北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项33二次函数与胡不归综合应用(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项33二次函数与胡不归综合应用(原卷版+解析)，共32页。
【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归胡不归这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢这就是风靡千年的“胡不归问题”.
由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时
设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然＜.
不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,则t=+=(BC+AC).因为，是确定的，所以只要(BC+AC)最小，用时就最少.问题就转化为求(BC+AC)的最小值.
我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于AC.并且与线段CB位于AM的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢由三角函数的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作∠MAN=∠α，sinα=.然后，作CE⊥AN，则CE=AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+AC)的值最小，即用时最小
胡不归问题
识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）
方法：
1、将所求线段和改为的形式（）
2、作，使
3、过点B作交AC于点P
4、的最小值转化为垂线段的长
注意：当k＞1时，
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 ．
【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 ．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
专项33 二次函数与胡不归综合应用
【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归胡不归这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢这就是风靡千年的“胡不归问题”.
由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时
设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然＜.
不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,则t=+=(BC+AC).因为，是确定的，所以只要(BC+AC)最小，用时就最少.问题就转化为求(BC+AC)的最小值.
我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于AC.并且与线段CB位于AM的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢由三角函数的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作∠MAN=∠α，sinα=.然后，作CE⊥AN，则CE=AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+AC)的值最小，即用时最小
胡不归问题
识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）
方法：
1、将所求线段和改为的形式（）
2、作，使
3、过点B作交AC于点P
4、的最小值转化为垂线段的长
注意：当k＞1时，
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ；
【解答】解：（1）由题意解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标（，﹣）．
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为．
故答案为．
【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），
令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，
∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴A（﹣m，0），B（2，0），
∴AB＝2+m，
令x＝0，则y＝﹣2m，
∴C（0，﹣2m），
∵△ABC的面积为8，
∴×（2+m）×（2m）＝8，
解得m＝2或m＝﹣4（舍）；
（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，
∵的横坐标为t，
∴T（t，t2﹣4），
过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，
∵∠DCT＝90°，
∴∠DCE+∠TCF＝90°，
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠TCF＝∠CDE，
∴△CED∽△TFC，
∴＝＝，
∵∠ATC＝60°，
∴＝，
∵C（0，﹣4），
∴CF＝t，TF＝t2，
∴DE＝t，CE＝t2，
∴D（﹣t2，t﹣4），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，
∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，
∴（t﹣1）2＝；
（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，
∵A、B关于y轴对称，
∴AP＝BP，
∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ABG＝∠ACO，
∵AO＝2，CO＝4，
∴AC＝2，
∴sin∠ACO＝，
∴＝，
∴CP＝GP，
∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，
∵cs∠ACO＝＝＝，
∴BG＝，
∴CP+AP的最小值为8，
∵tan∠ACO＝＝＝，
∴OP＝1，
∴P（0，﹣1）．
【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．
【解答】解：在第二象限内作∠OCD＝30°，CD与y轴交于点D，过点Q作QP⊥CD于点P，连接AP，则∠ODC＝60°，
令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴OD＝OC•tan30°＝，
∴AD＝+1，
∵∠OCD＝30°，
∴PQ＝，
∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，
当A、Q、P三点依次在同一直线上，且AP⊥CD时，
AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，
此时AP＝AD•sin60°＝，
∴AQ+CQ的最小值为．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 ．
【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，
∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，
∴QE＝PQ，
∵BQ＝B'Q，
∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时PQ+QB取最小值，
∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，
∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，
∵P的坐标为（0，6），
∴PO＝6，
∴OD2+（6）2＝（2OD）2，
∴OD＝6，
∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OB＝4，
∴OB'＝4，
∴B'D＝10，
∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，
∴∠EB'D＝30°，
∴DE＝B'D＝5，
∴B'E＝＝＝5，
∴PQ+QB取最小值为5，
故答案为：5．
【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c
得到，，解得．
故答案为1，﹣3．
（2）如图1中，作PH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，PH＝PC．
∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，
∴DH′＝BD＝2，
∴DP+PC的最小值为•2＝4．
1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则2OP+AP的最小值为 ．
【答案】6
【解答】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，
