浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校2023-2024学年八年级下学期3月独立作业数学试题（原卷版+解析版）

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1、本试卷共三大题，24小题，共100分，考试时间90分钟
2、答题时请仔细阅读注意事项，认真审题，细心答题，按各题要求将答案写在答题纸上
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出一个正确选项，不选，多选，错选，均不给分）
1. 下列各式中最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案．
【详解】，不是最简二次根式
∴选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，不是最简二次根式
∴选项C错误；
，不是最简二次根式
∴选项D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的知识，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质，从而完成求解．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，所以本选项符合题意；
C、是二元二次方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意；
D、是分式方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键．
3. 下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，结合选项进行判断即可．
【详解】A、与不是同类项，不能进行合并，故本选项错误；
B., 故本选项错误；
C. , 故本选项正确；
D. ，故本选项错误.
【点睛】本题考查了二次根式的化简及同类二次根式的合并，掌握各部分的运算法则是关键．
4. 方程4x2=81-9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A. 9 B. -9x C. 9x D. -9
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【详解】解： 将4x2=81-9x化成一般形式为4x2+9x-81=0，
一次项为9x．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项ax2， 一次项bx，常数项c．
5. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是．
【详解】解：，，
，，
时，，
即方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
6. 方程配方后变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行配方，然后整理即可.
【详解】,
，
，
.
故选A.
【点睛】考查配方法，在配方时要注意常数项的确定方法，若二次项的系数为1，则加上一次项系数的一半的平方，若二次项的系数不为1，提取二次项系数，把系数化为1.
7. 某班30名学生的身高情况如下表：
关于身高的统计量中，不随x，y的变化而变化的有（ ）
A. 众数、中位数B. 中位数、方差
C. 平均数、方差D. 平均数、众数
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的计算方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴这组数据众数为1.53，
将数据排序后，第15个和第16个数据均为：1.53，
∴中位数为，
即：中位数和众数不随x，y的变化而变化，
平均数，
∴平均数随着x，y的变化而变化，
∵方差与平均数有关，
∴方差随着x，y的变化而变化；
故选A．
【点睛】本题考查平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算方法，是解题的关键．
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x+1)=1035B. x(x-1)=1035C. x(x+1)=1035D. x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据根的判别式∆>0，且m-1≠0求解即可．
【详解】解：由题意得
∆=b2-4ac=4+8(m-1)>0，且m-1≠0，
解得
且，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
10. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（ ）
A. 若方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0没有实数根
B. 若方程ax2＋bx＋c＝0的两根符号相同，则方程cx2＋bx＋a＝0的两根符号也相同
C. 若5是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则5也是方程cx2＋bx＋a＝0的一个根
D. 若方程ax2＋bx＋c＝0和方程cx2＋bx＋a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1．
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系进行判断即可得到答案．
【详解】方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根
方程cx2＋bx＋a＝0有两个相等的实数根
故A选项错误；
方程ax2＋bx＋c＝0的两根符号相同
方程cx2＋bx＋a＝0的两根符号也相同
故B选项正确；
5是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
若5是方程cx2＋bx＋a＝0的一个根
a ≠c
故C选项错误；
若方程ax2＋bx＋c＝0和方程cx2＋bx＋a＝0有一个相同的根为
则
作差得，
a ≠c
故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12. 一元二次方程的根是__________．
【答案】，##，
【解析】
【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
∴，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13. 要使有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据当被开方数为非负数时，二次根式有意义即可解答．
【详解】解：要使有意义，则，即．
故答案为：
14. 若一组数据1，3，a，2，5平均数是3，则a=__________，这组数据的方差是__________．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【分析】根据平均数公式：和方差公式：计算即可．
【详解】解：∵一组数据1，3，a，2，5平均数是3
∴1＋3＋a＋2＋5=3×5
解得：a=4
∴这组数据的方差=2
故答案为：4；2．
【点睛】此题考查的是根据平均数求未知数的值和求方差，掌握平均数公式和方差公式是解决此题的关键．
15. 若x＝1是方程x2－2mx＋3＝0的解，则m＝_____．
【答案】2
【解析】
【分析】将x=1代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【详解】∵x=1是方程x2-2mx+3=0的一个根，
∴12-2m+3=0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16. 定义：如图1，在中，点P在边上，连接，若的长恰好为整数，则称点P为边上的“整点”．
如图2，已知等腰三角形的腰长为，底边长为6，则底边上的“整点”个数为________；
如图3，在中，，，且边上有6个“整点”，则的长为_______．
【答案】 ①. 5 ②. 9
【解析】
【分析】设整点与等腰三角形的顶点的连线的距离为l，l为整数，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得出，问题得解；设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，得出当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，再据此得出符合条件的h的值，问题随之得解．
【详解】设整点与等腰三角形的顶点的连线的距离为l，l为整数，
根据勾股定理可得，底边的高为1，如图，
即有：，
根据l为整数，可知l可以为1、2、3，
结合上图，根据等腰三角形的对称性可知， “整点”个数为5；
如图，边上的高为h，
设整点与三角形顶点A的连线的距离为l，l为整数，
即当“整点”在上时，，
当“整点”在上时，，
∴在上的“整点”数目比在上时的数目多1，
即此时“整点”的数目之和必为奇数，当且仅当点D也为“整点”时，在上的“整点”与在上的“整点”有一个重合点，即此时的“整点”的数目之和必为偶数，
∵边上有6个“整点”， “整点”的数目之和为偶数，
∴点D也为“整点”，即边上的高的长度h为整数，
当时，“整点”在上时，，此时有4个“整点”；“整点”在上时，，此时有5个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为8个；
当时，“整点”在上时，，此时有3个“整点”；“整点”在上时，，此时有4个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为6个，此时符合题意；
当时，“整点”在上时，，此时有2个“整点”；“整点”在上时，，此时有3个“整点”，
∴去掉重复的D点，此时“整点”的数目总计为4个；
可知随着的h值越来越大，“整点”的数目越来越少直至为0，
综上：，即，
∴，，
∴，
故答案为：5，9．
【点睛】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，充分利用垂线段最短，得出整点与三角形顶点A的连线的距离l的取值范围，是解答本题的关键．
三、解答题：（本题共8小题，第17-22题，每题6分，第23-24题，每题8分，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法则计算即可；
（2）先运用平方差公式，再进一步计算即可．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先利用平方差公式去括号，然后利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
19. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先把a分母有理化得到，再把所求式子利用配方法得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
20. 某学校抽查了某班级某月5天的用电量，数据如下表（单位：度）：

