2024年江苏省南通市启秀中学中考一模数学模拟试题（含解析）

这是一份2024年江苏省南通市启秀中学中考一模数学模拟试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初三数学
一、单选题（每题3分）
1．在﹣，﹣，0，1四个数中，最大的数是（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣
2．2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．5a3﹣4a2＝1B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．a9÷a3＝a3D．a-（b+c）＝a﹣b+c
5．估计的值应在（ ）
A．和之间B．和 之间C．和之间D．和之间
6．一个多边形的内角和等于，则它是（ ）
A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形
7．如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
8．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
10．已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24B．C．D．
二、填空题（11-12每题3分， 13-18每题4分）
11．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．因式分解：= ．
13．如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是 ．
14．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE= ．
16．对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 ．
17．如图，A、B是反比例函数（）图象上的两点，直线交y轴正半轴于点E．过点A，B 分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，若点B的横坐标是4，,，则k的值为 ．
18．如图，腰长为8的等腰中，，D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．
三、解答题
19．（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上
（2）解分式方程：．
20．新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中，，的值．
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
21．如图，在中，平分为的中点．求证：．
小芳同学解题过程如下：
解：
为的中点，
．第一步
平分，
．第二步
．第三步
(1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步；
(2)写出正确的解题过程．
22．有三把不同的钥匙A，B，C和两把不同的锁D，E，其中钥匙A只能打开锁D，钥匙B只能打开锁E，钥匙C不能打开这两把锁．
(1)随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是 ；
(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
23．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且
(1)求证：是的切线；
(2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．
24．水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为天，平均每颗榴莲的售价为元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第天的销售量，每颗榴莲的成本为元．与的函数关系如图所示．

与之间的关系如表：
(1)求与的函数表达式．
(2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？
25．（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在AD、AF上，此时BD与CF的数量关系是_________，位置关系是__________；
（2）拓展探究：如图2，当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题：当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．已知AB=2，AD=，求线段DH的长．
26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．
(1)当时，下列函数有界的是______（只要填序号）；
①；②；③．
(2)当时，一次函数的界值不大于2，求k的取值范围；
(3)当时，二次函数的界值为，求a的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据实数大小比较判断即可；
【解答】∵1＞0＞﹣＞﹣，
∴最大的数是1，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键．
2．B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00519＝5.19×10−3，
故选：B．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．A
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为，
故选：A．
4．B
【分析】根据同类项的定义判断选项A；根据积的乘方可以判断选项B；根据同底数幂除法可以判断选项C；根据去括号法则可以判断选项D．
【解答】解：选项A，5a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，选项A错误，不符合题意；
选项B，（﹣a2b3）2＝a4b6，选项B正确，符合题意；
选项C，a9÷a3＝a6，选项C错误，不符合题意；
选项D，a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、积的乘方、去括号法则等知识点．掌握各计算法则是解题关键．
5．A
【分析】先计算二次根式的乘法，在估算出的近似值，进而得解．
【解答】
，
∴，
∴，
∴估计的值应在和之间．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．
6．C
【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为，
，
解得，
故这个多边形为九边形．
故选：C．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为．
7．B
【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出,再根据三角形内角和求出 即可．
【解答】 ，
，
，
，
，
，
，

故选．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键．
8．D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【解答】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
【点拨】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
9．A
【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，

在等边△ABC中，∠ACB＝60°，
在Rt△DEF中，∠F＝30°，
∴∠FED＝60°，
∴∠ACB＝∠FED，
∴ACEF，
在等边△ABC中，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，
∴S△ABC＝BC•AM＝4，
①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，

由题意可得CD＝x，DG＝x
∴S＝CD•DG＝x2；
②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，

由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），
∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），
∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，
③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，
此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，

由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，
∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，
∴BM＝4﹣x
在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），
∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），
∴S＝（x﹣8）2，
综上，选项A的图像符合题意，
故选：A．
【点拨】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．
【解答】解：
；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案．
【解答】根据题意得，
解得：；
故答案为：．
12．
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
13．
【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．
【解答】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．2π
【解答】试题分析：如图，
∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
考点：圆锥的计算．
15．
【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．
【解答】解：如图，连接
是的中点，






