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人教版七年级数学下册常考提分精练期末难点特训(一)选填压轴50道(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册常考提分精练期末难点特训(一)选填压轴50道(原卷版+解析)，共48页。
1．已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4)B．(，)C．(﹣6，5)D．(，4)
7．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（ ）
A．62°B．56°C．76°D．58°
8．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
A．4B．6C．15D．21
11．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5°B．21°C．22.5°D．22°
12．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（ ）
A．30B．15C．10D．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1•S3与S2•S4的大小关系为（ ）
A．S1•S3＜S2•S4B．S1•S3＝S2•S4
C．S1•S3＞S2•S4D．不能确定
14．下列命题：①平方根等于它本身的数有0和1；②点一定在第三象限；③不等式无解．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．已知在内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
19．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元B．155元C．165元D．170元
20．若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元．某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有（ ）种购买方案．
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
22．已知方程组，以下说法正确的是（ ）
A．无论实数取何值，不可能等于
B．当时，方程组的解也是方程的解
C．存在某一个值，使得，
D．代数式的最小值为7
第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
24．如果关于的一元一次不等式组的解集为，则的立方根为______．
25．在平面直角坐标系中，，，，，，，…，按此规律排列，则点的坐标是______．
26．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限．
27．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有______（直接写序号即可）．
①；②若，则；③若，则；④若，则．
28．三个连续的正整数的和小于111，这样的正整数有_______组，若符合要求的最大那组数中最大的数为a，则的平方根是______．
29．在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…，则第2022次移动至点的坐标是__________．
30．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2022个整点的坐标为_____________．
31．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
32．若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是__________．
33．在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
34．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
35．若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______．
36．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，a＋2b＝3，c＝3a－b，且b>0，则c的取值范围是________．
37．若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是______________．
38．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
39．已知点位于第二象限，并且，，均为整数，则满足条件的点的个数有_________个．
40．若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________．
41．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
42．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为________．
43．如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为________cm2．
44．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则_________度．
45．已知关于x的不等式组的整数解只有四个，则实数a的取值范围是_______．
46．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号）
47．如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
48．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
49．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立．
问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
50．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
6
七下期末难点特训（一）选填压轴50道
1．已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①②④将a的值或方程组的解代入方程组，通过求解进行判断，③解方程组，用含a的代数式表示x，y，根据x的取值范围求出a的取值范围，进而可得y的取值范围．
【详解】解：①当时，方程组为，
解得：，
∴，故正确；
②当时，方程组为，
解得，，即、的值互为相反数，故正确；
③，
解得，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故正确；
④当时，原方程组为，无解，故错误；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，方程（组）的解，熟练掌握其运算法则是解题的关键，一般采用直接代入的方法进行求解即可．
2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：、、、，．由于和的纵坐标相同，所以结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以为起点，以为终点，4个点为一组循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．从到共有2022个点，所以纵坐标的循环次数为．即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同．所以的纵坐标与相同，横坐标为2022．即的坐标为．
【详解】解：由图象得：、、、，
图象上点的规律是：纵坐标的变化是以为起点，以为终点，4个点为一组循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1
从到共有2022个点
纵坐标的循环次数为：
即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同
的纵坐标与相同，横坐标为2022
即的坐标为
故选C．
【点睛】本题要求学生能够仔细观察图象，找出点的横纵坐标的变化规律．数字规律题一般都是几个点或者几个数字一循环．善于思考，关注细节，是解决此类题的关键．
3．如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4．若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集为，可得答案．
【详解】解：
由①得：，
不等式组的解集为，
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，根据不等式组的解集求解参数的取值范围，理解“同大取大”是解本题的关键．
5．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，再由不等式组的整数解共有三个，可得，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解共有三个，
∴，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
6．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4)B．(，)C．(﹣6，5)D．(，4)
【答案】B
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可.
【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴﹣2x=﹣，x+y=，
∴点B的坐标为(﹣，).
故选：B.
【点睛】此题考查几何图形类二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中线段的大小关系列得方程组是解题的关键.
7．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（ ）
A．62°B．56°C．76°D．58°
【答案】B
【分析】根据题意可知∠PBC=∠C，设∠C=x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC=∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠C，
设∠C=x，
则∠PBC=x，
∵∠FEC=28°，
∴∠AFE=x+28°，
∵∠AEF=2∠AFE，
∴∠AEF=2x+56°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP=x+28°，
∵∠PEC=∠P+∠PBC，
∴x+28°+28°=∠P+x，
∴∠P=56°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】表示出不等式的解集，根据不等式有且只有四个非负整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式移项得：x＜a-1，
∵不等式有且只有四个非负整数解，即0，1，2，3，
∴3＜a-1≤4，
解得：4＜a≤5．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CDAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【详解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如图，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
10．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
A．4B．6C．15D．21
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴p＝3m﹣4n+15＝6+15＝21，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
11．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5°B．21°C．22.5°D．22°
【答案】D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
12．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（ ）
A．30B．15C．10D．
【答案】B
【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为(2,-2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．
【详解】∵C点坐标(x,-2)，
∴C点在直线y=-2上，
∴B点坐标(-3,-2)，
∵B点在直线y=-2上，
根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，
∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，
∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，
∴C点坐标(2,-2)，
∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，
∵AC⊥BC，
∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1•S3与S2•S4的大小关系为（ ）
A．S1•S3＜S2•S4B．S1•S3＝S2•S4
C．S1•S3＞S2•S4D．不能确定
【答案】C
【分析】连接DE，再设S△DEF=S′1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则 ，则可证得：S1′S3=S2S4，即可得到：S1S3＞S2S4．
【详解】解：如图，连接DE，设S△DEF＝S′1，
则，从而有S1′S3＝S2S4．
因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．
故选：C．
【点睛】此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用．
14．下列命题：①平方根等于它本身的数有0和1；②点一定在第三象限；③不等式无解．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用平方根的定义、点的坐标特点及不等式的解法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①平方根等于它本身的数有0，故原命题错误，不符合题意；
②点一定在第三象限，正确，符合题意；
③不等式有解，故错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根的定义、点的坐标特点及不等式的解法．
15．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】若大和尚有x人，小和尚有y人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断.
