人教版九年级数学上册举一反三专题22.6二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练(30道)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册举一反三专题22.6二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练(30道)(原卷版+解析)，共52页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
一．选择题（共15小题）
1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（12，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
2．（2022•恩施市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
3．（2022春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=−12时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜203，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
4．（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a=66．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
7．（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1=−13，x2=12；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
8．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤−23；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2022•济南二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ=66，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
11．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（−12，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜−12＜52＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥22−4．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①a−bc＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a=−14；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
15．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共15小题）
16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）．
17．（2022秋•金牛区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有 ．
18．（2022•宜宾）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a=12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ．
19．（2022•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ．
20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
21．（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是
22．（2022秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 （填序号即可）．
23．（2022秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 （只填写序号）．
24．（2022•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m＜x1，则y1＜y2；③若m＝2，y1＝y2，则x1+x2＝4；④对于x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m＜4．则结论正确的为 ．（填序号）
25．（2022秋•八步区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 个．
26．（2022•桂平市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=−273或−2153．其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
27．（2022•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正确的有 （填写正确的序号）
28．（2022•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ．
29．（2022•越秀区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，则b=−273或−2153．
其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
30．（2022•硚口区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列四个结论中一定正确的是 ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序号即可）x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
专题22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！
一．选择题（共15小题）
1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（12，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（12，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x=12时，y＝0，
即14a+12b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（12，0），
所以与x轴的另一个交点为（−52，0），
当x=−52时，254a−52b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x=12时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：−b2a=−1，
∴b＝2a，a=12b，
12b+2b+4c＝0，
∴b=−85c．
∴3b+2c=−245c+2c=−145c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a=12b，
∴c＜−32b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
2．（2022•恩施市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，即可求解；
②x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，由韦达定理得：其两个根的和为﹣4，即可求解．
【解答】解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；
②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，用韦达定理得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故正确．
故选：D．
3．（2022春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=−12时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜203，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断．
【解答】解：①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x=0+12=12，c＝﹣2，
∵当x=−12时，与其对应的函数值y＞0，
∴a＞0，b＜0，
∴函数图象的顶点在第四象限内；
①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x=12的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，
∴②正确；
③∵对称轴为直线x=12，∴−b2a=12，∴b＝﹣a，
∵当x=−12时，与其对应的函数值y＞0，
∴14a−12b﹣2＞0，即14a+12a﹣2＞0，∴a＞83．
∵对称轴为直线x=12，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞83．
∴4a﹣4＞203，
∴③错误．
故选：B．
4．（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【分析】先由抛物线解析式得到a＝﹣1＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝﹣2a＜0，易得c＜0，于是可对①进行判断；由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得b的范围，从而可判断②是否正确；由a＝﹣1及顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上，可得抛物线与x轴两交点之间的距离AB为定值，故可取b＝2进行计算，即可求得AB的长度及S△ABD的大小．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＝﹣1＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴﹣c＞0，则c＜0，
∴bc＜0，故①正确；
由顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上可得：
4×(−1)×(−c)−b24×(−1)=4
∴b2＝4c+16
∵0＜﹣c＜4
∴﹣16＜4c＜0
∴0＜4c+16＜16
∴0＜b2＜16
∴0＜b＜4
∴②正确；
∵a＝﹣1，
∴该抛物线的开口方向及大小是一定的
又∵顶点D在y轴右侧的直线l：y＝4上
∴该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值，
故可令b＝2
则c＝﹣3
此时抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3
由﹣x2+2x+3＝0
得x1＝﹣1，x2＝3
故AB＝4
∴③正确；
S△ABD＝4×4÷2＝8
故④正确；
综上，故选：D．
5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a=66．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；
②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；
③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；
④正确，判断出k＞0，可得结论；
⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴−b2a=2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴MHMK=CHAK，
∴2−9a=−4a3，
∴a2=16，
∵a＞0，
∴a=66，故⑤正确，
故选：D．
6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣4a，则4a+2b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝2时，二次函数有最大值，则am2+bm+c≤4a+2b+c，即，m（am+b）≤4a+2b，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x＝5时，一次函数值比二次函数值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，然后把b＝﹣4代入解a的不等式，则可对④进行判断；
【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，
即当x＝﹣1时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正确；
∵对称轴为x＝2，
∴x＝2时的函数值大于或等于x＝m时函数值，即，当x＝2时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正确；
∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，
∴x＝5时，一次函数值比二次函数值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
