山东省聊城市东阿县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省聊城市东阿县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省聊城市东阿县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题原卷版docx、山东省聊城市东阿县实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

1. 在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【详解】解：不等式有：，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式．
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，即可解答．
【详解】．若，则，此选项不合题意；
．当时，，此选项符合题意；
．若，则，此选项不合题意；
．若，则，此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，正数不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变改变．
3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用三角形内角和定理得出的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．
【详解】，，
，
▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
是的中位线，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，得出EO是的中位线是解题关键．
4. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ）
A. 13B. 47C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和．
【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积．
故选B．
【点睛】此题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．
5. 如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
6. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A. 4B. 3C. 4.5D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
7. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A. 9B. 6C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
8. 如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用展开图确定最短路线，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了蚂蚁爬行的最短路径为题，涉及到了正方形的性质、正方体的展开图、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念与灵活应用．
9. 如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形底边三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=4，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=2，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=2.5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=2+2.5+2.5=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形底边三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10. 如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（ ）
A. 当时，四边形为矩形
B. 当时，四边形为平行四边形
C. 当时，或
D. 当时，或
【答案】D
【解析】
【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可．
【详解】解：当时，，cm，，
∴，
∴四边形不为矩形，故选项A结论错误；
当时，，，cm，
∴，
∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误；
当时，作，垂足分别为E、F，如图，
∵，
∴，
∴四边形，都是矩形，
∴，，
∴当时，，，
∴，
∵，
∴，
解得：或，故选项C错误、选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键．
11. 中，E是的中点，平分，于点D，若，，则（ ）

A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于F，证明，得到，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．
详解】解：如图，延长交于F，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴．
∵，，
∴．
故选：B．
12. 如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于点，交对角线于点，取的中点，连接，，．下列结论：
①；
②且；
③；
④，
其中正确个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据正方形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、过一点有且只有一条直线与已知直线平行判断即可；
②根据矩形判定与性质、直角三角形的性质证明△EGH≌△AFH即可判断；
③根据②中全等三角形的性质、等角的余角相等判定即可；
④根据SSS证明三角形全等判定即可．
【详解】解：①连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=∠CBD=45°，
∵EF∥CD，
∴∠FGD=∠CDB=45°=∠ADB，∠AFE=∠ADC=∠EFD=90°，
∴GF=FD，
∵H为DG的中点，
∴FH⊥BD，
∴FH∥AC，
∵过点A只能有一条直线与FH平行，
∴FH∥AE不成立，故①错误；
②∵∠ABC=∠BAD=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF=90°，BE=AF，EF=AB，又∠CBD=45°，
∴∠BGE=∠CBD=45°，
∴BE=EG=AF，
在Rt△GFD中，H为DG的中点，
∴FH=GH=HD，
∴∠GFH==∠FGH=∠BGE=45°，
∴∠AFH=∠AFE+∠GFH=90°+45°=135°，又∠EGH=180°﹣∠BGE=180°﹣45°=135°，
∴∠EGH=∠AFH，
∴△EGH≌△AFH(SAS)，
∴EH=AH，∠EHG=∠AHF，
∴∠EHG+∠BHA=∠AHF+∠BHA，即∠EHA=∠GHF=90°，
∴AH⊥EH，故②正确；
③∵△EGH≌△AFH，
∴∠GEH=∠FAH，
∴又∠GEH+∠HEC=∠FAH+∠BAH=90°，
∴∠HEC=∠BAH，故③正确；
④∵EF=AB=AD，EH=AH，FH=HD，
∴△EHF≌△AHD（SSS），故④正确，
综上，正确的有②③④共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
13. 的算术平方根的平方根是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
先化简，再计算9的算术平方根为3，最后计算3的平方根即可解题．
【详解】解：
9的算术平方根是3，
3的平方根是，
故答案为：．
14. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为
∴
∴a的取值范围为：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．
15. 已知，的整数部分是，的小数部分是，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
的整数部分，
又，
的整数部分是，小数部分为，即，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提．
16. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答．
【详解】解：作轴，轴于点，与交于点，
∵点的坐标，点的坐标是，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键．
17. 如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了将军饮马模型，实际为轴对称实际应用，也考查了菱形和平行四边形的判定与性质，关键是作点关于的对称点．
根据菱形的性质，作点关于的对称点，然后连接交于，此时的和最小，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到．
【详解】如图，
作点关于的对称点，
连接交于，
此时有最小值，最小值为的长．
∵菱形关于对称，是边上的中点，
∴是的中点，
又∵是边上的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即的最小值为1．
故答案为：1．
三、解答题（共69分）
18. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
（1）直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、立方根的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用有理数的乘方运算法则、算术平方根、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
19. 已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）a＝2，b＝－6
（2）5a−3b+8的算术平方根为6
【解析】
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
【小问1详解】
解：根据题意可得：，
解得a＝2．
又由，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
【小问2详解】
当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8
＝5×2－3×（－6）+8
＝36，
∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
20. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据数轴的性质可得a0，c−a>0，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，a∴a+b<0，b+c>0，c−a>0，
∴
．
【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
21. 已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为cm2．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可
（2）根据勾股定理先求出BD，然后再求三角形的面积即可
【详解】（1）∵BC=20，BD=16，CD=12
122+162=202
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2=AD2+BD2，
∴（x+12）2=162+x2，
解得x=，
∴AC= +12=cm，
∴△ABC的面积S=BD•AC=×16×=cm2．
【点睛】勾股定理及其逆定理是本题的考点，熟练掌握其定理和逆定理是解题的关键.
22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．

（1）求证：；
（2）若菱形的边长为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形性质得出，，证明，根据，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论；
（2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
证明：为菱形，
，，
，
∴，
∵，
四边形是平行四边形．
，
∴，
平行四边形是矩形．
．
【小问2详解】
解：∵在菱形中，，，
为等边三角形，
，
∴，
在矩形中，
，
在中，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定，勾股定理．
23. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证： △ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF是矩形，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=OB，DF=OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG=AE，OA=OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
24. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，
∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．