【详解】设大和尚有x人，小和尚有y人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得和3x+（100-x）=100和y+3（100-y）=100；
故②③④正确,共计3个
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
16．规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义列出关于的不等式组，再进一步求解即可.
【详解】解：
解不等式组，得：，
解不等式组，得：，
∴的取值范围为：.
故选：B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键.
17．已知在内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在经过此次平移后对应点，可得△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，由此得到m的值，再解不等式组即可得到结论．
【详解】解：∵在经过此次平移后对应点，
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∵点经过平移后对应点，
∴a-1=c，b-5=d，
∴a-c=1，b-d=5，
∴m=a+b-c-d=1+5=6，
∴不等式组变形为
解得，不等式组的解集为
故选：B
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．同时也考查了求不等式组的解集．
18．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出AE=2，BF=3，OC=2，最后利用三角形的面积解决问题．
【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵A（2，m），B（-3，n），C（0，-2），
∴AE=2，BF=3，OC=2；
由S△ABC=S△AOC+S△BOC，得
AB•CD=×2×2+×2×3
解得，AB×CD=10，
∵AB=10，
∴CD长度的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
19．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元B．155元C．165元D．170元
【答案】B
【分析】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，根据A盒的成本为145元，B盒的成本为200元，列出方程组，解之即可．
【详解】解：设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，
依题意得：，
②÷2得：x+2y+z=100③，
②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本为155元．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
20．若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
∵解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x≥-5，
∴不等式组的解集是-5≤x＜，
∵关于x的不等式组有两个整数解，
∴-4＜≤-3，
解得：-8＜a≤-6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
21．商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元．某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有（ ）种购买方案．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次一次方程，结合x，y，（127-x-y）均为自然数，即可得出共有2种购买方案．
【详解】解：设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，
依题意得：5x+8y+（127-x-y）=200，
∴x=．
又∵x，y，（127-x-y）均为自然数，
∴或，
∴共有2种购买方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
二、多选题
22．已知方程组，以下说法正确的是（ ）
A．无论实数取何值，不可能等于
B．当时，方程组的解也是方程的解
C．存在某一个值，使得，
D．代数式的最小值为7
【答案】ABD
【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解．
【详解】解：已知关于x、y的方程组 ，
解得： ，
A、当x=y时，即a2＋3=－2－2a2，
变形为：3a2 =－5无意义，
∴不可能等于，
故选项A正确；
B、当a= 1时，方程组的解为： ，
∴代入方程左右两边得：
左边=2×4＋（－4）=4，
右边=4×12=4，
∵左边=右边，
∴当时，方程组的解也是方程的解，
故选项B正确；
C、当，时，代入方程组中得： ，
解得： 无意义，
∴不存在某一个值，使得，，
故选项C错误；
D、 ，
∵ ，
∴的最小值为7，
故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24．如果关于的一元一次不等式组的解集为，则的立方根为______．
【答案】
【分析】将不等式组移项整理并用字母，表示出不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，得到对应的等式关系，即关于，的二元一次方程组，利用加减消元法、代入消元法求出，的值，最后将，的值代入所要求的代数式中求解立方根．
【详解】整理得，
解得即．
不等式组的解集为，
整理得，
解得，．
，
的立方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解的定义、解二元一次方程、立方根的计算问题．注意求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．恰当利用字母，的值表示不等式组的解集，根据已知解集得到对应的等量关系并进行求值是解本题的关键．
25．在平面直角坐标系中，，，，，，，…，按此规律排列，则点的坐标是______．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2022的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴移动4次图象完成一个循环，且A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0），
∵2022÷4=505……2，
∴A2022的坐标是（505×2+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故答案为：（1011，1）
【点睛】本题考查了点的坐标规律，仔细观察图形，得到点的坐标变化规律是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限．
【答案】二
【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答．
【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，
∴x1y2＜0，x2y1＞0，
∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．
27．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有______（直接写序号即可）．
①；②若，则；③若，则；④若，则．
【答案】①②④
【分析】利用同角的余角相等可判断①，证明∠AHE+∠CAB=180°，可判断②，利用三角形 的外角的性质求解∠EHA=90°， 可得∠EAB=30°，从而可判断③，证明 ∠CGA=∠EAD，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：根据题意可知：∠CAB=∠EAD=90°，∠D=30°，∠E=60°，∠C=∠B=45°，
①∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
∴∠BAD=∠CAE，故①符合题意；
②∵∠BAE=30°，∠E=60°，
∴∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠CAB=180°，
∴，故②符合题意；
③∵∠BFD=∠C，∠B=∠C=45°，
∴∠BFD=∠B=45°，
∴∠EHA=90°，
∵∠E=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°，故③不符合题意；
④∵∠BAE=45°，
∴∠CAE=45°，
∵∠C=45°，
∴∠CGA=90°，
∴∠CGA=∠EAD，
∴，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
28．三个连续的正整数的和小于111，这样的正整数有_______组，若符合要求的最大那组数中最大的数为a，则的平方根是______．
【答案】
【分析】设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），由题意：三个连续正整数的和小于111，列出不等式，解得：x＜37，进而可得出答案．
【详解】解：设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），
由题意得：x﹣1+x+x+1＜111，
解得：x＜37，
∴x可以取2，3，4，…，36，共35个，
∴这样的正整数有35组；
其中最大的那组数为35，36，37，
∴a＝37，
∴a﹣1的平方根，即是36的平方根为±6，
故答案为：35，±6．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及平方根的概念，解题的关键是读懂题意，列出不等式，求出符合条件的三个连续正整数．
29．在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…，则第2022次移动至点的坐标是__________．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次完成一个循环，再观察角码除以4余2的点： A2（1，1），A6（3，1），…， 从而可得出点A2022的坐标．
【详解】解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…，
而2022÷4=505•••2，
观察角码除以4余2的点： A2（1，1），A6（3，1），…，
所以A2022的坐标为（，1），
则A2022的坐标是（1011，1）．
故答案为：（1011，1）．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
30．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2022个整点的坐标为_____________．
【答案】（45，3）
【分析】观察图中点的坐标可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，故可得当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），然后按照规律求解即可．
【详解】解：观察图中点的坐标得：以最外边的长方形边长上点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横标的平方，
如：第12个点的坐标为（1，0），
第22个点的坐标为（1，22），
第32个点的坐标为（3，0），
第42个点的坐标为（1，42），
第52个点的坐标为（5，0），
第62个点的坐标为（1，62），
当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），
当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），
∵452=2025，45为奇数，
∴第2025个点的坐标为（45，0），
∴退3个点，得到第2022个点是（45，3）．
故答案为：（45，3）
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的个数与横坐标之间存在的平方关系是解答此题的关键．
31．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据和谐点的定义及点A1的坐标为（1，3），顺次求出几个和谐点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】解：观察，发现规律：A1（1，3），A2（2，−2），A3（−3，−3），A4（−4，2），A5（1，3），…，
根据上面规律可知，每4个点循环一次，
∵2022＝505×4＋2，
∴点A2022的坐标为（2，−2）．
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题主要考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
32．若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】2＜a≤3
【分析】先用含a的代数式表示出不等式组的解集，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得实数a的取值范围．
【详解】解：，
解①得，x>，
解②得，x∴不等式组的解集是∵关于x的不等式组恰好有三个整数解，
∴整数解只能是0，1，2，
∴2＜a≤3．
故答案为2＜a≤3．
【点睛】此题考查的是解一元一次不等式式组，解集的确定应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
33．在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
【答案】≤m＜
【分析】根据题意列出关于m的不等式，解之确定m的范围．
【详解】解：∵点P是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于MN上，
又∵△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，
∴MN线段上有4-1=3（个）整数点，
∵m-3-（3-2m）=m-6，
∴2≤m-6＜3，
解得：≤m＜．
故答案为：≤m＜．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解题的关键．
34．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
【答案】
【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值．
【详解】解：∵，，
∴ABx轴，AB=6，
设的AB边的高为h，
∵S△ABC==6，即=6
∴h=2，
则点C到AB的距离=2，
∵点C为点A，B的“k倍和点”，
当点C在AB上方时，则yC=1，
∴1=k(-1-1)，
解得：k=-；
∵k>0，
∴k=-不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则yC=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k=；
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点C纵坐标是解题的关键．
35．若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】可先用a表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于a的不等组，可求得a的取值范围．
【详解】，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为1，2，3，4，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．
36．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，a＋2b＝3，c＝3a－b，且b>0，则c的取值范围是________．
【答案】
【分析】由二元一次方程组可得，则有，然后根据a＋2b＝3，c＝3a－b可得，进而问题可求解．
【详解】解：解二元一次方程组得：，
∵方程组的解为非负数，
∴，解得：，
由a＋2b＝3，c＝3a－b可得：，
∵b>0，
∴，解得：，
∴，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式（组）的解法是解题的关键．
37．若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是______________．
【答案】x＜-5
【分析】根据x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，求得，代入不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，求得是解题的关键．
38．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
【答案】875
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．
【详解】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a30＝302−30＋5＝875．
故答案是：875．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．
39．已知点位于第二象限，并且，，均为整数，则满足条件的点的个数有_________个．
【答案】110
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据解不等式，即可得出答案．
【详解】解：由点在第二象限，得，，
又因为，
，
解得：，
，
，
，均为整数，
；
当时，，则取不到整数，有0种情况；
当时，，则，有2种情况；
当时，，则，有4种情况；
当时，，则，有6种情况；
当时，，则，有8种情况；
当时，，则，有10种情况；
当时，，则，有12种情况；
当时，，则，有14种情况；
当时，，则，有16种情况；
当时，，则，有18种情况；
当时，，则，有20种情况；
故共有：，
则满足条件的点的个数有110，
故答案为：110．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，解题的关键是熟练掌握不等式的解法．
40．若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，解之即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式得：，
不等式组最大整数解比最小整数解大3，
最小整数为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
41．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，
解得，
，解得，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
42．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】求出直线的解析式，再根据求出点的坐标为，然后过作轴，交直线于点，确定，再分两步：点在直线的下方；点不在第三象限，分别确定的取值范围，然后确定公共部分即可。
【详解】解：设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
解得：，
∴，
过作轴，交直线于点，
当时，，
∴，
∵点在直线的下方，
∴，
解得：，
若点在第三象限，则，解得：，
∴当时，点不在第三象限，
综上所述，。
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，点所在象限的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像及性质，数形结合是解题的关键．
43．如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为________cm2．
【答案】75
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出x与y的值，即可求出阴影部分面积．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据图形得：，
②﹣①得：3y＝6，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x+2＝11，
解得：x＝9，
则图中阴影部分面积为17×（11+2×2）﹣10×2×9＝255﹣180＝75（cm2）．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，弄清题意是解本题的关键．
44．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则_________度．
【答案】28
【分析】延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，设，利用平行线的性质及外角的性质可得①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得②，再由①②整理得出③，结合已知条件即可求解．
【详解】
延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，
设，
，
ABCD，
，
，即①，
的平分线和的平分线的反向延长交于点E，
，
，
在和中，，
，即②，
联立①②，可整理得③，
④，
联立③④，可整理得，
，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
45．已知关于x的不等式组的整数解只有四个，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
【详解】解：，
解①得：x≥a，
解②得：x＜6.5 ．
∴不等式组的解集为
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：3，4，5，6．
则实数a的取值范围是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
46．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号）
【答案】①③④
【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④．
【详解】解：解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误；
③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3，
∴M随t的增大而增大，
∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确；
④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0，
∴0≤t≤1，
∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键．
47．如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
【答案】（3034，1013）
【分析】先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【详解】解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：×3−2=1，纵坐标为：+1=2；
A3横坐标为：×3−2=4，纵坐标为：+1=3；
A5横坐标为：×3−2=7，纵坐标为：+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：×3−2=3034，纵坐标为：+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
【点睛】本题考查了点的坐标，理解A的纵坐标与下标之间的关系是关键．
48．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】设∠GEF=x，由折叠的性质分别求出各个角的度数，即可求解．