（1）求这5天的用电量的平均数；
（2）求这5天用电量的众数、中位数；
（3）学校共有36个班级，若该月按22天计，试估计该校该月的总用电量．
【答案】（1）9．6度；（2）9度；9度；（3）7603．2度．
【解析】
【分析】（1）用加权平均数的计算方法计算平均用电量即可；
（2）分别利用众数、中位数及极差的定义求解即可；
（3）用班级数乘以日平均用电量乘以天数即可求得总用电量．
【详解】（1）平均用电量为：（9×3+10×1+11×1）÷5=9．6度；
（2）9度出现了3次，最多，故众数为9度；
第3天的用电量是9度，故中位数为9度；
（3）总用电量为22×9．6×36=7603．2度．
21. 已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)．
（1）求的面积．
（2）求点A到边的距离．
【答案】（1）画图见解析，3
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，求三角形的高，二次根式的除法计算等等：
（1）先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出三角形面积即可；
（2）设点A到边的距离为h，利用三角形面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
∴；
【小问2详解】
解：设点A到边的距离为h，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点A到边的距离为．
22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个．
（1）当售价上涨x元时，那么销售量为_____个；
（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？
【答案】（1）（600－10x）；（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元销售利润，售价应定为50元，这时售出台灯500个
【解析】
【分析】（1）根据“这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个”即可得出结论；
（2）根据“总利润=每个的利润×个数”列出一元二次方程即可求出结论．
【详解】解：（1）由题意可知：当售价上涨x元时，那么销售量为（600－10x）个
故答案为（600－10x）；
（2）设售价上涨x元,
根据题意可得
解得：
此时每个台灯的售价为40＋10=50元或40＋40=80元（不符合题中取值范围，故舍去）
∴这时售出台灯600－10×10=500个
答：为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为50元，这时售出台灯500个．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
23. 如图，扶梯AB的坡比(BE与AE长度之比)为4：3，滑梯CD的坡比(CF与DF长度之比)为1：2，设AE=30米，BC=30米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他共经过了多少路程(即AB+BC+CD的长度)？(结果保留根号)
【答案】他共经过了（80＋）米
【解析】
【分析】根据坡比和已知条件即可求出BE、CF和DF，再根据勾股定理即可求出AB和CD，从而得出结论．
【详解】解：∵扶梯AB的坡比为4：3，即BE：AE=4：3，滑梯CD的坡比为1：2，即CF：DF=1：2，AE=30米，BC=30米，
∴BE==40米，CF=BE=40米，DF=2CF=80米
根据勾股定理可得：AB=米，CD=米
∴AB＋BC＋CD=（80＋）米
答：他共经过了（80＋）米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．
24. 如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5cm？
（2）经过多少时间后，的面积为15cm2？
（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

【答案】（1）经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm；（2）经过或2秒后，的面积为15cm2；（3）=；当时，最大，最大面积为
【解析】
【分析】（1）连接PQ，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后设x秒后，P、Q两点的距离为5cm，根据勾股定理列出方程即可求出结论；
（2）设y秒后，的面积为15cm2，根据三角形的面积公式列出方程即可求出结论；
（3）利用三角形的面积公式即可用含t的代数式表示△PCQ的面积，然后配方，根据平方的非负性即可求出的取值范围，从而求出其最值．
【详解】解：（1）连接PQ，

∵△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，
∴BC2＋AC2=625=AB2
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°
设x秒后，P、Q两点的距离为5cm
根据题意可得BP=2x,CQ=5x
∴CP=BC－BP=7－2x
根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2
即（7－2x）2＋（5x）2=（5）2
解得：（不符合实际，舍去）
答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5cm．
（2）设y秒后，的面积为15cm2
根据题意可得BP=2y,CQ=5y
∴CP=BC－BP=7－2y
∴
解得：
答：经过或2秒后，的面积为15cm2．
（3）根据题意可得BP=2t,CQ=5t
∴CP=BC－BP=7－2t
∴=
=
=
=
=
=
∵
∴
∴（当且仅当取等号），即
∴当时，最大，最大面积为．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决此题的关键．x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.07
身高（m）
1.45
1.48
1.50
1.53
1.56
1.60
人数
x
y
6
8
5
4
度数
9
10
11
天数
3
1
1