人教版七年级数学下册常考提分精练专题03由垂直求角(原卷版+解析)

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专题03 由垂直求角【例题讲解】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．解（1）解：∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∵∠AOF=50°，∴∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=70°；（2）解：∠BOD：∠BOE=1：4，设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【综合解答】1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°，求∠AOC的度数；(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3，求∠BOC的度数．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．4．如图，直线与相交于点，平分，平分，．(1)求证：；(2)若，求的度数．5．如图，AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE．(1)求∠BOE的度数；(2)求∠EOC的度数．6．如图，OA⊥OB,∠BOC=50°，且∠AOD：∠COD=4:7，OE为∠BOC的平分线，求出∠DOE的度数．7．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求证：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=20°，求∠BOE和∠AOG的度数.10．如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF．(1)直接写出∠DOF的对顶角和邻补角；(2)若∠AOE＝30°，求∠BOD的度数．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数．12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°．求∠BOD的度数．13．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．14．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．17．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．专题03 由垂直求角【例题讲解】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．(1)若∠AOF＝50°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．解（1）解：∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∵∠AOF=50°，∴∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=70°；（2）解：∠BOD：∠BOE=1：4，设∠BOD=∠AOC=x，∠BOE=∠COE=4x．∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴∠AOC+∠BOC=180°，即x+4x+4x=180°，解得x=20°．∵∠AOC与∠AOF互为余角，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-20°=70°．【综合解答】1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系，并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】(1)OF⊥OD，理由见解析；(2)∠EOF＝60°【分析】（1）利用角平分线的定义结合已知求出∠FOD＝90°即可得出答案；（2）求出∠AOC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，进而得出∠EOF的度数．（1）解：OF⊥OD，理由：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠FOE，∵∠DOE＝∠BOD，∴∠AOF＋∠BOD＝∠FOE＋∠DOE＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°，∴OF与OD的位置关系是OF⊥OD；（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∴∠AOC＝×180°＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝∠EOD＝30°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝∠AOE＝60°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关键．2．如图，AB交CD于O，OE⊥AB．(1)若∠EOD＝30°，求∠AOC的度数；(2)若∠EOD：∠EOC＝1：3，求∠BOC的度数．【答案】(1)60°(2)135°【分析】(1) 利用垂直定义和对顶角的性质可得答案；(2) 设∠EOD=a，∠EOC=3a，利用邻补角互补可得方程，然后解出a的值，进而可得∠AOD的度数，再利用对顶角的性质可得答案．（1）解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠AOC＋∠AOE＋∠DOE＝180°，∠EOD＝30°，∴∠AOC＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－90°－30°＝60°（2）设∠EOD＝α，∵∠EOD：∠EOC＝1：3，∴∠EOC＝3α，∵∠EOD＋∠EOC＝180°，∴α＋3α＝180°，∴∠EOD＝α＝45°，∴∠AOD＝∠AOE＋∠DOE＝135°∵∠AOD与∠BOC为对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝135°【点睛】此题主要考查了垂线，以及对顶角，关键是掌握对顶角相等，理清图中角之间的关系．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．(1)若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；(2)若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．