北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项09相似三角形种A字型(2种类型)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项09相似三角形种A字型(2种类型)(原卷版+解析)，共25页。
有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.

【类型1：平行类A字型】
【典例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
【变式1-2】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2
【变式1-3】如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（ ）
A．2：1B．3：2C．8：1D．4：1
【典例2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？
【变式2-1】如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（ ）
A．36mmB．40mmC．50mmD．120mm
【变式2-2】如图，在△ABC，BC＝30，高AD＝20，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【类型2：不平行A字型】
【典例3】已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【变式3-2】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为s1，四边形DBCE的面积为s2，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连结AF，作BG∥AF，若＝，BG＝6，则AF的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是 ．（不必写定义域）
8．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO•FO．
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
10．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
11．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
专项09 相似三角形种A字型（2种类型）
有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC及∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.

【类型1：平行类A字型】
【典例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
【变式1-1】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
【答案】B
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵四边形BCFE的面积为21，S△ABC＝S△AEF+S四边形BCFE，
∴S△ABC＝4+21＝25，
故选：B．
【变式1-2】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是4cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2
【答案】C
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积是4cm2，
∴△ABC的面积是16cm2，
∴四边形BDEC的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝16﹣4
＝12（cm2），
故选：C．
【变式1-3】如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的面积比为（ ）
A．2：1B．3：2C．8：1D．4：1
【答案】D
【解答】解：如图：
由题意得：
∠AMB＝∠END＝90°，AM＝4，BM＝2，EN＝2，DN＝1，
∴＝＝2，
∴△ABM∽△EDN，
∴＝＝2，∠ABM＝∠EDN，
∴AB∥ED，
∴∠ABC＝∠CED，∠BAC＝∠CDE，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝（）2＝4，
∴△ABC与△CDE的面积比为4：1，
故选：D．
【典例2】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？
【解答】解：∵四边形PNMQ为矩形，
∴MN∥PQ，PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
设边宽PQ＝xmm，则长PN＝2xmm，
∵四边形PNMQ为矩形，
∴PN∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PN，
∴DH＝PQ＝xmm，
∵AD＝80mm，
∴AH＝（80﹣x）mm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∵BC＝120mm，
∴，
解得x＝，2x＝．
即长为mm，宽为mm．
【变式2-1】如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（ ）
A．36mmB．40mmC．50mmD．120mm
【答案】A
【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝2：1，
∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝36，
∴PQ＝36mm．
故选：A．
【变式2-2】如图，在△ABC，BC＝30，高AD＝20，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．8B．10C．12D．15
【答案】A
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝30，AD＝20，
∴AN＝20﹣x，
∴，
解得：x＝12，
∴AN＝20﹣x＝20﹣12＝8．
故选：A．
【类型2：不平行A字型】
【典例3】已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】B
【解答】解：∵在△ABC中，∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴．
故选：B．
【变式3-2】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，若∠1＝∠B，＝，△ADE的面积等于2，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∵＝，
∴＝，
∵△ADE的面积等于2，
∴△ACB的面积等于8．
故选：B．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于点E，求AE的长．
【解答】解：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，
∴，
∴AE＝．
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，，记△ADE的面积为s1，四边形DBCE的面积为s2，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
【答案】D
【解答】解：∵A（1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若，且△ADE的面积为9，则四边形BCED的面积为（ ）
A．18B．27C．72D．81
【答案】C
【解答】解：∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△ADE的面积为9，
∴△ABC的面积＝81，
∴四边形BCED的面积＝△ABC的面积﹣△ADE的面积
＝81﹣9
＝72，
故选：C．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别交l1，l2，l3于点A，B，C和点D，E，F，连结AF，作BG∥AF，若＝，BG＝6，则AF的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，＝，
∴＝＝，
∴＝，
∵BG∥AF，
∴∠CGB＝∠CFA，∠CBG＝∠CAF，
∴△CBG∽△CAF，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝10，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，下列等式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】A
【解答】解：A、∵DE∥BC，EF∥AB，
∴AD：DB＝AE：EC，AE：CE＝BF：CF，
∴，所以A选项的等式成立；
B、∵EF∥AB，
∴，所以B选项的等式不成立；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，所以C选项的等式不成立；
D、∵DE∥BC，
∴BD：AD＝CE：AE，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴＝，
∴≠，所以D选项的等式不成立．
故选：A．
6．如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵点F是AG的中点，
∴AF＝FG＝，
∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴∠AEB＝∠B，
又∵∠BAG＝∠CAG，
∴△EAF∽△BAG，
∴＝，
∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴，
故选：D．
7．已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是 ．（不必写定义域）
【答案】y＝﹣x2+8x
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝x，
∴矩形CEDF的面积＝DE•CE，
∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+8x，
故答案为：y＝﹣x2+8x．
8．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD点F．
（1）求证：△AOB∽△COE；
（2）求证：BO2＝EO•FO．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AOB∽△COE；
（2）∵△AOB∽△COE，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴，
∴，
即OB2＝OF•OE．
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）若＝，△EFC的面积为9，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）∵EF∥AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
又∵△EFC的面积为9，
∴△ABC的面积为49．
10．已知：如图，点D在三角形ABC的边AB上，DE交AC于点E，∠ADE＝∠B，点F在AD上，且AD2＝AF•AB．
求证：（1）；
（2）△AEF∽△ACD．
【解答】证明：（1）∵∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴；
（2）∵AD2＝AF⋅AB，
∴，
由（1）得：，
∴．
∵∠A＝∠A，
∴△AFE∽△ACD．
11．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝EF•GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF•GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝＝1，DE＝，
∴AE＝＝，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴＝，＝，
∴AF＝＝，AG＝AE＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝．