安徽省宿州市萧县城北初级中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省宿州市萧县城北初级中学2023-2024学年八年级下册月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分共10小题）
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11B．16C．17D．16或17
4．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44°B．66°C．88°D．92°
5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50°B．70°C．75°D．80°
6．在平面直角坐标系中，，，，，动点在轴上，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
7．到三角形三边所在的直线距离相等点有（ ）个
A．0B．1C．4D．5
8．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A．B．C．D．不能确定
9．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）

A．B．C．D．
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分共4小题）
11．a＞b,且c为实数，则ac2 bc2.
12．“x的3倍与2的差不大于”用不等式表示为 ．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ．
14．如图，在中，是内两点，平分，若，则 ．
三、解答题（15-18每小题8分；19-20每小题10分；21-22每小题12分；23题14分）
15．把下列各数：， ，0，，，在数轴上表示出来并用“>”把他们连接起来．

16．将下列不等式化成“”或“”的形式．
(1)
(2)
17．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
18．如图，中，，的平分线交于点D，，，，求的面积．

19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
22．在等边中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且．
如图1，若点E是AB的中点，求证：；
如图2，若点E不是AB的中点时，中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

23．（2016山东省菏泽市）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=CM+BN．
参考答案与解析
1．D
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为=70°．
故选：D．
2．D
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；
B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；
C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即：，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>0，不等式仍成立，即；当m<0，不等号方向改变，即；当m=0时，；故不一定成立，故本选项符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3．D
【解答】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.
故选项D正确.
考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想
4．D
【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．
【解答】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
∵AM=BK，BN=AK，
∴，
，
=∠MKN+∠BKN，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
5．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故选B．
【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，一次函数与结合图形，勾股定理；首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，作出的中垂线与轴的交点；然后再以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴的交点即为所求；最后判断出以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴没有交点，据此判断出点的个数为多少即可．
【解答】如图，所在的直线是，
设的中垂线所在的直线是，
点，，，，
的中点坐标是，，
把，代入，
解得，
的中垂线所在的直线是，
，；
以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴的交点为点、；
，
，
以点为圆心，以的长为半径画弧，与轴没有交点．
综上，可得若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数为．
故选B．
7．C
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
根据角平分线的性质，分别作三角形内角及外角的平分线，它们的交点即为所求的点．
【解答】解：到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．如图所示：

在中，分别作和的平分线交于点I，
根据角平分线的性质得：点I到直线，的距离相等，点I到直线，的距离相等，
因此点I到三边所在直线的距离相等；
作外角的平分线交的平分线于点P，
根据角平分线的性质得：点P到直线，的距离相等，点P到直线，的距离相等，
因此点P到三边所在直线的距离相等；
同理：作外角的平分线与的平分线交于Q，则点Q到三边所在直线的距离相等；
作外角的平分线交的平分线于点R，则点R到三边所在直线的距离相等．
综上所述：到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，它们分别是三角形内角平分线的交点，内角平分线与外角平分线的交点．
故答案为：C.
8．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理；
作出图形，根据等边三角形的性质和勾股定理求出高的长，再根据等面积法列式，可得点P到三边的距离之和等于高线的长度．
【解答】解：如图，为等边的高线，
等边三角形的边长为3，
∴，
高线，
∵，
，
，
即点到三边距离之和为．
故选：B．
9．D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点拨】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
10．A
【分析】利用三角函数求出OB、OC，发现它们长度的规律，按规律求解即可．
【解答】解：∵，．
∴；
；
……
；
故选：A．
【点拨】本题考查了解直角三角形和图形规律问题，解题关键是准确运用解直角三角形的知识进行计算，发现线段长之间的规律．
11．≥
【分析】根据不等式的性质解答即可.
【解答】∵c为实数，
∴c2≥0，
∵a＞b,
∴ac2≥bc2.
故答案为≥.
【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
12．
【分析】首先表示x的3倍与2的差，再抓住关键词“不大于”列出不等式即可．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了由实际问题列出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．4
【解答】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，
∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠BDE，
∴在△ABD和△EBD中 ，
∴DE=AD=4，
即DP的最小值为4．
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，能求出的长是解题的关键．延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案．
【解答】解：延长交于M，延长交于N，
∵，平分，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
15．在数轴上将各数表示见解析，．
【分析】先化简绝对值和多重符号，再在数轴上表示即可，最后根据数轴上右面的数比左面的数大比较即可．
【解答】解：，．
∴在数轴上将各数表示出来如下，

由数轴可知．
【点拨】本题考查化简绝对值和化简多重符号，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小．利用数形结合的思想是解题关键．
16．(1)；
(2)；
【分析】（1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集；
（2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集．
【解答】（1）解：，
不等式两边同时乘以，可得，
，
（2）解：，
不等式两边同时减，可得，
，
不等式两边同时减，可得，
，
系数化为，可得，
，
【点拨】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
17．见解析．
【分析】假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立，由此即可证明．
【解答】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，
不妨设，则，
这与三角形内角和为相矛盾，不成立，
所以一个三角形中不能有两个直角．
【点拨】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．
18．
【分析】本题考查了角平分线的性质．解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作于E，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积是：，
的面积是：，
．

19．（1）∠ABE=∠ACD，理由见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定证得△ABE≌△ACD，继而根据全等三角形的性质即可求证结论；
（2）根据等边对等角的性质得，由（1）知．继而根据角的和差可得，根据等角对等边的性质可得：，继而根据线段垂直平分线的判定即可求解．
【解答】(1)
理由：在△ABE和△ACD中
∵
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴
(2) ∵，
∴.
又∵，
∴ ，
∴ .
又∵，
∴点、均在线段的垂直平分线上，
即直线垂直平分线段.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质及三角形内角和：
（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论；
（2）由三角形的外角的性质，，在中，利用三角形内角和即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【解答】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
，
，
是的中点，
．
（2），
，
∴由三角形的外角的性质，，
，
，
在中，，
，
．
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．
用含t的代数式表示出．
（1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
【解答】（1）解：在中，
，，
．
，
.
当时，为等边三角形．
即．
∴．
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
22．（1）证明见解析;（2）,理由见解析.
【分析】由等边三角形的性质得出，，再根据，得出，再证出，得出，从而证出；
作辅助线得出等边三角形AEF，得出，再证明三角形全等，得出，证出．
【解答】证明：是等边三角形，
，
点E是AB的中点，
平分，，
，
，
．
，
，
，
．
．
解：；
理由：过点E作交AC于点如图2所示：

，．
是等边三角形，
，，
，，
即，
是等边三角形．
，，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）①证明见解析；②80°；（2）证明见解析．
【解答】试题分析：（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．
试题解析：（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=CM+BN．