7．（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x=−12，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1=−13，x2=12；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①．由对称轴为直线x=−12可得a＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0可判断②．由图象对称轴及开口方向③．由抛物线经过（﹣3，0）可得抛物线经过（2，0），进而可得−b−b2−4ac2a=−3，−b+b2−4ac2a=2，因为cx2+bx+a＝0的根为x=−b+b2−4ac2c和x=−b−b2−4ac2c，将a与c的关系代入求解可判断④．将a（x+3）（x﹣2）+3＝0转化为抛物线与直线y＝﹣3的交点可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−12，
∴b＝a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正确，符合题意．
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，②正确，符合题意．
由图象可得x＜−12时，y随x增大而增大，
∴③错误，不符合题意．
由cx2+bx+a＝0可得方程的解为x=−b+b2−4ac2c和x=−b−b2−4ac2c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣3，0），对称轴为直线x=−12，
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴x＝﹣3和x＝2是方程ax2+bx+c＝0的根，
∴−b−b2−4ac2a=−3，−b+b2−4ac2a=2，
∵6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴−b+b2−4ac2c=−13，−b−b2−4ac2c=12，④正确，符合题意．
∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
将a（x+3）（x﹣2）+3＝0化为a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由图象得抛物线与直线y＝﹣3交点在x轴下方，
∴m＜﹣3且n＞2，⑤正确，符合题意．
故选：C．
8．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣1≤a≤−23；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范围，进而对所得结论进行推断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）
∴−b2a=1，4ac−b24a=n
∴2a+b＝0
故①正确．
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）
∴a﹣b+c＝0
∴c＝b﹣a
由①知：2a+b＝0，即b＝﹣2a
∴c＝﹣2a﹣a＝﹣3a
又∵抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，2），（0，3）之间（含端点）
∴2≤c≤3
∴2≤﹣3a≤3
∴−1≤a≤−23
故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向下
∴a＜0
又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）
令g＝am2+bm﹣a﹣b
∴关于m的二次函数g＝am2+bm﹣a﹣b开口向下
若对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立
故需判断Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）与0的数量关系
由以上分析知：b＝﹣2a
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0
故③正确．
由以上分析知：a＜0，b=−2a，c=−3a，n=4ac−b24a
∴n=4a⋅(−3a)−(−2a)24a=−4a
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不相等的实数根
故④正确
故选：D．
9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（12，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵12＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a(x+32)2−94a，
∵a＜0，
∴当x=−32时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
10．（2022•济南二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ=66，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利用PQ=66，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，
则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，
即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ=2HQ．
∴y=ax2+bx+cy=x．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
∴m+n=1−ba，mn=ca．
∴HQ＝|m﹣n|=(m−n)2=(m+n)2−4mn=(1−ba)2−4ca．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴4a−2b+c=0−b2a=1．
∴b=−2ac=−8a．
∴HQ=(1+2aa)2+32．
∵PQ=66，
∴2•(1+2aa)2+32=66．
解得：a＝﹣1或−13．
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
11．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（−12，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜−12＜52＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥22−4．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（−12，0），
∴x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（52，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+12）（x−52），
令a（x+12）（x−52）=14，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y=14，
由图形可知，x1＜−12＜52＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为32，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于32时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4ac−b24a≤−32，
∵y＝a（x+12）（x−52）＝ax2﹣2ax−54a，
∴c=−54a，b＝﹣2a，
∴4a⋅(−54)a−(−2a)24a≤−32，
解得：a≥23，故⑤错误；
故选：B．
12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①a−bc＜0；②4ac+2b＝﹣1；③a=−14；④当b＞1时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（﹣2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2=ca=（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a=−14，即可判断③正确；根据a=−14，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y=−14x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ=12AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜b2+2b+1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判断④正确．
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴a−bc＜0．故①正确；
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正确；
③∵抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝﹣2和x2＝2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2=ca=（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
∴a=−14．故③正确；
④∵a=−14，2b+4ac＝﹣1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y=−14x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，Q是AB中点，
∴PQ=12AB=12[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1或b＜﹣1，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
13．（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；
②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即−b2a=−1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b=−12m，由对称轴可得b＝2a，∴a=−14m，由a+b+c＝0可得c=34m，再计算b+c的值，可判断④错误．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b=−12m，
∵b＝2a，
∴a=−14m，
∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c=34m，
∴b+c=−12m+34m=14m，
故选：B．
15．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答】解：①∵对称轴为直线x=−b2a=1，
则：2a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线y1=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，
则ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，
即y1＝y2，
∴x1、x2关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x=−b2a=1，
故12（x1+x2）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
二．填空题（共15小题）
16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④13＜a＜23；⑤b＞c．其中正确结论有 ①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；利用4ac−b24a＜−1，可判断③；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：4ac−b24a＜−1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴23＞a＞13；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
17．（2022秋•金牛区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有 ①③④ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵−b2a＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x=−b2a=1，
即a=−b2，代入得9（−b2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
18．（2022•宜宾）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a=12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ①④ ．
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x=−b2a=1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而−b2a＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a=12，c=−32；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=−7，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a=73；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c=−15