【答案】(1)70°(2)50°【分析】（1）根据∠EOF＝55°，OD⊥OF，可知∠DOE＝35°，由于OE平分∠BOD，可知∠BOE＝35°，即可得出答案；（2）设∠DOE＝∠BOE＝x，可知x+15°+x+15°+x＝180°，解得：x＝50°．（1）解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，∴∠DOE＝35°，∴∠BOE＝35°，∴∠AOC＝70°；（2）∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF，∵∠BOF＝15°，∴设∠DOE＝∠BOE＝x，则∠COF＝x+15°，∴x+15°+x+15°+x＝180°，解得：x＝50°，故∠DOE的度数为：50°．【点睛】本题主要考查的是角度的基础运算，利用角平分线以及垂直的性质进行计算是解题的关键．4．如图，直线与相交于点，平分，平分，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)111°【分析】利用角平分线的性质证明，从而证明 ，再由，通过两角互余及等量代换可证明；利用对顶角相等和角平分线的性质可证明，再利用、即可求出．（1）∵平分，平分，，， ，，，；（2），， ．【点睛】本题考查的是角平分线、余角、对顶角等知识，解题的关键是熟练通过两角互余、对顶角、角平分线的性质等相应关系进行角的代换解决问题．5．如图，AB、CD相交于点O，OE⊥OF，∠BOF=2∠BOE，OC平分∠AOE．(1)求∠BOE的度数；(2)求∠EOC的度数．【答案】(1)30°(2)75°【分析】（1）根据OE⊥OF得到∠EOF＝90°，根据∠BOF＝2∠BOE得到3∠BOE＝90°，故可求解；（2）先求出∠AOE，再根据OC平分∠AOE即可求解．(1)∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∵∠BOF＝2∠BOE，∴3∠BOE＝90°，∴∠BOE＝30°，(2)∵∠BOE＝30°∴∠AOE＝180°−∠BOE＝150°，又∵OC平分∠AOE，∴∠EOC＝∠AOE＝75°．【点睛】本题利用垂直的定义，角平分线的定义以及角度的计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．6．如图，OA⊥OB,∠BOC=50°，且∠AOD：∠COD=4:7，OE为∠BOC的平分线，求出∠DOE的度数．【答案】165°【分析】设∠AOD=4x，∠COD=7x，根据题意列出方程即可求得∠COD=140°，然后根据角平分线的定义计算∠COE的度数，最后结合图形计算∠DOE的度数．【详解】解： ∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∵∠AOD：∠COD=4：7，∴设∠AOD=4x，∠COD=7x，∵∠AOB+∠AOD+∠COD+∠BOC=360°，且∠BOC=50°，∴90°+7x+4x+50°=360°，∴x=20°，∴∠COD=140°．∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠COE=∠BOC=25°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=165°．∴∠DOE的度数为165°．【点睛】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，根据题意列出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．7．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，求∠AOC与∠EOD的度数．【答案】∠AOC＝115°，∠EOD＝25°【分析】由OF⊥CD，得∠DOF =90°，根据条件可求出∠BOD的度数，即可得到∠AOC的度数；由OE⊥AB，得∠BOE =90°，可以推出∠EOF和∠EOD的度数．【详解】解：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，又∵∠BOF＝25°，∴∠BOD＝∠DOF+∠BOF=90°+25°＝115°，∴∠AOC＝∠BOD＝115°，又∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠BOF＝25°，∴∠EOF＝∠BOE -∠BOF =65°，∴∠EOD＝∠DOF﹣∠EOF＝90°－65°=25°．【点睛】此题考查的知识点是垂线、角的计算及对顶角知识，关键是根据垂线的定义得出所求角与已知角的关系．8．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OG⊥OC．（1）求证：∠COF＝∠EOG；（2）若∠BOD＝32°，求∠EOG的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠EOG=16°．【分析】（1）根据余角的性质即可求解；（2）根据对顶角的定义，角平分线的定义，以及（1）的结论即可求解．【详解】（1）证明：∵OF⊥OE，OG⊥OC，∴∠FOE=∠COF+∠COE=90°，∠COG=∠EOG+∠COE=90°，∴∠COF=∠EOG；（2）解：∵∠BOD=32°，∴∠BOC=180°-32°=148°，∵OG⊥OC，OE平分∠BOC，∴∠BOG=90°-∠BOD=90°-32°=58°，∠BOE=∠COE=∠BOC=74°，∴∠EOG=∠BOE-∠BOG=16°．【点睛】本题考查了垂线，余角，对顶角，角平分线，解题的关键是掌握垂直的定义，余角和对顶角的性质和角平分线的定义等知识．9．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=20°，求∠BOE和∠AOG的度数.【答案】∠BOE=70°；∠AOG=55°.【分析】先求出∠AOF，根据对顶角的性质得出∠BOE，再根据邻补角的性质求出∠AOE，由角平分线即可求出∠AOG．【详解】解：∵AB⊥CD，∴∠AOD=∠AOC=90°，∵∠FOD=20°，∴∠AOF=90°-20°=70°，∴∠BOE=70°；∴∠AOE=180°-70°=110°，∵OG平分∠AOE，∴∠AOG=110°÷2=55°.【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的定义，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键.10．如图，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC平分∠AOF．(1)直接写出∠DOF的对顶角和邻补角；(2)若∠AOE＝30°，求∠BOD的度数．【答案】(1)对顶角有∠COE；邻补角有∠DOE，∠COF；(2)15°【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义，即可求解；（2）根据领补角的定义可得∠AOF=150°，从而得到∠DOE=75°，再由OA⊥OB，可得∠BOE=60°，即可求解．