∵y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
∴B的坐标为（2，0），
∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，
∴A的坐标为（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝AB＝3，
∴2OP+AP＝2（OP+AP）的最小值为6．
故答案为：6．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣2），与x轴分别交于点B（3，0）和点A，且tan∠CAO＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使PC+PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵tan∠CAO＝1，
∴＝1，
∴OA＝2，A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：
过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：
∵AM∥BC，
∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，
∵B（3，0），C（0，﹣2），
∴直线BC解析式是y＝x﹣2，
设直线AM解析式为y＝x+m，将A（﹣2，0）代入得﹣+m＝0，
∴m＝，
∴直线AM解析式为y＝x+，M（0，），
解得（与A重合，舍去）或，
∴Q（5，），
∵M、M'关于x轴对称，
∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'（0，﹣），
∴Q'是满足题意的点，
设直线AQ'为y＝kx﹣，将A（﹣2，0）代入得﹣2k﹣＝0，
∴k＝﹣，
∴直线AQ'为y＝﹣x﹣，
解得（舍去）或，
∴Q（1，﹣2）；
综上所述，点Q坐标是（5，）或（1，﹣2）；
（3）在y轴上存在一个点P，使PC+PD值最小，理由如下：
过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线对称轴是直线x＝，
∴D（，0），
∵OA＝OC＝2，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA＝45°＝∠OAC，
∴△PCH是等腰直角三角形，
∴PH＝PC，
∴PC+PD最小即是PH+PD最小，
∴当P运动到P'，H和H'重合时，PC+PD的最小，最小值是DH'，
∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，
∴△ADH'是等腰直角三角形，
∴DH'＝AD，
∵A（﹣2，0），D（，0），
∴AD＝，
∴DH'＝，即PC+PD的最小值是．
3．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；
（3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：把x＝﹣5代入y＝﹣x+，
解得y＝3，
∴D（﹣5，3），
把D（﹣5，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线BD与y轴交于点E，
∴E（0，），
由可得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，），
由S△BCD＝S△ABP，
∴CE•|xB﹣xD|＝AB•|yP|，
∴（﹣）×（4+5）＝（4+2）×|yP|，
∴|yP|＝，
∴yP＝±，
∵抛物线的顶点为（1，﹣），
∴yP＝，
∴P点坐标为或；
（3）存在点F，使得2AF+DF的值最小，理由如下：
过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH⊥DM于H，
∴sin30°＝＝，
∴HF＝DF，
∴2AF+DF＝2（AF+DF）＝2（AF+HF）＝2AH，
当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF+DF取最小值，
∵A（﹣2，0），
∴F（﹣2，2），
∵D（﹣5，3），
∴AH＝3，
∴2AF+DF的最小值为6．
4．如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x+7交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，直线y＝x+7经过点A、C，点M是线段AC上的一动点（不与点A，C重合）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM+AM的最小值及此时点M的坐标；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2﹣6x+7中，令y＝0得：
﹣x2﹣6x+7＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A（﹣7，0），B（1，0）；
（2）过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：
抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
在y＝﹣x2﹣6x+7中，令x＝0得y＝7，
∴C（0，7），
∴AC＝＝7，
∴sin∠CAB＝＝＝，
在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠CAB＝AM，
∴PM+AM最小，即是PM+MN最小，由垂线段最短可知PM+AM的最小值即为PN的长，
∵点P，C（0，7）关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，
∴PN与OC关于抛物线y＝﹣x2﹣6x+7的对称轴直线x＝﹣3对称，P（﹣6，7），
∴PN＝OC＝7，即PM+AM的最小值为7，
由A（﹣7，0），C（0，7）得直线AC解析式为y＝x+7，
在y＝x+7中，令x＝﹣6得y＝，
∴M（﹣6，）；
5．已知：如图所示，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足tan∠CAB•tan∠CBA＝1．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）若M为线段AO上任意一点，求MC+AM的最小值．
【解答】解：（1）设点A、B的横坐标分别为x1，x2，
令y＝0可得﹣x2﹣x+c＝0，
∴x1•x2＝﹣2c，
∵tan∠CAB•tan∠CBA＝1，即＝1，
∴OC2＝OA•OB＝（﹣x1）•x2＝2C，
即c2＝2c，
解得c1＝0（舍去），c2＝2，
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2，
令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，
故点A（﹣4，0），点B（1，0）；
（2）△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，
作点C关于x轴的对称点C'（0，﹣2），
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣4，0），C'（0，﹣2）代入，
得，
解得，
∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，
联立抛物线与直线得，
解得，，
故点P坐标（2，﹣3）；
（3）过点A作直线AD，使sin∠OAD＝，过点M作ME⊥AD于点E，如图，
在Rt△MAE中，sin∠OAD＝，
∴ME＝AM，
∴MC+AM＝MC+ME，当点M、C、E三点共线时，MC+ME最小为CE，
∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，
∴∠EAM＝∠OCM，
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝，OC＝2，
∴tan∠OCM＝＝＝，cs∠OAD＝＝，
∴OM＝1，CM＝，
∴AM＝4﹣1＝3，
在Rt△AEM中，sin∠OAD＝，AM＝3，
∴EM＝3•sin∠OAD＝，
∴MC+ME＝+＝．
故MC+AM的最小值．
6．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝6，
∴OA＝2，
∵OC＝OA，
∴OC＝3，即C（0，3），
将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：
∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，
∴P横坐标为2，即ON＝2，
∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，
∵AP＝2PE，
∴AN＝2NH，
∴NH＝2，
∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，
∴E（4，3），
由（1）可知：OC＝3，OB＝6，
Rt△BOC中，BC＝＝3，
∴sin∠CBO＝＝＝，
∵EH⊥x轴，
∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，
∴FQ＝BF，
而EF+BF＝（EF+BF），
∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，
∵EH＝|yE|＝3，
∴EF+BF的最小值为3，
∴EF+BF的最小值为；