江苏省南通市崇川区南通大学附属初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据无理数就是无限不循环小数可得:
A选项:=2是有理数, 故与题意不符;
B选项:3.14是有理数,故与题意不符;
C选项:=-3是有理数, 故与题意不符；
D选项:是无限不循环小数,所以也是无限不循环小数,是无理数,故与题意相符;
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数，判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．
2. 在平面直角坐标系中，点所在象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，根据第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，即可得到答案．
【详解】解：点所在象限为第四象限，
故选：D．
3. 用代入法解关于的方程组时，代入正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用代入消元法把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②，得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组数为解法：代入消元法和加减消元法．
4. 下列各式中，正确的是（ ）
A. ＝4B. ＝﹣2C. ＝±4D. ±＝2
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，分别化简四个选项判断正误即可得到答案．
【详解】解：A、=4，正确，该选项符合题意；
B、没有意义，该选项不符合题意；
C、=4，原计算错误，该选项不符合题意；
D、±=±2，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5. 已知是关于x，y二元一次方程2mx＋y＝3的一个解，那么m的值为（ ）
A. 3B. 2C. ﹣2D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把代入方程得：2m-3＝3，
解得：m＝3，
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6. 对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值即可．
【详解】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．
7. 将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平移的性质列出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，
∴，
解得：，
∴点B的坐标是，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，解二元一次方程组，解题的关键是根据平移列出方程组．
8. 如图，直线，的平分线EF交CD于点F，，则等于（ ）
A. 132°B. 138°C. 156°D. 159°
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质可得∠GEB＝∠1＝48°，∠FEB+∠2＝180°，再利用角平分线性质可得∠FEB＝24°，进而可得答案．
【详解】解：∵∠1＝48°，AB∥CD，
∴∠GEB＝∠1＝48°，
∵∠GEB的平分线EF交CD于点F，
∴∠FEB＝24°，
∵AB∥CD，
∴∠FEB+∠2＝180°，
∴∠2＝156°，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
9. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ）
A. 0种B. 1种C. 2种D. 3种
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断．
【详解】解：，
由②得，
把代入①得，
整理得，
当时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
如果，则，解得，
观察四种说法，①②错误，③④正确，
故选：C．
10. 如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变换．根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第2024次相遇点的坐标．
【详解】解：长方形的周长为，
设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，
根据题意得，
解得，
∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为，
当时，P、Q第六次相遇，此时相遇点坐标为，
∴五次相遇一循环，
∵，
∴的坐标为．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，11，12题3分，13-18每题4分，共30分．）
11. 比较大小：_____________2（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，二次根式大小比较，算术平方根的求解，根据，即可求出结果．
【详解】解：，
，
故答案为：．
12. 的立方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】直接利用点A的纵坐标的绝对值得出A到x轴的距离．
【详解】∵点A（5，-6），
∴A点到x轴的距离是：．
故答案为6．
【点睛】此题主要考查了点到坐标轴的距离，解决问题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值．
14. 已知，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．将两个方程相加求得的值，将两个方程相减求得的值，然后将其代入中计算即可．
【详解】解：，
得：，
则，
得：，
则，
那么，
故答案为：．
15. 某班级为筹备运动会，准备用350元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有______种购买方案．
【答案】两
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的应用．设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用350元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y为正整数可求出解．
【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，
，
得，
∵x，y必须为正整数，
∴，即，
∴当时，；当时，；
所以有两种方案．
故答案为：两．
16. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设醇酒斗，行酒为斗，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系．
17. 在平面直角坐标系中，点，点，点，．若三角形的面积为，则正数的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据得，据此可得线段与轴平行，且到轴的距离为，再根据点的坐标判断点在轴上，然后根据三角形的面积公式即可求出的值．
【详解】解：，
，
，
点的坐标为，，
又点的坐标为，
线段平行于轴，到轴的距离为：，
，
点的坐标为，
点在轴上，
的面积为，
，
，
为正数，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，三角形的面积公式，绝对值的意义，解答此题的关键是理解两个点的纵坐标相等时，经过这两点的直线与轴平行，且两平行线之间的距离等于纵坐标的绝对值．
18. 若方程组的解是，则方程组的解是______．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了方程的解，方程组的特殊解法；将所求方程组整理成，由方程组的解是，得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，
∵方程组的解是，
∴，
解得．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程．
（1）根据乘方、绝对值的意义以及求一个数的立方根的运算法则即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2），
开方得，
∴或，
∴或．
20. 解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为：；
【小问2详解】
解：
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
21. 三角形如图所示，将三角形水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位可以得到三角形．
（1）画出平移后的三角形；
（2）直接写出三角形三个顶点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），，．
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，写出点的坐标．
（1）根据平移的性质，将三角形水平向左平移3个单位，再竖直向下平移2个单位，得到三角形；
（2）根据点在坐标系的位置写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
；
【小问2详解】
解：由图形得，，．
22. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．

（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）2-；（2）7
【解析】
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【详解】解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点的坐标为，因此B点坐标m＝2．
（2）把m的值代入得：|m−1|+m+6
＝|2−1|+2-+6，
＝|1|+8-，
＝−1+8-，
＝7．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．
23. 如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大正方形．

（1）大正方形的边长是______；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为?