故答案为：
【点拨】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查解不等式和不等式的解集的应用．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
由可得：，然后分、、三种类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意的，恒成立，即可列出关于a的不等式求解即可．
【解答】解：由可得：，
当时，不等式的解集为，
对于任意的，恒成立，
∴，解得：；
∴，
当时，恒成立，满足题意；
当时，不等式的解集为，
∵对于任意的，恒成立，
∴，解得：，故符合题意；
综上所述，．
故答案为：．
17．
【分析】由，设，，则，可求得，设，，由，可得，求出b的值，再求出，，利用A、B是图象上的两点，即可求出答案．
【解答】解：轴，
，
，
∴设，，
，
∵点B的横坐标为4，
，
则，
，
,
设，，
，
∴，
，
，
，
则，
，
设B点的纵坐标为n，
，
则，
，，
A、B是反比例函数（）图象上的两点，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点A、B的坐标是解题关键．
18．
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，由“”可证，可得，时，有最小值，即有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【解答】解：∵腰长为8的等腰中，，
∴，，
如图，在上截取，连接，
线段绕点A逆时针旋转，得到线段，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
19．（1），数轴见解答；（2）原方程无解
【分析】（1）分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示即可．
（2）先把分式方程化为整式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【解答】解：（1），
解不等式①得，
解不等式②得，
故不等式的解集为：；
在数轴上表示为： ；
（2）方程两边同乘以得，
，
解得，
检验，当时，分母，
是原方程的增根，
故原方程无解．
【点拨】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．
20．(1)，，
(2)八年级的成绩较好，理由：八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高（理由不唯一）
(3)468人
【分析】本题考查平均数、中位数、众数的定义以及意义、扇形统计图的相关信息．
（1）求出C组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出a的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定b、c的值；
（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
（3）样本估计总体，用总体乘以七八年级中“优秀”占比即可得出答案．
【解答】（1）解：，，
根据占比和总人数可知：A组有2人，B组有1人，C组有3人，D组有4人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，
因此中位数是94，即，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，共出现3次，因此众数是99，即，
故，，．
（2）八年级成绩较好，
∵七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，
∴八年级的成绩较好．
（3）七年级的学生有6人，八年级的学生有7人，
人
21．(1)三
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：
（1）根据不能推导出，明显跳步，可得第三步错误；
（2）过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再证，可得，进而可证．
【解答】（1）解：根据不能推导出，
因此出现错误的是第三步，
故答案为：三；
（2）解：正确的解题过程如下：
为的中点，
．
如图，过点D作于点E，于点F，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
．
22．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】（1）解：随机取出一把钥匙，取出A钥匙概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图：
∴共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，
∴一次打开锁的概率为＝．
【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握画树状图或者列表的方法是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分的面积为．
【点拨】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键．
（1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解．
【解答】（1）解：设与的函数表达式为，
把和分别代入得：
，
解得：，
∴与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，；
当时，，
∵不在范围内，当时，随的增大而减小，
∴当时，；
综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．
25．（1）CF=BD，CF⊥BD；（2）成立，证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论；
（2）只需要证明△ABD≌△ACF即可得出结论；
（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF、DM和DB，证明△BDM∽△FDH即可求得．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AF⊥AD，AF=AD，即CF⊥BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∴CF=BD，
故答案为：CF=BD，CF⊥BD；
（2）BD=CF成立．
理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ，
由（1）得AC=AB，AF=AD，
在△ABD和△ACF中，
∵
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF；
（3）如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M．
∵四边形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=，
在△MAD中，AM2+DM2=AD2，
∴AM=DM=3，
∴MB=AM-AB=3-2=1，
在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2，
∴
在Rt△ADF中，AD=，
∴，
由（2）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠ADN=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴∠DHF=∠DMB=90°，
∵∠BDM=∠FDH，
∴△BDM∽△FDH，
∴，
∴．
【点拨】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．(1)①③
(2)或，函数
(3)或
【分析】（1）利用函数有意义时自变量x的取值范围结合有界函数的定义判定；
（2）分情况讨论，①k＞0时；②k＜0时，然后求出x=m和x=m+2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k的取值，最后得到一次函数的解析式；
（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a≤x≤a+2时的最大值与最小值，再结合界值为求得a的值．
【解答】（1）解：函数，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，；
∵，
∴，
∴①有界；
函数，-2＜0，
∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
或
∴②无界
如图，
函数的称轴为，
∵-1＜0，
∴当时，y随x增大而增大，

，
如图，
③有界；
故答案为：①③．
（2）解：当时，；当时，．
①当时，即时，y随x的增大而增大，由题意得
，解得，．
∴．
②当时，即时，y随x的增大而减小，由题意得
，解得，．
∴．
∴k的取值范围为或．
（3）解：∵，
∴该抛物线开口向上，对称轴为．
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
令，得；令，得；令，得．
①当，即时，由题意得，，解得（舍去）；
②当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；
③当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；
④当，即时，由题意得，，解得（舍去）．
综上所述，a的值为或．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
90
众数
100
方差
52
第天
销售量颗