北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项18锐角三角函数实际应用-母子型(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项18锐角三角函数实际应用-母子型(原卷版+解析)，共19页。

特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
1．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
2．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春•茅箭区校级月考）某人为了测量塔DE的高度，他在山下与山脚B在同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进30米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么塔DE的高度是（ ）
A．（15+5）mB．（15﹣5）mC．（30+10）mD．（30﹣10）m
4．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（ ）
A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°
5．（2022•五华区一模）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC＝300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（ ）（结果保留整数．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°＝0.80，tann37°≈0.75）
A．280mB．300mC．325mD．340m
6．（2022•钟山县校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
7．（2022•武汉模拟）如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是 米（≈1.73，结果精确到0.1米）．
8．（2022•西青区一模）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端
A测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．
参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.8．sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0．
9．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
10．（2022春•长沙期中）长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．
（1）求∠DBC的大小；
（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
11．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM长为0.9m，该运动员大腿EF长为0.4m，且其上半身GF长为0.8m，∠EMD＝35°．
（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角∠GFE的度数；
（2）求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，）
12．（2022•新田县一模）新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”．云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”CE的高度，在楼前的平地上A外，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距22m．其中测量仪器AG＝BF＝DE＝1.5米．求“青云塔”CE的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）．
13．（2022•山西模拟）2022年春节假期正逢北京冬奥会，使滑雪这项“冷运动”成了“热时尚”．某地计划将一个山坡改造成一个滑雪场的滑道，滑道由AB和BC两段组成，AB的坡角∠A＝15°，BC的坡角α＝20°，已知山坡的水平距离AD＝1500m，铅直高度CD＝450m，求滑道AB的铅直高度BE的长．（结果精确到1米．参考数据：sin15°≈0.26，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
14．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
专项18 锐角三角函数实际应用-母子型
通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下：
特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高
1．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝，
∴BD＝≈（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
故选：C．
2．（2022•随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，若CD＝α，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：设AB＝x，
在Rt△ABD中，tanβ＝，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝a+，
在Rt△ABC中，tanα＝，
解得x＝．
故选：D．
3．（2022春•茅箭区校级月考）某人为了测量塔DE的高度，他在山下与山脚B在同一水平面的A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进30米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，那么塔DE的高度是（ ）
A．（15+5）mB．（15﹣5）mC．（30+10）mD．（30﹣10）m
【答案】C
【解答】解：设BC＝x米，
在Rt△BDC中，∠DBC＝60°，
∴DC＝BC•tan60°＝x（米），
∵AB＝30米，
∴AC＝AB+BC＝（30+x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴tanA＝＝＝1，
∴x＝15+15，
经检验：x＝15+15是原方程的根，
∴BC＝（15+15）米，DC＝x＝（45+15）米，
在Rt△EBC中，∠EBC＝30°，
∴EC＝BC•tan30°＝（15+15）×＝（15+5）米，
∴DE＝DC﹣CE＝（30+10）米，
故选：C．
4．（2022•吴中区模拟）同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（ ）
A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°
【答案】C
【解答】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
故选：C．
5．（2022•五华区一模）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC＝300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（ ）（结果保留整数．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°＝0.80，tann37°≈0.75）
A．280mB．300mC．325mD．340m
【答案】A
【解答】解：由题意得：四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD＝100m，
在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，
则CE＝BC•sin∠CBE＝300•sin37°≈300×0.60＝180（m），
∴CF＝180+100＝280（m），
∴他从点A运行到点C垂直上升的高度约为280m，
故选：A．