【详解】解：设∠GEF=x，
由折叠可知，∠GEF=∠DEF=x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=x，
∴∠GEF=∠GFE，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=180°-x，
由折叠可知，∠EFC=∠EFC'=180°-x，
∴∠GFC'180°-2x，
由折叠可知，∠GFC'=∠GFC''=180°-2x，
∴∠EFC''=180°-3x，
∵∠AEG-∠FEG=180°-2x-x=180°-3x，
∴∠AEG-∠FEG=∠EFC''，故②错误，③正确；
∵FC'∥ED'，
∴∠FGD'=180°-（180°-2x）=2x，
∵由折叠可知，∠D''GF=∠D'GF=2x，
∴∠EHG=∠D''GF+∠EFG=3x，
∴∠EHG=3∠EFB，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
49．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立．
问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
【答案】≥
【分析】先求出x，y的取值范围，再判断与0的关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
故答案为：≥．
【点睛】本题考查不等式的性质及整式的加减，解题的关键是确定x，y的取值范围．
50．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④．
【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围．
【详解】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为．
①它的解集是，
，
解得，故结论正确；
②，
，
故不等式组无解，故结论不正确；
③它的整数解仅有3个，
，
解得．
则的取值范围是，故结论正确；
④它无解，
，
解得，故结论正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6
1．已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
6．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4)B．(，)C．(﹣6，5)D．(，4)
7．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（ ）
A．62°B．56°C．76°D．58°
8．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
A．4B．6C．15D．21
11．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5°B．21°C．22.5°D．22°
12．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（ ）
A．30B．15C．10D．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1•S3与S2•S4的大小关系为（ ）
A．S1•S3＜S2•S4B．S1•S3＝S2•S4
C．S1•S3＞S2•S4D．不能确定
14．下列命题：①平方根等于它本身的数有0和1；②点一定在第三象限；③不等式无解．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
16．规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．已知在内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
18．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
19．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元B．155元C．165元D．170元
20．若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元．某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有（ ）种购买方案．
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
22．已知方程组，以下说法正确的是（ ）
A．无论实数取何值，不可能等于
B．当时，方程组的解也是方程的解
C．存在某一个值，使得，
D．代数式的最小值为7
第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
24．如果关于的一元一次不等式组的解集为，则的立方根为______．
25．在平面直角坐标系中，，，，，，，…，按此规律排列，则点的坐标是______．
26．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限．
27．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有______（直接写序号即可）．
①；②若，则；③若，则；④若，则．
28．三个连续的正整数的和小于111，这样的正整数有_______组，若符合要求的最大那组数中最大的数为a，则的平方根是______．
29．在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…，则第2022次移动至点的坐标是__________．
30．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2022个整点的坐标为_____________．
31．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
32．若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是__________．
33．在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
34．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
35．若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______．
36．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，a＋2b＝3，c＝3a－b，且b>0，则c的取值范围是________．
37．若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是______________．
38．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
39．已知点位于第二象限，并且，，均为整数，则满足条件的点的个数有_________个．
40．若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________．
41．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
42．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为________．
43．如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为________cm2．
44．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则_________度．
45．已知关于x的不等式组的整数解只有四个，则实数a的取值范围是_______．
46．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号）
47．如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
48．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
49．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立．
问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
50．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
6
七下期末难点特训（一）选填压轴50道
1．已知关于x、y的二元一次方程组其中，给出下列四个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，x、y的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①②④将a的值或方程组的解代入方程组，通过求解进行判断，③解方程组，用含a的代数式表示x，y，根据x的取值范围求出a的取值范围，进而可得y的取值范围．
【详解】解：①当时，方程组为，
解得：，
∴，故正确；
②当时，方程组为，
解得，，即、的值互为相反数，故正确；
③，
解得，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故正确；
④当时，原方程组为，无解，故错误；
综上，①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，方程（组）的解，熟练掌握其运算法则是解题的关键，一般采用直接代入的方法进行求解即可．
2．如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：、、、，．由于和的纵坐标相同，所以结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以为起点，以为终点，4个点为一组循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1．从到共有2022个点，所以纵坐标的循环次数为．即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同．所以的纵坐标与相同，横坐标为2022．即的坐标为．
【详解】解：由图象得：、、、，
图象上点的规律是：纵坐标的变化是以为起点，以为终点，4个点为一组循环变化．横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1
从到共有2022个点
纵坐标的循环次数为：
即纵坐标循环505组，现在和第二个点相同
的纵坐标与相同，横坐标为2022
即的坐标为
故选C．
【点睛】本题要求学生能够仔细观察图象，找出点的横纵坐标的变化规律．数字规律题一般都是几个点或者几个数字一循环．善于思考，关注细节，是解决此类题的关键．
3．如图，把一块三角板的角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
4．若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解不等式组，再根据不等式组的解集为，可得答案．
【详解】解：
由①得：，
不等式组的解集为，
故选：A
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，根据不等式组的解集求解参数的取值范围，理解“同大取大”是解本题的关键．
5．若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，再由不等式组的整数解共有三个，可得，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的整数解共有三个，
∴，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
6．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A(﹣2，6)，则点B的坐标为( )
A．(﹣6，4)B．(，)C．(﹣6，5)D．(，4)
【答案】B
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可.
