北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项45四点共圆(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项45四点共圆(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了四点共圆，5FC等内容，欢迎下载使用。
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【模型1：对角互补型】
【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
【模型2：同侧等角型】
【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº
(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.
求证：PB=PD
【模型3：直径是圆中最长的弦】
【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?
【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。
【随堂精练】
1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
1．（2021秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（ ）
A．80°B．40°C．100°D．160°
2．（2021秋•滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）
A．4B．8C．10D．6
3．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 ．
4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为 ．
5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 ．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为 ．
8．（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝ 30° ，若AC＝10，CD＝9，则BE＝ ．
9．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 ．
10．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴ ，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴ ．
（2）请回答问题2，并说明理由；
【深入探究】
如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．
（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 ；
（4）探究EF、GH满足的位置关系；
（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．
10．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
11．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，CE＝BE，过点E作EF⊥AC于点F，FE的延长线交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求证：EG2＝AG•BG；
（3）若BG＝1，EG＝，求sin∠CDE的值．
1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？
专项45 四点共圆
1.四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．
2．四点共圆的性质
(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．
(2)圆内接四边形的对角互补．
(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
3．四点共圆的判定
(1)用“角”判定：
①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；
②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；
③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上．
(2)“等线段”判定：
四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．
(3)用“比例线段”判定：
若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆.
模型解读：
模型1：对角互补型：
若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,
则A、B、C、D四点共圆
模型2：同侧等角型
（1）若∠A=∠C,
则A、B、C、D四点共圆
（2）手拉手(双子型)中的四点共圆
条件：△OCD∽△OAB
结论：①△OAC∽△OBD
②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；
③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.
模型3：直径是圆中最长的弦
1.定圆中最长的弦是直径；
2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；
3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【模型1：对角互补型】
【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.
【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF
∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,
∴A、B、C、M四点共圆,
∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,
∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).
【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。
【解析】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,
知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,
CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。
【模型2：同侧等角型】
【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº
(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.
求证：PB=PD
【解析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,
∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆
∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD
∴PB=PD
【模型3：直径是圆中最长的弦】
【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作 OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?
【解析】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5
(斜边上中线等于斜边一半)
【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。
【解析】延长DE交⊙O于点F,连接FC,利用三角形的中位线得出PE=0.5FC.当FC为⊙O的直径时，PE最大=6。
【随堂精练】
1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A，D，B，E四点共圆．
【解答】（1）解：由旋转知，AD＝AC，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣80°＝10°；
（2）证明：连接BE，
由旋转知，AB＝AE，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝10°，
∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝90°﹣10°＝80°，
∴∠EBA＝∠BEA＝×（180°﹣∠EAB）＝×（180°﹣80°）＝50°，
∴∠EBD＝∠EBA+∠ABC＝50°+40°＝90°，
即△EBD是以ED为斜边的直角三角形，
又∵△EAD也是以ED边为斜边的直角三角形，
∴A，D，B，E四点在以ED为直径的圆上，
即A，D，B，E四点共圆．
2．如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝∠ABE＝60°，
∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，
∴S△ABC＝＝＝300km2．
则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．
当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．
在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，
∵∠ADF＝＝30°，
∴DF＝AF＝5km，
∴S△ADC＝＝＝925km2．
300+925＝1225km2．
∴四边形ABCD的最大面积为1225km2．
3．如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积，
∴四边形ACBD的面积＝AB•DE+AB•DF
＝AB•（DE+DF），
∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大，
即当DE+DF＝时，
四边形ACBD的面积＝××＝16，
∴四边形ACBD面积的最大值为16．
1．（2021秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（ ）
A．80°B．40°C．100°D．160°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE＝80°，
故选：A．
2．（2021秋•滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（ ）
A．4B．8C．10D．6
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC，
∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∴A，B，C，D，四点共圆，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ACD＝60°，
∴∠ADM＝∠BDC，
∵AD＝BD，
∴△ADM≌△BDC（SAS），
∴AM＝BC，
∴AC＝AM+MC＝BC+CD，
∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，
且AD＝AB＝6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，
此时C点在的中点处，
∴∠CAB＝30°，
∴AC的最大值＝AB×cs30°＝4，
∴CB+CD最大值为AC＝4，
故选：A．
3．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：连接BD并延长，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∴B，E，D，F四点共圆，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DBF＝∠DEF＝45°，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，
∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上，
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BD时，AD取最小值，
∴AD的最小值为AB＝，
故答案为：．
4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为 ．
【答案】
【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∵∠ADB＝30°，AB＝2，
∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
∴AC＝．
故答案为：．
5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】18
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A，C两点在以BD为直径的圆上，
∴当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD面积最大，
∵BD＝6，
∴AB＝AD＝CB＝CD＝3，
∴四边形BCD的面积为3××＝18．
故答案为：18．
6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 ．
【答案】6
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴A，C，D，B四点共圆，
如图，作⊙O经过A，C，D，B四点，
当AD（D′）为直径时，AD有最大值，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，
∴AO＝6×＝3，
∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值为6．
故答案为：6．
7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为 ．
【答案】45°
【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，
而∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
而∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°．
故答案为：45°．
8．（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝ 30° ，若AC＝10，CD＝9，则BE＝ ．
【答案】
【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC＝60°，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠DBE＝∠DCE＝30°，
∴∠ABE＝30°，
设BC＝x，则AB＝2x，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，
∵AC＝10，
∴（2x）2＝102+x2，
解得：x＝，
∴BC＝，
设DE＝a，则CE＝2a，
在Rt△CED中，
由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，
∵CD＝9，
∴（2a）2＝a2+92，
解得：a＝，
∴DE＝，CE＝，
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
在Rt△CBE中，
由勾股定理得＝．
9．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 ．
【解答】解：【问题原型】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值为；
【问题拓展】如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，
则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，
∴MN最大值为，
故答案为：．
10．（2022秋•仪征市期中）【问题提出】
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
∵BD是⊙O的直径，
∴ ，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴ ．
（2）请回答问题2，并说明理由；
【深入探究】
如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．
（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 ；
（4）探究EF、GH满足的位置关系；
（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．
【解答】解：【问题提出】（1）∵BD是⊙O的直径，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
故答案为：∠A＝∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°；
（2）成立，理由如下：
连接AC、BD，
∵∠DAC＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠DBC+∠ABD＝∠ABC，
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°；
同理，∠BAD+∠BCD＝180°；
【深入探究】（3）AD+BC＝AB+CD，理由如下：
连接AI、BI、CI、DI，
∵圆I是四边形ABCD的内切圆，
∴AG＝AE，DE＝DH，CH＝CF，BF＝BG，
∴AD+BC＝AE+ED+BF+CF＝AG+DH+BG+CH＝AB+CD，
即AD+BC＝AB+CD，
故答案为：AD+BC＝AB+CD；
（4）EF⊥GH，理由如下：
连接EH、IH、IG、IF、GF，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
∵BG⊥IG，IF⊥BF，
∴∠BGI＝∠IFB＝90°，
∴∠B+∠GIF＝180°，
∴∠GIF＝∠D，
∵GI＝IF，
∴∠GFI＝90°﹣∠GIF，
∵ED＝DH，
∴∠DEH＝90°﹣∠D，
∴∠GFI＝∠DEH，
∵＝，
∴∠GFE＝∠GHE，
∴∠GHE＝∠GFI+∠IFE，
∵IF＝IE，
∴∠IFE＝∠IEF，
∴∠FEH+∠EHG＝∠FEH+∠IEF+∠DEH＝∠EID＝90°，
∴EF⊥GH；
（5）连接BD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝90°，
∵ABCD是圆O的内接圆，
∴BD是圆O的直径，
连接IF、IH，
∵I是四边形ABCD的内切圆圆心，
∴∠ADI＝∠IDH，∠ABI＝∠FBI，
∵IH⊥CD，IF⊥BC，
∴∠BIF＝90°﹣∠IBF，∠DIH＝90°﹣∠IDH，
∴∠BIF+∠DIH＝180°﹣（∠IBF+∠IDH）＝180°﹣（∠ADC+∠ABC），
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BIF+∠DIH＝90°，
∵IF⊥FC，IH⊥CD，∠C＝90°，IH＝IF，
∴四边形IHCF是正方形，
∴∠HIF＝90°，
∴I点在BD上，
∵BC＝3，CD＝2，
∴S四边形ABCD＝3×2＝6，
∵∠DIH+∠IDH＝90°，∠IBF+∠IDH＝90°，
∴∠DIH＝∠IBF，
∵∠IHD＝∠IFB＝90°，
∴△DHI∽△IFB，
∴＝，即＝，
解得IH＝，
∴S⊙I＝π，
∴阴影部分的面积＝6﹣π．
10．（2022•遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：∵∠1＝∠2，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝45°，
∴∠4＝45°，
故答案为：45°；
（3）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴∠AEC＝∠ACE，∠DEC＝∠DCE，
∴∠AED＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：AD•AF的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接CF，
∵点E与点C关于AD的对称，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴∠FED＝∠FCD，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴∠FED＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠FCD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB＝∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAD＝∠FAB，
∴△ABD∽△AFB，
∴＝，
∴AD•AF＝AB2＝8．
11．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，CE＝BE，过点E作EF⊥AC于点F，FE的延长线交AB的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求证：EG2＝AG•BG；
（3）若BG＝1，EG＝，求sin∠CDE的值．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CE＝BE，OA＝BO，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵E点在圆O上，
∴FG是⊙O的切线；
（2）证明：∵OE⊥GF，
∴∠OEG＝90°，
∴OG2＝OE2+EG2，
∵EG2＝OG2﹣OE2＝（OG+OE）（OG﹣OE），
∵EO＝BO＝OA，
∴EG2＝（OG+OA）（OG﹣OB）＝AG•BG；
（3）解：连接AE，过E点作EM⊥AB交于点M，
∵EG2＝AG•BG，BG＝1，EG＝，
∴AG＝2，
∴AB＝1，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEG＝90°，
∴∠AEO＝∠BEB，
∵AO＝OE，
∴∠EAO＝∠OEA，
∴∠BEG＝∠EAO，
∴△AEG∽△EBG，
∴＝＝，
设EB＝x，则AE＝x，
在Rt△ABE中，1＝x2+2x2，
解得x＝，
∴BE＝，AE＝，
∵AE•BE＝AB•EM，
∴EM＝，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠CDE＝∠ABE，
∴sin∠CDE＝sin∠EBM＝＝＝．
1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？