6．（2022•钟山县校级模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC边上，CD＝AC，AB＝26，则BD的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，
∴BC＝ABcsB＝26×＝24，
∴AC＝＝＝10，
∵CD＝AC，
∴CD＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝24﹣10＝14，
故选：C．
7．（2022•武汉模拟）如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是 米（≈1.73，结果精确到0.1米）．
【答案】6.9
【解答】解：由题意得EF＝BD＝1.5米，
∵ME＝7.5米，
∴FM＝6米，
在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，
tan60°＝，
解得CF＝2，
在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，
tan30°＝，
解得DF＝6，
∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），
∴AB＝CD＝6.9米．
故答案为：6.9
8．（2022•西青区一模）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度，他们在C处仰望建筑物顶端
A测得仰角为37°．再往建筑物的方向前进9m到达D处，测得建筑物顶端A的仰角为63°，求建筑物AB的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到1m）．
参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.8．sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0．
【解答】解：设BD＝xm，AB＝ym，
在Rt△ADB中，tan63°＝≈2，
∴y≈2x，
在Rt△ACB中，tan37°＝≈0.8，
即≈0.8，
∴y≈0.8（9+x），
∴
解得：，
∴AB的高度约为12m，
答：建筑物AB的高度约为12m．
9．（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）
【解答】解：延长DF交AB于点G，
由题意得：
DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，
设AG＝xm，
在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，
∴FG＝＝x（m），
∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝4+4，
经检验：x＝4+4是原方程的根，
∴AB＝AG+BG≈12（m），
∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．
10．（2022春•长沙期中）长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．
（1）求∠DBC的大小；
（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵步行道BD的坡度为1：，
∴tan∠DBC＝＝＝，
∴∠DBC＝30°；
（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE，DF＝EC，
在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，
∴DE＝BD＝84，
∴FC＝DE＝84，
∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AD＝AF＝70（米），
答：电动扶梯DA的长为70米．
11．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM长为0.9m，该运动员大腿EF长为0.4m，且其上半身GF长为0.8m，∠EMD＝35°．
（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角∠GFE的度数；
（2）求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，）
【解答】解：（1）连接GE，
∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三点共线，
∴∠GEF＝∠EDM＝90°，
∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，
∴cs∠GFE＝＝，
∴∠GFE＝60°；
（2）由（1）得∠GFE＝60°，
在Rt△GFE中，GE＝GF•sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），
在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，
∴ED＝EM•sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），
∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），
答：此刻运动员头部G到斜坡AB的高度约为1.2m．
12．（2022•新田县一模）新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”．云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”CE的高度，在楼前的平地上A外，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距22m．其中测量仪器AG＝BF＝DE＝1.5米．求“青云塔”CE的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）．
【解答】解：设CD为xm，
由题意得：∠ADC＝90°，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝xm，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan30°＝，
∴AD＝CD＝xm，
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝22，
解得：x＝11（+1）≈30.03，
∴CE＝CD+DE≈30.03+1.5≈31.5（m），
答：“青云塔”CH的高度约为31.5m．
13．（2022•山西模拟）2022年春节假期正逢北京冬奥会，使滑雪这项“冷运动”成了“热时尚”．某地计划将一个山坡改造成一个滑雪场的滑道，滑道由AB和BC两段组成，AB的坡角∠A＝15°，BC的坡角α＝20°，已知山坡的水平距离AD＝1500m，铅直高度CD＝450m，求滑道AB的铅直高度BE的长．（结果精确到1米．参考数据：sin15°≈0.26，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
【解答】解：如图所示：过点B作BF⊥CD于点F，
由题意可得：BE⊥AD，CD⊥AD，则四边形BEDF是矩形，
设BE的长为xm，
∴FD＝BE＝xm，BF＝ED，
∴FC＝CD﹣FD＝（450﹣x） m，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝90°，∠BFC＝90°，
在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，
∴tanA＝，即AE≈，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，
∴tan∠CBF＝，即BF≈，
∴ED＝，
∵AE+ED＝AD，
∴+＝1500，
解得：x＝270，
答：滑道AB的铅直高度BE的长约为270m．
14．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）
【解答】解：由已知可得，
tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，
设BF＝7a米，AF＝24a米，
∴（7a）2+（24a）2＝252，
解得a＝1，
∴AF＝24米，BF＝7米，
∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，
设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，
∵tan∠DBE＝＝，
∴tan60°＝，
解得x≈41，
答：东楼的高度DE约为41米．