北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项19锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项19锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型(原卷版+解析)，共16页。


1．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．
2．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
3．（2022•赛罕区校级一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）
4．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
5．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
6．（通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
7．（黄冈）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
8．（内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．
9．（2020•新昌县校级模拟）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．
（1）求DM的长．
（2）求旗杆AB的高度．（结果保留根号）

专项19 锐角三角函数实际应用-三角形+矩形模型
已知AB、BE的长度及∠DBE，∠DAC或∠DFC）的度数，过较短的边AB作高BE，构造矩形和直角三角形，先解直角三角形，再利用加减求解。

1．（2022•武汉模拟）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 m（≈1.732，≈1.414，结果保留一位小数）．
【答案】56.8
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，
由题意得，设塔高CD＝xm，则BD＝AE＝xm，CE＝（x﹣24）m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，
则＝，即＝，
解得：x≈56.8．
答：古塔CD的高度约为56.8米．
2．（2022•宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：
AB＝DE＝20m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴AE＝＝＝20（m），
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m），
∴CD＝CE+DE＝（20+20）m，
∴信号塔的高度为（20+20）m
3．（2022•赛罕区校级一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡比为，
∴＝＝，
∴∠DCE＝30°，
在Rt△DCE中，DC＝4米，
∴DE＝DC＝2（米），
∴斜坡CD的高度DE为2米；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DF＝AE，DE＝AF＝2米，
在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，
∴CE＝DC•cs30°＝4×＝2（米），
设BF＝x米，
∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，
∴DF＝＝x（米），
∴AE＝DF＝x米，
∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，
在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：x＝4+4，
经检验：x＝4+4是原方程的根，
∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，
∴大楼AB的高度为（4+6）米．
4．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，
∴BC＝EG，BG＝CE＝2m
设教学楼AB的高为xm，
∵∠AFB＝45°，
∴∠FAB＝45°，
∴BF＝AB＝xm，
∴EG＝BC＝（x+18）m，AG＝（x﹣2）m，
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°
∵tan∠AEG＝，
∴tan22°＝，
∴，
解得：x≈15m．
答：教学楼AB的高约为15m．
5．（2020•新宾县模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
6．（2015•通辽）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，
∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，
∴设EF＝x，则FC＝x，
∵CE＝20米，
∴x2+（x）2＝400，
解得：x＝10，
则FC＝10m，
∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，
∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，
答：建筑物AB的高为（35+10）m．
7．（2018•黄冈）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．
（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；
（2）求斜坡CD的长度．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝60°，AB＝60米，则AC＝＝＝20（米）
答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．
（2）设CD＝2x，则DE＝x，CE＝x，
在Rt△BDF中，∵∠BDF＝45°，
∴BF＝DF，
∴60﹣x＝20+x，
∴x＝40﹣60，
∴CD＝2x＝（80﹣120）（米），
∴CD的长为（80﹣120）米．
8．（内江）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC＝1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，
则四边形ABEH为矩形，
∴AH＝BE，EH＝AB＝3（米），
设DE＝x米，
在Rt△CDE中，CE＝＝x，
在Rt△ABC中，
∵＝，AB＝3米，
∴BC＝3（米），
在Rt△AHD中，DH＝DE﹣EH＝（x﹣3）米，
∴AH＝＝（x﹣3），
∵AH＝BE＝BC+CE，
∴（x﹣3）＝3+x，
解得x＝9．
答：树高为9米．
9．（2020•新昌县校级模拟）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．
（1）求DM的长．
（2）求旗杆AB的高度．（结果保留根号）

【解答】解：（1）∵CD＝2m，tan∠CMD＝，
∴MD＝6m；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，
设BM＝xm，
∴BD＝（x+6）m，
∵∠AMB＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴AB＝（x） m，
已知四边形CDBE是矩形，
∴BE＝CD＝2m，CE＝BD＝（x+6）m，
∴AE＝AB﹣BE＝（x﹣2）m，
在Rt△ACE中，
∵tan30°＝，
∴＝，
解得：x＝3+，
经检验，x＝3+是分式方程的解，
∴AB＝x＝（3+3）（m）．