【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴﹣2x=﹣，x+y=，
∴点B的坐标为(﹣，).
故选：B.
【点睛】此题考查几何图形类二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中线段的大小关系列得方程组是解题的关键.
7．如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（ ）
A．62°B．56°C．76°D．58°
【答案】B
【分析】根据题意可知∠PBC=∠C，设∠C=x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC=∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数．
【详解】解：∵∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠C，
设∠C=x，
则∠PBC=x，
∵∠FEC=28°，
∴∠AFE=x+28°，
∵∠AEF=2∠AFE，
∴∠AEF=2x+56°，
∵EP平分∠AEF，
∴∠FEP=x+28°，
∵∠PEC=∠P+∠PBC，
∴x+28°+28°=∠P+x，
∴∠P=56°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8．关于x的不等式x+1＜a有且只有四个非负整数解，则a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】表示出不等式的解集，根据不等式有且只有四个非负整数解，确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式移项得：x＜a-1，
∵不等式有且只有四个非负整数解，即0，1，2，3，
∴3＜a-1≤4，
解得：4＜a≤5．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9．如图，射线AB与射线CD平行，点F在射线AB上，，（a为常数，且），P为射线CD上的一动点（不包括端点C），将沿PF翻折得到，连接AE，则AE最大时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由折叠知EF=CF为定值，所以当点E在AF延长线上时，点E到点A的距离最大，由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，因为CDAB，即CDEF，所以∠DPE=∠PEF，即可求解．
【详解】解：∵CDAB，∠DCF=70°，
∴∠DCF=∠CFA=70°，
由折叠性质知，EF=CF，
∵CF的长度为定值，AF+EF≥AE，
∴当点E在AF延长线上时，则点E到点A的距离最大，最大值为AE=AF+EF=AF+CF，如图，
由折叠性质知，∠PEF=∠PCF=70°，
∵CDAB，即CDEF，
∴∠DPE=∠PEF=70°，
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定EF为定值．
10．已知关于x，y的二元一次方程，其取值如下表，则p的值为（ ）
A．4B．6C．15D．21
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴p＝3m﹣4n+15＝6+15＝21，
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
11．如图，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，则∠N等于（ ）
A．21.5°B．21°C．22.5°D．22°
【答案】D
【分析】由平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，只要证明得，即可求出答案．
【详解】解：如图，线段AM与AN相交于点E，
∵，
∴，
∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，
∴，，，，
∴，
∴；①
在△ACM中，有
，
∴②，
由①②，得，
∴，即；
∵，
又，
∴，
∴，
即，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地利用所学知识进行角度之间的转化．
12．平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三点，其中x≠-3．当线段AC最短时，△ABC的面积是（ ）
A．30B．15C．10D．
【答案】B
【分析】根据C点坐标可知C点在直线y=-2上，当AC⊥BC时，线段AC最短，此时可知C点坐标为(2,-2)，则可求出AC=6，BC=5，则△ABC的面积可求．
【详解】∵C点坐标(x,-2)，
∴C点在直线y=-2上，
∴B点坐标(-3,-2)，
∵B点在直线y=-2上，
根据垂线段最短可知，当AC⊥BC时，线段AC最短，
∵A点坐标(2,4)，AC⊥BC，
∴C点横坐标与A点横坐标相等，即为2，
∴C点坐标(2,-2)，
∴AC=4-(-2)=6，BC=2-(-3)=5，
∵AC⊥BC，
∴△ABC的面积为：6×5÷2=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系中坐标的特点、垂线段最短等知识，根据C点坐标判断出C点在直线y=-2上，是解答本题的关键．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，若四边形AEOD的面积记为S1，S△BEO＝S2，S△BOC＝S3，S△COD＝S4，则S1•S3与S2•S4的大小关系为（ ）
A．S1•S3＜S2•S4B．S1•S3＝S2•S4
C．S1•S3＞S2•S4D．不能确定
【答案】C
【分析】连接DE，再设S△DEF=S′1，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：则 ，则可证得：S1′S3=S2S4，即可得到：S1S3＞S2S4．
【详解】解：如图，连接DE，设S△DEF＝S′1，
则，从而有S1′S3＝S2S4．
因为S1＞S1′，所以S1S3＞S2S4．
故选：C．
【点睛】此题考查了有关三角形面积的求解．注意等高三角形的面积比等于对应底的比性质的应用．
14．下列命题：①平方根等于它本身的数有0和1；②点一定在第三象限；③不等式无解．其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用平方根的定义、点的坐标特点及不等式的解法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①平方根等于它本身的数有0，故原命题错误，不符合题意；
②点一定在第三象限，正确，符合题意；
③不等式有解，故错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根的定义、点的坐标特点及不等式的解法．
15．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】若大和尚有x人，小和尚有y人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断.
