北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项17锐角三角函数实际应用-背靠背模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项17锐角三角函数实际应用-背靠背模型(原卷版+解析)，共22页。

特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高
1．（2022•二道区校级开学）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．8.10cmB．11.22cmC．9.18cmD．16.02cm
2．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）mB．8（3+）mC．6（3﹣）mD．6（3+）m
3．（2022•毕节市）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
4．（2022•抚顺县模拟）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MW方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为（ ）米．（结果保留根号）．
A．200B．300C．100+100D．100+
5．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
6．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．4cmC．D．
7．（2022•永嘉县模拟）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（ ）
A．（32sinα+32sinβ）米B．（32tanα+32tanβ）米
C．（+32tanβ）米D．（32tanα+）米
8．（2022•历下区一模）如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34B．36C．46D．56
9．（2021秋•丛台区校级期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．0.3B．0.2C．0.25D．0.35
10．（2022•巴中）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
11．（2022•齐河县模拟）如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
12．（2022•丽水二模）如图，从A点测得M村在北偏东30°方向，小明从A点沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是 米．
13．（2022•瑶海区二模）2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
14.（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
15．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）
16.（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
17．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
18．（2020•广西）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
专项17 锐角三角函数实际应用-背靠背模型
通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高
1．（2022•二道区校级开学）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．8.10cmB．11.22cmC．9.18cmD．16.02cm
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝36cm，
∴BD＝BC＝18cm．
在Rt△ABD中，
∵tan∠ABC＝，∠ABC＝27°，
∴AD＝tan∠ABC×BD
≈0.51×18
＝9.18（cm）．
故选：C．
2．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8（3﹣）mB．8（3+）mC．6（3﹣）mD．6（3+）m
【答案】A
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，
∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，
故选：A．
3．（2022•毕节市）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（ ）
A．10mB．10mC．5mD．5m
【答案】A
【解答】解：∵坡面AB的坡度为＝＝1：，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝10m．
故选：A．
4．（2022•抚顺县模拟）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MW方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为（ ）米．（结果保留根号）．
A．200B．300C．100+100D．100+
【答案】C
【解答】解：∵∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，∠B＝30°，
∵CD＝100米，
∴AD＝CD＝100米，DB＝CD＝100（米），
∴AB＝AD+DB＝（100+100）（米）．
故选：C．
5．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（ ）
A．3B．3C．6D．3
【答案】C
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
6．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．4cmC．D．
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C，
∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°，
∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP，
∴在Rt△APC中，AP＝＝＝2cm，
∴橡皮筋被拉长了：2×2﹣6＝（4﹣6）cm．
故选：C．
7．（2022•永嘉县模拟）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（ ）
A．（32sinα+32sinβ）米B．（32tanα+32tanβ）米
C．（+32tanβ）米D．（32tanα+）米
【答案】B
【解答】解：如图，根据题意可知：DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中
∵∠BDE＝α，DE＝AC＝32米，
∴BE＝DE•tanα＝32tanα（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝β，DE＝AC＝32米，
∴AE＝DE•tanβ＝32tanβ（米），
∴AB＝BE+AE＝（32tanα+32tanβ）米，
则图书馆楼高AB等于（32tanα+32tanβ）米．
故选：B．
8．（2022•历下区一模）如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．34B．36C．46D．56
【答案】B
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
则四边形ABEC是矩形，
∴AB＝EC＝20（m），AC＝EC＝30（m），
在Rt△BDE中，∠DBE＝28°，
∴DE＝BEtan28°≈30×0.53＝15.9（m），
∴CD＝DE+CE＝15.9+20≈36（m），
∴乙楼的高CD为36m，
故选：B．
9．（2021秋•丛台区校级期末）如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．0.3B．0.2C．0.25D．0.35
【答案】C
【解答】解：在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝8米，
在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°，
∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米），
∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）；
升旗时，国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米），
∵耗时46s，
∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒），
故选：C．
10．（2022•巴中）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
【答案】50
【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
在Rt△PAB中，sin37°＝≈，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
故答案为：50．
11．（2022•齐河县模拟）如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为 m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【答案】36
【解答】解：过点B作BE⊥CD于点E，如图．
∴四边形ABEC为矩形，
∴AB＝CE＝20m，AC＝BE＝30m，
在Rt△BDE中，∠DBE＝28°，
tan28°＝≈0.53，
解得DE＝15.9，
∴CD＝CE+DE＝20+15.9≈36（m）．
故答案为：36．
12．（2022•丽水二模）如图，从A点测得M村在北偏东30°方向，小明从A点沿北偏东60°方向步行800米达到C处，测得M村位于点C的北偏西75°方向，若在AC上找点N，使得MN最短，AN的长是 米．
【答案】400（）
【解答】解：如图，过点M作MN⊥AC于点N，
依据题意，可得∠MAN＝60°﹣30°＝30°，∠BCM＝75°，∠DCA＝60°，AC＝800米，
∴∠MCN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
则MN＝CN，
设MN＝x，则AN＝800﹣x，
在Rt△AMN中，
tan30°＝＝，
解得x＝400（），
∴AN＝800﹣400（）＝400（）米．
故答案为：400（）．
13．（2022•瑶海区二模）2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，
则四边形BEFC为矩形，
∴EF＝BC＝10，CF＝BE，
在Rt△BAE中，sinα＝，csα＝，
则BE＝AB•sinα≈15×0.53≈8.0，AE＝AB•csα≈15×0.85≈12.8，
则CF＝BE＝8，
∵斜坡CD的坡度i＝1：2.5，
∴DF＝2.5×8＝20，
∴AD＝12.8+10+20≈43（米），
答：路基底AD的长约为43米．
14.（2022•锦州）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
15．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cs50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
16.（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝60海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，
∴PB＝＝＝60（海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
17．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cs∠BAH＝，
∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝（海里），
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝（海里），
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．
18．（2020•广西）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？
【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，
由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，
∴BM＝AM＝AB＝20nmile，
∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，
∴BC＝＝2BM＝40nmile，
故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．