河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期二模数学试题（Word版附解析），共16页。

注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( )
A.且B.C.D.或
2.集合与之间的关系是( )
A.B.C.D.
3.已知为第一象限角，若函数的最大值是，则（ ）
A．B．C．D．
4.有一块半径为2,圆心角为的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大值为( )
A.B.C.D.
5.若,,,则( )
A.B.C.D.
6.已知数列为等差数列,其前n项和为,,且,也是等差数列,则( )
A.nB.C.D.
7.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则( )
A.B.1C.D.
8.如图,M为四面体OABC的棱BC的中点,N为OM的中点,点P在线段AN上,且,设,,,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是( )
A.用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
10.设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )
A.的增长速度最快, 的增长速度最慢
B.的增长速度最快, 的增长速度最慢
C.的增长速度最快, 的增长速度最慢
D.的增长速度最快, 的增长速度最慢
11.现有4个幂函数的部分图象如图所示,则下列选项可能成立的是( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知满足,当,,若函数在上恰有八个不同的零点,则实数a的取值范围为__________.
13.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,若外接圆面积为,则面积的最大值为______.
14.如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值为____________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求:
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望.
16.(15分)若数列满足：存在等比数列,使得集合元素个数不大于,则称数列具有性质.如数列,存在等比数列,使得集合,则数列具有性质.若数列满足,,记数列的前n项和为.证明：
（1）数列为等比数列；
（2）数列具有性质.
17.(15分)如图所示,在直四棱柱中,,且,,,M是的中点.
(1)证明；
(2)求点B到平面的距离.
18.(17分)已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于A,B两点,且椭圆C的左,右焦点分别为,,,的面积分别为,,求的最大值.
19.(17分)已知函数,.
（1）当时,求的单调区间；
（2）若是的极小值点,求a的取值范围.
2024学年郑州市宇华实验学校高三（下）第二次模拟考试
数学 • 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：C
解析：由复数是纯虚数,得,解得.
故选：C.
2.答案：C
解析：当时，；当时，，所以.
3.答案：D
解析：由题意可得：
，
则，解得，
且为第一象限角，则，
故.
故选：D.
4.答案：C
解析：如图:
在中,设,
则,
在中,,所以,
,
设矩形ABCD的面积为S,
则
,
由于,
所以当时,,
故选:C
5.答案：B
解析：由题意知,
令,则,
所以在上单调递减,又,
所以,即,所以,即,所以,
又,,又,所以,
所以,所以.
故选：B.
6.答案：D
解析：设的公差为d,由,
得,,
由题意知, 此式为完全平方形式,全平方形式,故,
解得或0(舍去), 则,则 .
故选：D.
7.答案：B
解析：如下图所示：
由平面可知，，又，
所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为，，三边长的长方体的外接球半径，
设外接球半径为R，
由球O的表面积为，可得，即；
又，，，
所以.
故选：B.
8.答案：A
解析：由题意,
故选:A.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.答案：AB
解析：因为马鞍面的标准方程为，
对于A，平行于平面的面中为常数，不妨设为，
得，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；
对于B，法向量为的平面中为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故B正确；
对于C，垂直于轴的平面中y为常数，不妨设为，
则，为抛物线方程，故C错误；
对于D，不妨设平面上的点坐标为，
因为平面过原点且法向量为，由，得，
故，代入马鞍面标准方程，得，
当时，方程为，不是物物线，故D错误.
故选：AB.
10.答案：ACD
解析：画出函数,,的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数,,中,
当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.
11.答案：AB
解析：对于幂函数,若函数在上单调递增,则,若函数在上单调递减,则,所以,D选项错误；
当时,若的图象在的上方,则,若的图象在的下方,则,
所以,,,C选项错误；
因为当时,指数越大,图象越高,所以,
综上,,AB选项正确.
故选:AB
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.答案：
解析：因为,所以为周期是8的周期函数,则,
由,得或,
作出函数在上的大致图象,如图,
由图可知,在上,函数的图象与直线有六个交点,即时,有六个实根,从而时,应该有两个实根,即函数的图象与直线有两个交点,故,得.
故答案为：.
13.答案：
解析：由已知及正弦定理得,所以,
所以,又,所以.由的外接圆面积为,得外接圆的半径为1.由正弦定理得,所以,所以,解得,所以的面积,当且仅当时等号成立.
14.答案：
解析：点P到直线的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,
设点P在平面ABCD上的射影为,
显然点P到直线的距离的最小值为的长度的最小值,
当时,的长度最小,
此时.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.答案：（1）
（2）分布列见解析,数学期望为:16.
解析：（1）解法一:,即该顾客中奖的概率为.
解法二:,即该顾客中奖的概率为.
（2）的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).
,
,
的分布列为:
从而期望.
数学期望为:16.
16.答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）设,则,
.
因此数列是首项为,公比为的等比数列,且；
（2）由（1）,,所以,
取数列,则是等比数列,
并且,因此集合,
所以数列具有性质.
17.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图、连接,
，，
，，
平面,，
又，平面,
平面，.
(2)连接，.
由已知可得,
，，
设点B到平面的距离为h,
由(1)知平面,
三棱锥的体积，
即,
解得, 即点B到平面的距离为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C的离心率为,且过点得
椭圆C的方程为
（2）当直线l的斜率不存在时,,则；
当直线l斜率存在且不等于零时,设直线,
联立可得,
设,,则,,
,,
显然A,B在x轴两侧,,异号,
所以
,
当且仅当,时,取等号.
所以的最大值为.
19.答案：（1）在上单调递减；
（2）
解析：（1）当时,,
设,则,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,取得极大值,所以,
所以,在上单调递减；
（2）
设,则,
(i)当时,二次函数开口向上,对称轴为,,当时,,,单调递增,因为,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以是的极小值点.
当时,,又,,
所以存在,使得,所以当时,,单调递增,
又,所以当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以是的极小值点；
(ii)当时,,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以是的极小值点；
(iii)当时,
开口向下,对称轴为,,
此时,故,使,
当时,,,因此在上单调递增,又,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以为的极小值点；
(iv)当时,,,使,
当时,,,因此在上单调递减,又,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,所以为的极大值点；
(v)当时,由（1）知非极小值点.
综上所述,.
0
10
20
50
60
P