【详解】设大和尚有x人，小和尚有y人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得和3x+（100-x）=100和y+3（100-y）=100；
故②③④正确,共计3个
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
16．规定为不大于的最大整数，如，，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据新定义列出关于的不等式组，再进一步求解即可.
【详解】解：
解不等式组，得：，
解不等式组，得：，
∴的取值范围为：.
故选：B.
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键.
17．已知在内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在经过此次平移后对应点，可得△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，由此得到m的值，再解不等式组即可得到结论．
【详解】解：∵在经过此次平移后对应点，
∴△ABC的平移规律为：向左平移1个单位，向下平移5个单位，
∵点经过平移后对应点，
∴a-1=c，b-5=d，
∴a-c=1，b-d=5，
∴m=a+b-c-d=1+5=6，
∴不等式组变形为
解得，不等式组的解集为
故选：B
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化-平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．同时也考查了求不等式组的解集．
18．如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上一动点，若，，，，则长度的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出AE=2，BF=3，OC=2，最后利用三角形的面积解决问题．
【详解】解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵A（2，m），B（-3，n），C（0，-2），
∴AE=2，BF=3，OC=2；
由S△ABC=S△AOC+S△BOC，得
AB•CD=×2×2+×2×3
解得，AB×CD=10，
∵AB=10，
∴CD长度的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
19．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元B．155元C．165元D．170元
【答案】B
【分析】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，根据A盒的成本为145元，B盒的成本为200元，列出方程组，解之即可．
【详解】解：设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，
依题意得：，
②÷2得：x+2y+z=100③，
②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本为155元．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
20．若关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
∵解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x≥-5，
∴不等式组的解集是-5≤x＜，
∵关于x的不等式组有两个整数解，
∴-4＜≤-3，
解得：-8＜a≤-6，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
21．商店里甲商品每个5元，乙商品每个8元，丙商品每个1元．某顾客计划用200元购买这三种商品共127个，如果资金全部用完，则有（ ）种购买方案．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次一次方程，结合x，y，（127-x-y）均为自然数，即可得出共有2种购买方案．
【详解】解：设购进甲商品x个，乙商品y个，则购进丙商品（127-x-y）个，
依题意得：5x+8y+（127-x-y）=200，
∴x=．
又∵x，y，（127-x-y）均为自然数，
∴或，
∴共有2种购买方案．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
二、多选题
22．已知方程组，以下说法正确的是（ ）
A．无论实数取何值，不可能等于
B．当时，方程组的解也是方程的解
C．存在某一个值，使得，
D．代数式的最小值为7
【答案】ABD
【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解．
【详解】解：已知关于x、y的方程组 ，
解得： ，
A、当x=y时，即a2＋3=－2－2a2，
变形为：3a2 =－5无意义，
∴不可能等于，
故选项A正确；
B、当a= 1时，方程组的解为： ，
∴代入方程左右两边得：
左边=2×4＋（－4）=4，
右边=4×12=4，
∵左边=右边，
∴当时，方程组的解也是方程的解，
故选项B正确；
C、当，时，代入方程组中得： ，
解得： 无意义，
∴不存在某一个值，使得，，
故选项C错误；
D、 ，
∵ ，
∴的最小值为7，
故选项D正确；
故选：ABD．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的步骤是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：，
不等式组的解集为，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
24．如果关于的一元一次不等式组的解集为，则的立方根为______．
【答案】
【分析】将不等式组移项整理并用字母，表示出不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，得到对应的等式关系，即关于，的二元一次方程组，利用加减消元法、代入消元法求出，的值，最后将，的值代入所要求的代数式中求解立方根．
【详解】整理得，
解得即．
不等式组的解集为，
整理得，
解得，．
，
的立方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解的定义、解二元一次方程、立方根的计算问题．注意求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．恰当利用字母，的值表示不等式组的解集，根据已知解集得到对应的等量关系并进行求值是解本题的关键．
25．在平面直角坐标系中，，，，，，，…，按此规律排列，则点的坐标是______．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2022的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴移动4次图象完成一个循环，且A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0），
∵2022÷4=505……2，
∴A2022的坐标是（505×2+1，1），即A2022的坐标是（1011，1）．
故答案为：（1011，1）
【点睛】本题考查了点的坐标规律，仔细观察图形，得到点的坐标变化规律是解题的关键．
26．在平面直角坐标系中取任意两点，，定义新运算“*”，得到新的点C的坐标为，即，若点在第一象限，点在第四象限，根据上述规则计算得到的点的坐标在第______象限．
【答案】二
【分析】根据每一象限内点的坐标特点可得x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，然后求出x1y2＜0，x2y1＞0即可进行解答．
【详解】解：∵点A（x1，y1）在第一象限，点B（x2，y2）在第四象限，
∴x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，
∴x1y2＜0，x2y1＞0，
∴点C的坐标（x1y2，x2y1）位于第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．
27．在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有______（直接写序号即可）．
①；②若，则；③若，则；④若，则．
【答案】①②④
【分析】利用同角的余角相等可判断①，证明∠AHE+∠CAB=180°，可判断②，利用三角形 的外角的性质求解∠EHA=90°， 可得∠EAB=30°，从而可判断③，证明 ∠CGA=∠EAD，可判断④，从而可得答案．
【详解】解：根据题意可知：∠CAB=∠EAD=90°，∠D=30°，∠E=60°，∠C=∠B=45°，
①∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
∴∠BAD=∠CAE，故①符合题意；
②∵∠BAE=30°，∠E=60°，
∴∠AHE=90°，
∴∠AHE+∠CAB=180°，
∴，故②符合题意；
③∵∠BFD=∠C，∠B=∠C=45°，
∴∠BFD=∠B=45°，
∴∠EHA=90°，
∵∠E=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠BAD=60°，故③不符合题意；
④∵∠BAE=45°，
∴∠CAE=45°，
∵∠C=45°，
∴∠CGA=90°，
∴∠CGA=∠EAD，
∴，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
28．三个连续的正整数的和小于111，这样的正整数有_______组，若符合要求的最大那组数中最大的数为a，则的平方根是______．
【答案】
【分析】设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），由题意：三个连续正整数的和小于111，列出不等式，解得：x＜37，进而可得出答案．
【详解】解：设三个连续正整数分别为x﹣1，x，x+1（x≥2），
由题意得：x﹣1+x+x+1＜111，
解得：x＜37，
∴x可以取2，3，4，…，36，共35个，
∴这样的正整数有35组；
其中最大的那组数为35，36，37，
∴a＝37，
∴a﹣1的平方根，即是36的平方根为±6，
故答案为：35，±6．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，涉及平方根的概念，解题的关键是读懂题意，列出不等式，求出符合条件的三个连续正整数．
29．在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…，则第2022次移动至点的坐标是__________．
【答案】（1011，1）
【分析】根据图象可得移动4次完成一个循环，再观察角码除以4余2的点： A2（1，1），A6（3，1），…， 从而可得出点A2022的坐标．
【详解】解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…，
而2022÷4=505•••2，
观察角码除以4余2的点： A2（1，1），A6（3，1），…，
所以A2022的坐标为（，1），
则A2022的坐标是（1011，1）．
故答案为：（1011，1）．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
30．横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，一列有规律的整点，其坐标依次为，根据这个规律，第2022个整点的坐标为_____________．
【答案】（45，3）
【分析】观察图中点的坐标可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，故可得当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），然后按照规律求解即可．
【详解】解：观察图中点的坐标得：以最外边的长方形边长上点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横标的平方，
如：第12个点的坐标为（1，0），
第22个点的坐标为（1，22），
第32个点的坐标为（3，0），
第42个点的坐标为（1，42），
第52个点的坐标为（5，0），
第62个点的坐标为（1，62），
当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），
当n为偶数时，第n2个点的坐标为（1，n2），
∵452=2025，45为奇数，
∴第2025个点的坐标为（45，0），
∴退3个点，得到第2022个点是（45，3）．
故答案为：（45，3）
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，根据图形得出点的个数与横坐标之间存在的平方关系是解答此题的关键．
31．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据和谐点的定义及点A1的坐标为（1，3），顺次求出几个和谐点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】解：观察，发现规律：A1（1，3），A2（2，−2），A3（−3，−3），A4（−4，2），A5（1，3），…，
根据上面规律可知，每4个点循环一次，
∵2022＝505×4＋2，
∴点A2022的坐标为（2，−2）．
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题主要考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
32．若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是__________．
【答案】2＜a≤3
【分析】先用含a的代数式表示出不等式组的解集，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得实数a的取值范围．
【详解】解：，
解①得，x>，
解②得，x
∴整数解只能是0，1，2，
∴2＜a≤3．
故答案为2＜a≤3．
【点睛】此题考查的是解一元一次不等式式组，解集的确定应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
33．在平面直角坐标系xOy中有点P（2，0），点M（3-2m，1），点N（m-3，1），且M在N的左侧，连接MP、NP、MN，若△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，则m的取值范围为______．
【答案】≤m＜
【分析】根据题意列出关于m的不等式，解之确定m的范围．
【详解】解：∵点P是一个整数点，除此以外，所有的整数点都位于MN上，
又∵△MNP区域（含边界）横坐标和纵坐标都为整数的点有且只有4个，
∴MN线段上有4-1=3（个）整数点，
∵m-3-（3-2m）=m-6，
∴2≤m-6＜3，
解得：≤m＜．
故答案为：≤m＜．
【点睛】此题主要考查坐标与图形，在平面直角坐标系中描出点所在的位置，根据要求找出符合条件的点的坐标是解题的关键．
34．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
【答案】
【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值．
【详解】解：∵，，
∴ABx轴，AB=6，
设的AB边的高为h，
∵S△ABC==6，即=6
∴h=2，
则点C到AB的距离=2，
∵点C为点A，B的“k倍和点”，
当点C在AB上方时，则yC=1，
∴1=k(-1-1)，
解得：k=-；
∵k>0，
∴k=-不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则yC=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k=；
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，图形与坐标，三角形面积，理解新定义，根据三角形积求出点C纵坐标是解题的关键．
35．若关于x的不等式组仅有四个整数解，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】可先用a表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于a的不等组，可求得a的取值范围．
【详解】，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为1，2，3，4，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．
36．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，a＋2b＝3，c＝3a－b，且b>0，则c的取值范围是________．
【答案】
【分析】由二元一次方程组可得，则有，然后根据a＋2b＝3，c＝3a－b可得，进而问题可求解．
【详解】解：解二元一次方程组得：，
∵方程组的解为非负数，
∴，解得：，
由a＋2b＝3，c＝3a－b可得：，
∵b>0，
∴，解得：，
∴，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式（组）的解法是解题的关键．
37．若x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，则关于x的不等式c2x-3a＞10x+2b的解集是______________．
【答案】x＜-5
【分析】根据x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，且3a-2b=2c2+2c-10，求得，代入不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵x=3，y=b；x=a，y=都是关于x，y的方程3x-2y=c的解，
∴
①+②得：
3a-2b=2c2+2c-10，
②-①得：
即
c2x-3a＞10x+2b
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，求得是解题的关键．
38．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
【答案】875
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．
【详解】解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a30＝302−30＋5＝875．
故答案是：875．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．
39．已知点位于第二象限，并且，，均为整数，则满足条件的点的个数有_________个．
【答案】110
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据解不等式，即可得出答案．
【详解】解：由点在第二象限，得，，
又因为，
，
解得：，
，
，
，均为整数，
；
当时，，则取不到整数，有0种情况；
当时，，则，有2种情况；
当时，，则，有4种情况；