【答案】（1）大正方形的边长为；
（2）沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
（1）根据已知正方形的面积关系即可求出大正方形的边长；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【小问1详解】
解：大正方形的边长为，则，
∵，
∴．
答：大正方形的边长为；
【小问2详解】
解：∵长方形纸片的长宽之比为，
∴设长方形纸片的长为，宽为，则，
解得，
∵，
∴，
，，
∵大正方形的边长为，，，，
∴，
∴沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
24. 潮汕牛肉火锅起源于中国潮汕地区，它既是当地人宴客的必备佳有，更是离乡游子们寄托乡愁的食物．潮汕牛肉火锅最大的特点就是采用新鲜食材，利用简单点饪和极致刀功，发挥食材的鲜香本味．按照牛的不同部位对牛肉精心分类：牛胸前的那块脂肪叫胸口朥、牛腹部上的条状肉叫肥胼、牛脊背上长长的一条肉叫吊龙、最精贵的是牛肩胛上突起的一小块肉，叫脖仁……每个部位肉的口感都不相同，涮法亦各有讲究．
某日，小明买了2份胸口朥，3份肥胼，一共花了196元；小华买了4份胸口朥，1份肥胼，一共花了192元．
（1）胸口朥和肥胼售价分别是每份多少元？
（2）火锅店老板根据销售情况，决定购进胸口朥和肥胼共180份，若在售价不变的情况下，每份胸口朥可盈利6元，每份肥胼可盈利8元，请问火锅店老板实际进货用了多少元？
【答案】（1）胸口朥售价每份38元，肥胼售价每份40元
（2）5760元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用以及有理数运算，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设胸口朥售价每份元，肥胼售价每份元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案；
（2）结合（1），可知胸口朥和肥胼的进价均为32元，根据购进胸口朥和肥胼共180份，即可获得答案．
【小问1详解】
解：设胸口朥售价每份元，肥胼售价每份元，
根据题意，可得，
解得，
答：胸口朥售价每份38元，肥胼售价每份40元；
【小问2详解】
由（1）可知，胸口朥售价每份38元，肥胼售价每份40元，
且每份胸口朥可盈利6元，每份肥胼可盈利8元，
，
即胸口朥和肥胼的进价均为32元，
元，
所以，火锅店老板实际进货用了5760元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(，0)，B(，0)，其中，满足，点M为第三象限内一点．
（1）请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；
（2）若M为(，)，请用含的式子表示ABM的面积；
（3）若M(，)到坐标轴的距离相等，MNAB且NM=AB，求N点坐标．
【答案】（1）﹣1，3
（2）
（3）N(-6，-2)或(2，-2)
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质可求出答案；
（2）根据三角形面积公式求出答案即可；
（3）由题意可求出m＝4或8，求出M的坐标，则可得出答案．
【小问1详解】
∵（a+1）2＝0，
∴0，（a+1）2＝0，
∴b﹣3＝0，a+1＝0，
∴b＝3，a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：﹣1，3；
【小问2详解】
如图，
∵M（﹣2，m），且M在第三象限内，
∴m＜0，
∴△ABM的面积2m；
【小问3详解】
∵M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，
∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），
∴m＝4或8，
∵M为第三象限内一点，
∴M（﹣2，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵MN∥AB，NM＝AB，
∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．
26. 定义；在平面直角坐标系中，将经过变换后得到，其中，（k，b为常数且），我们把这种变换称为“G变换”，记作为．例如：当，时，．
（1）当，时，______；
若，则______．
（2）点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，点经过“G变换”得到，若点M与重合，请求出点M的坐标；
（3）已知点，，经过“G变换”的对应点分别是，E，F．若轴，且点F落在x轴上，求三角形的面积．
【答案】（1）；
（2）点M坐标为
（3）三角形的面积
【解析】
【分析】本题考查坐标变换，坐标与图形性质，二元一次方程组的应用等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据“变换”的定义求解；
（2）根据第一、三象限角平分线上的点的特征结合“变换”的定义列得，求解即可；
（3）根据“G变换”的定义求出，，再求出，，的坐标，利三角形的面积公式即可解决问题．
【小问1详解】
解：当，时，点，
若，则，
解得，
∴．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由题意得点变换为，
∵点是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的一个点，
∴，
∵点M与重合，
∴，即，
∵，
∴．
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
解：由题意得：，
解得：，
∵，经过“G变换”的对应点分别是E，F，
∴，，
∵轴，且点F落在轴上，
∴，
∴，，
∴，，，
∴三角形的面积为：
．
∴三角形的面积．