中一点停止则另一点也随之停止，设运动时间为t秒．
（Ⅰ）①直接写出t的取值范围： ；
②当点P运动到AB中点时，连结PQ，PC，BQ，求证：△CPQ∽△ABQ；
（Ⅱ）当△BPQ是直角三角形时，求t的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-3≥0，
∴x≥3．
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．
2．B
【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可得．
【解答】解：A、，此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．A
【分析】根据二次根式的乘法和加减法则及，对选项一一进行判断即可．
【解答】解：A、，故该选项正确，符合题意；
B、与不是同类二次根式，无法计算，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意．
故选：A
【点拨】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法、二次根式的加减法，解本题的关键在理解二次根式的有关性质和法则．二次根式的乘法法则：；二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
4．D
【分析】根据线段成比例可直接进行排除选项．
【解答】解：A、∵，∴，故不符合题意；
B、∵，∴，故不符合题意；
C、∵，∴，故不符合题意；
D、∵，∴，故符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键．
5．C
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
只有选项C符合题意；
故选C．
【点拨】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可得，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：，
，
，
A．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意；
B．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意；
C．添加后，不能判定，符合题意；
D．添加后，可用两边及其夹角法判定，不合题意；
故选：C．
7．A
【分析】利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
【解答】由题意可知，两个矩形相似，可以得到
或，
解得或，
∵两个矩形不全等，
∴（舍去），
∴x=3，
故答案选：A．
【点拨】本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质构建方程．
8．C
【分析】可借助平移性质得到小路的长为、宽为的矩形，再减去一个重叠的边长为的正方形的面积，列方程即可．
【解答】解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．
9．D
【解答】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，
所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，
故答案为：D.
10．C
【分析】根据，，，可判断①；先证，得，不一定，可判断②；先判断，可得，可判断③；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④．
【解答】解：①，，
平分，
，
．故①正确；
②，，
，得，
的值不确定，故②不正确；
③由①知，
，
又，
，
，由②知，
，
．
故③正确；
④如图，连接，
在，为斜边的中线，
则．
，
，
由得；
由得，有，
．
故④正确．
综上所述，①③④正确，共有3个．
故选C．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，勾股定理，直角三角形性质，平行线的性质，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
11．，
【分析】如果，那么，利用直接开方法求解即可．
【解答】解：，
直接开方得：，
∴，，
故答案为：，．
【点拨】题目主要考查利用直接开方法求解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．9
【分析】把化为的形式，再整体代入求值即可.
【解答】∵，
∴．
故答案为9
【点拨】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键.
13．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】∵
∴
∴原式＝
故答案为：
【点拨】本题考查比例的基本性质，属于基础题型，解题的关键是利用b表示a，得出关于b代数式，利用分式的性质得出答案．
14．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：∵，，，，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
15．8
【解答】∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EFBC．
∴ΔPEF∽ΔPBC．
∴SΔPBC=4SΔPEF=8．
又SΔPBC=S平行四边形ABCD，
∴S1+S2=SΔPDC＋SΔPAB=S平行四边形ABCD=8．
16．
【分析】构造相似三角形，对的取值分析进行讨论，在时，点在轴的负半轴，而此时，，不合题意；故．由相似比求得边的相应关系．
【解答】解：作，连接．则，,如图，
由可得．
∴，
∴．
当时，，
所以，此时，故不合题意．
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，即
解得．
故答案是：．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形．
17．(1)
(2)1
【分析】（1）先将二次根式化简，然后计算除法，最后计算加减法即可；
（2）先计算有理数的乘方及算术平方根，二次根式的除法，然后计算加减法即可．
【解答】（1）解：原式=
=
（2）原式=
=1．
【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】（1）解：
或
；
（2）解:
，．
【点拨】此题考查了解一元二次方程−因式分解法、公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）△=＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数关系可得：，即可求解.
【解答】（1）证明：∵，
无论m取何实数，的值都大于零．
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，是方程的两个实数根，
∴．
又∵，
∴．
∴，代入原方程得：
，
化简得：．
解得：，．
【点拨】本题考查了根的判别式及根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键是熟知根与系数的关系及用根的判别式判定根的情况．
20．(1)证明见解析
(2)四边形的面积是6．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识；
（1）由题意得，根据相似三角形的判定方法可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案；
熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【解答】（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积为8，
∴．
21．137米
【分析】根据太阳光是平行光线，得出△，再利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：由于太阳光是平行光线，
，
又，
△，
，
米．
答：金字塔的高度为137米．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△，进而得出比例式是解题关键．
22．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【解答】（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
【点拨】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
23．(1)2或6元
(2)应涨价4元，最大利润为360元
【分析】（1）设每件商品涨价x元，根据题意，列出方程求解即可；
（2）设每件商品应涨价x元，所获的总利润为y元，根据题意，列出二次函数，求最值即可．
【解答】（1）解：设每件商品涨价x元．
依题意知：
整理可得：，解得：，
经检验：，是原方程的解，且符合题意．
答：他将每件商品涨价2或6元时，才能使每天所赚利润是320元．
（2）解：设每件商品应涨价x元，所获的总利润为y元．
依题意知：
，
当时，y达到最大，最大值为360．
答：若要获得最大利润，每件商品应涨价4元，最大利润为360元．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用．根据题意，正确的列出方程，求出函数解析式是解题的关键．
24．（1），见解析；（2）①；②与的周长之比为.
【分析】（1）根据三角形的内角和得到，即可证明；
（2）①设，，根据等边三角形的性质与折叠可知，，，根据三角形的内角和定理得，即可证明，故，再根据比例关系求出的值；
②同理可证，得，得，再得到，再根据相似三角形的性质即可求解.
【解答】解（1），
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（2）①设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
.
.
与的周长之比为.
【点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.
25．（Ⅰ）①0≤t≤7，②见解析；（Ⅱ）t＝或
【分析】（Ⅰ）①利用勾股定理求出AB的长即可解决问题．
②根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（Ⅱ）分两种情形：①如图2中，当PQ∥AC时，∠PQB＝∠C＝90°．②如图3中，当∠QPB＝90°时，分别求解即可．
【解答】（Ⅰ）①解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵＝10，＝7，7＜10，
∴t的取值范围为：．
故答案为：0≤t≤7．
②证明：如图1中，由题意点P运动到AB的中点时，t＝5，
∴CQ＝5×2﹣8＝2，
∵∠ACB＝90°，PA＝PB，
∴PC＝PA＝PB＝5，
∴∠PCQ＝∠A，
∵，，
∴，
∴△QCP∽△CAB，
（Ⅱ）解：①如图2中，当PQ∥AC时，∠PQB＝∠C＝90°，
∵PQ∥AC，
∴，
∴，
解得：；
②如图3中，当∠QPB＝90°时，
∵∠QPB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，满足条件的t的值为：或.
【点拨】本题考查相似形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．