当时，，则，有6种情况；
当时，，则，有8种情况；
当时，，则，有10种情况；
当时，，则，有12种情况；
当时，，则，有14种情况；
当时，，则，有16种情况；
当时，，则，有18种情况；
当时，，则，有20种情况；
故共有：，
则满足条件的点的个数有110，
故答案为：110．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，解题的关键是熟练掌握不等式的解法．
40．若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，解之即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式得：，
不等式组最大整数解比最小整数解大3，
最小整数为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
41．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴
解得：a=1，b=3，
解得，
，解得，
∵关于m的不等式组恰好有3个整数解，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
42．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】求出直线的解析式，再根据求出点的坐标为，然后过作轴，交直线于点，确定，再分两步：点在直线的下方；点不在第三象限，分别确定的取值范围，然后确定公共部分即可。
【详解】解：设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
解得：，
∴，
过作轴，交直线于点，
当时，，
∴，
∵点在直线的下方，
∴，
解得：，
若点在第三象限，则，解得：，
∴当时，点不在第三象限，
综上所述，。
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，点所在象限的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像及性质，数形结合是解题的关键．
43．如图，在大长方形ABCD中，放入十个相同的小长方形，则图中阴影部分面积为________cm2．
【答案】75
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，求出方程组的解确定出x与y的值，即可求出阴影部分面积．
【详解】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据图形得：，
②﹣①得：3y＝6，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：x+2＝11，
解得：x＝9，
则图中阴影部分面积为17×（11+2×2）﹣10×2×9＝255﹣180＝75（cm2）．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，弄清题意是解本题的关键．
44．如图，AB∥CD，的平分线和的平分线的反向延长交于点E，且，则_________度．
【答案】28
【分析】延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，设，利用平行线的性质及外角的性质可得①，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得②，再由①②整理得出③，结合已知条件即可求解．
【详解】
延长DC，交BG于M，设BG、EC交于点N，
设，
，
ABCD，
，
，即①，
的平分线和的平分线的反向延长交于点E，
，
，
在和中，，
，即②，
联立①②，可整理得③，
④，
联立③④，可整理得，
，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点并准确作出辅助线是解题的关键．
45．已知关于x的不等式组的整数解只有四个，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定a的范围．
【详解】解：，
解①得：x≥a，
解②得：x＜6.5 ．
∴不等式组的解集为
∵不等式组有四个整数解，
∴不等式组的整数解是：3，4，5，6．
则实数a的取值范围是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
46．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号）
【答案】①③④
【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④．
【详解】解：解方程组得，
①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确；
②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误；
③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3，
∴M随t的增大而增大，
∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确；
④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0，
∴0≤t≤1，
∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键．
47．如图，已知点的坐标是，线段从原点出发后，在第一象限内按如下有规律的方式前行：，；，；，；…；则点的坐标是______．
【答案】（3034，1013）
【分析】先得出A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3）的坐标，观察可得A的纵坐标的规律，然后确定A的横坐标与下标之间的关系即可求解．
【详解】解：A1（1，2），A2（3，1），A3（4，3），A4（6，2），A5（7，4），A6（9，3），…，
可得：
A1横坐标为：×3−2=1，纵坐标为：+1=2；
A3横坐标为：×3−2=4，纵坐标为：+1=3；
A5横坐标为：×3−2=7，纵坐标为：+1=4，…；
∴下标为奇数时，横坐标依次为：1，4，7，…，纵坐标为：2，3，4，…；
∴A2023横坐标为：×3−2=3034，纵坐标为：+1=1013…；
∴A2023的坐标为：（3034，1013），
故答案为：（3034，1013）．
【点睛】本题考查了点的坐标，理解A的纵坐标与下标之间的关系是关键．
48．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C，D的落点分别是，，交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点，的落点分别是，，交EF于H．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】设∠GEF=x，由折叠的性质分别求出各个角的度数，即可求解．
【详解】解：设∠GEF=x，
由折叠可知，∠GEF=∠DEF=x，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=x，
∴∠GEF=∠GFE，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC=180°-x，
由折叠可知，∠EFC=∠EFC'=180°-x，
∴∠GFC'180°-2x，
由折叠可知，∠GFC'=∠GFC''=180°-2x，
∴∠EFC''=180°-3x，
∵∠AEG-∠FEG=180°-2x-x=180°-3x，
∴∠AEG-∠FEG=∠EFC''，故②错误，③正确；
∵FC'∥ED'，
∴∠FGD'=180°-（180°-2x）=2x，
∵由折叠可知，∠D''GF=∠D'GF=2x，
∴∠EHG=∠D''GF+∠EFG=3x，
∴∠EHG=3∠EFB，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
49．问题背景：小明学习不等式的有关知识发现，对于任意两个实数和比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则；这个规律，反过来也成立．
问题解决：已知，，若，且，试比较大小：A______B（填“＝”或“＞”或“＜”或“≥”或“≤”）．
【答案】≥
【分析】先求出x，y的取值范围，再判断与0的关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
故答案为：≥．
【点睛】本题考查不等式的性质及整式的加减，解题的关键是确定x，y的取值范围．
50．已知关于的不等式组，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组有解；
③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；
④若它无解，则．
其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④．
【分析】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围．
【详解】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为．
①它的解集是，
，
解得，故结论正确；
②，
，
故不等式组无解，故结论不正确；
③它的整数解仅有3个，
，
解得．
则的取值范围是，故结论正确；
④它无解，
，
解得，故结论正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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