（1）解：根据题意得：∠DOF的对顶角有∠COE；邻补角有∠DOE，∠COF；（2）解：∵∠AOE＝30°，∴∠AOF=180°-∠AOE=150°，∴∠AOC=∠COF=75°，∴∠DOE=75°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠BOE=90°-∠AOE=60°，∴∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°．【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的性质，角的和与差，明确题意，准确找到角与角间的关系是解题的关键．11．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1=∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=∠BOC，求∠BOD的度数．【答案】（1）ON⊥CD．（2）60°．【分析】（1）利用垂直的定义得出，进而得出答案；（2）根据题意得出的度数，即可得出的度数.【详解】（1）ON⊥CD．理由如下：∵OM⊥AB，∴，∴∠1+∠AOC=90°，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，∴ON⊥CD．（2）∵∠1=∠BOC，∴，解得：，∴．【点睛】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键.12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝35°．求∠BOD的度数．【答案】55°【分析】先根据垂线的定义求出∠AOE=90°，则∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，再根据对顶角相等即可得到∠BOD=∠AOC=55°．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠EOC=35°，∴∠AOC=∠AOE-∠EOC=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何中角度的计算，对顶角相等，熟知垂线的定义和对顶角相等是解题的关键．13．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1＝4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°(2)，理由见解析【分析】（1）设∠1=x°，则∠2=4x°，求出，，根据∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．（2）根据（1）的结论得出，即可求解．（1）解：设∠1=x°，则∠2=4x°，∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∴，∵∠BOC+∠BOD=180°，∴8x+2x=180，∴x=18，∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．（2）由（1）可得∠1=18°，∠2=72°，∴,∴．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．14．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．【答案】见解析【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.【详解】解；如图所示：连接AB，是两点之间线段最短；作BC垂直于河岸，是垂线段最短．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥CD于点O．（1）若∠BOF＝68°30′，求∠AOE的度数；（2）若∠AOD：∠AOE＝1：4，求∠BOF的度数．【答案】（1）79°15′；（2）70°【分析】（1）由OF⊥CD可得∠DOF=90°，则∠BOD=158°30′，由对顶角相等，可得∠AOC的度数，再根据角平分线的性质可的∠AOE的度数；（2）设∠AOD=α，则∠AOE=4α，∠AOC=8α，由平角的定义可得等式α+8α=180°，求出α的值，再求出∠BOF的度数即可．【详解】解：（1）∵OF⊥CD，∴∠DOF=90°，∵∠BOF=68°30′，∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=158°30′，∴∠AOC=∠BOD=158°30′，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠AOC=×158°30′=79°15′；（2）∵∠AOD：∠AOE=1：4，设∠AOD=α，∴∠AOE=4α，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOE=8α，∴α+8α=180°，∴α=20°，∴∠AOD=20°，∴∠BOC=∠AOD=20°，∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，∴∠BOF=90°-∠BOC=70°．【点睛】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．16．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若∠1＝∠2，求∠NOC的度数；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数．【答案】（1）∠NOC＝90°；（2）∠AOC＝60°．【分析】（1）根据垂直的定义计算即可；（2）根据互余的性质和已知等量关系求解即可；【详解】（1）∵OM⊥AB于点O，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∵∠1+∠AOC＝90°，∵∠2＝∠1，∴∠2+∠AOC＝90°，∴∠NOC＝90°；（2）∵OM⊥AB于点O，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∵∠BOC＝4∠1，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝90°，∴∠1＝30°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．【点睛】本题主要考查了与垂直有关的角度求解，准确计算是解题的关键．17．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】见解析.【详解】试题分析：（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．（1）如图，EF即为所求．(2) 如图，PD即为所求．考点：作图—基本作图．