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a=153；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
19．（2022•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积=12AB•yC=12×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则12（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；
故答案为：①④．
20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中一定正确的是 ①②④ （填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故②正确，符合题意；
③抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，③错误，不符合题意；
④当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
故（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
21．（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 3个
【分析】利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1．
∴b＝2a．
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0．
∴①的结论错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0．
∴②的结论正确；
由抛物线可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b2a=−1．
∴b＝2a．
∴a﹣2a+c＜0．
∴c﹣a＜0．
∴③的结论错误；
∵x＝0时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣2时，y＝c．
∵﹣n2﹣2≤﹣2，
∴由抛物线的对称性可知：当x＝﹣n2﹣2时，y≥c．
∴④的结论正确；
∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．
设直线y＝1与抛物线交于点M，N，如图，
分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，
即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n，
由图象可得：m＜x1，n＞x2；
∴⑤的结论正确．
综上，正确结论的个数是3个．
故答案为：3个．
22．（2022秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 ①②③ （填序号即可）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0是正确的；
②图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
可得与x轴的另一个交点（3，0），
当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，正确；
③将图象向下平移一个单位，
得到y＝a（x+1）（x﹣3）﹣1与x轴两个交点m、n，m＜n，
则﹣1＜m＜n＜3，∴正确；
④∵|ax2+bx+c|＝b，
∴ax2+bx+c＝±b，
当ax2+bx+c﹣b＝0时，x1+x2=−ba=2，
当ax2+bx+c+b＝0时，x1+x2=−ba=2，
∴这四个根的和为4，∴错误；
故正确的是①②③．
23．（2022秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ①②③④⑤ （只填写序号）．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x=−b2a=−1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
24．（2022•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m＜x1，则y1＜y2；③若m＝2，y1＝y2，则x1+x2＝4；④对于x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m＜4．则结论正确的为 ①②③ ．（填序号）
【分析】根据二次函数图象的性质逐个求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．
∵过C（c，0），
∴0＝ac2+bc+c
∵c≠0
∴＝c（ac+b+1），
∴ac+b+1＝0，m＜x1，故①正确；
∵m＜x1，x1＜x2，
∴A、B两点，在对称轴右侧，
∵a＞0，开口向上，
∵在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故②正确；
当m＝2，则对称轴x=−b2a=2，
∴b＝﹣4a，
∵y1＝y2，
∴ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，
∴a(x12−x22)=b(x2−x1)
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣4a（x2﹣x1），
∴x1+x2＝4，故③正确；
若点m≤4，则y1＜y2，
∴−b2a＜4，
∴b＞﹣8a，
ax12+bx1+c＜ax22+bx2+c，
a(x12−x22)＜b(x2−x1)，
a（x1+x2）＜﹣b＜8a，
a（x1+x2）＜8a，
x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m≤4．
故④错误；
故答案为：①②③．
25．（2022秋•八步区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 4 个．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；
抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，因此有2a+b＝0，故④正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故答案为：4．
26．（2022•桂平市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=−273或−2153．其中正确的有 ①③④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（52，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，52−（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
3a+c＝0，
c＝﹣3a，故③正确；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=15，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=−2153；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=7，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=−273；
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
27．（2022•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y最大值=43c；⑤a+4b＝3c中正确的有 ①③④ （填写正确的序号）
【分析】①由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x＝1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得出ax2+bx+c＝0的两个解为﹣1，3，判断选项①；
②由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于0，进而得到abc小于0，判断选项②；
③根据对称轴x＝1和过（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判断选项③；
④将a=−13c，b＝﹣2a代入顶点坐标的纵坐标y=4ac−b24a中，判断选项④；
⑤将a=−13c，b＝﹣2a代入a+4b中计算，判断选项⑤．
【解答】解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1=−b2a，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a=−13c，
∴y最大值=4ac−b24a=c−b24a=c−4a24a=c﹣（−13c）=4c3，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(−13c)=7c3，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
28．（2022•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ①② ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，a，b异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵−b2a＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：4ac−b24a＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
则a＜−b−23．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
29．（2022•越秀区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC是等腰三角形，则b=−273或−2153．
其中正确的有 ②④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①错误，不符合题意；
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（52，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，52−（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（52，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②正确，符合题意；
③∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
故③错误，不符合题意；
④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵BO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=15，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=−2153；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝3，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c=7，
与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b=−273；
同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝9+c2，
在△BOC中，BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b值满足条件．
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是②④．
故答案是：②④．
30．（2022•硚口区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列四个结论中一定正确的是 ①②③ ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序号即可）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断b与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，
该抛物线的对称轴为x=−b2a，由于0＞−2+x02，即0＜ba＜1，
a＞0，所以b＞0；故①正确；
②当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故②正确；
③∵把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a﹣2b+c＝0，
∴即2b＝4a+c＞0（因为b＞0），
∵当x＝1时，a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∴6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
故③正确；
④由x=−13时，19a−13b+c＜0得a﹣3b＜﹣9c，而﹣2＜c＜0，
∴a﹣3b＜0，或a﹣3b＜18．
∴无法判断a与3b的大小，
故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…