高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系一课一练

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2．A [①不正确，有可能平行；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]
3．C [连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，
∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]
4．C [连接A1C1(图略)，因为BB1∥AA1，
所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan ∠A1AC1＝A1C1AA1＝32+322＝3，
所以∠A1AC1＝60°，故选C.]
5．CD [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选CD.]
6．60° [依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.]
7．5 [取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5．]
8．90° [如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M与DN所成的角为90°.]
9．解：(1)如图，连接AC，AB1．
由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：如图，连接BD.
易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
10．B [将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，
因此GH与IJ所成角为60°.]
11．D [如图，连接CD1，
AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]
12．AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．]
13．15°或75° [取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝12AB，FG∥CD，且FG＝12CD，由AB＝CD知EG＝FG.
易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.]
14．解：因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF＝12AC，同理GH为△ACD的中位线，
故GH∥AC且GH＝12AC，所以EF綉GH，
所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝12AC＝1．
同理FG∥BD且FG＝12BD＝1．
因为AC与BD所成角为60°，
所以∠EFG＝60°或120°，
当∠EFG＝60°时，EG＝1．
当∠EFG＝120°时，EG＝3.
15．解：(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3．
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝23，∴S△PAB＝12×2×23＝23，
∴V三棱锥A1-APB＝13S△PAB·AA1＝13×23×3＝23.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM∥BP，
∴ ∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，
∴A1B＝5．
又BP⊥A1P，∴cs ∠A1BP＝BPA1B＝25，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为25.