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2024年江西省九江市第十一中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A. B. C. D.
6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解＝_____．
8. 已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________．
9. 已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是___________．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_________m．
11. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为___________．
12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为___．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13. （1）计算：
（2）解分式方程：．
14. 如图，点D是边的上一点，且 ，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
15. 在中，，，、分别为边、中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形．
16. 先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为_______．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取卡片恰好组成“文明”一词的概率．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18. 已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为，轴，且P是x轴负半轴上的一点；
（1）求的函数关系式；
（2）的面积是 ；
（3）若是等腰三角形，直接写出P的坐标．
19. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
（1）证明：是的切线；
（2）若，求的半径．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．）
21. 为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
（1）本次调查为______（填全面调查或抽样调查），样本容量为______；
（2）______；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
22. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q；
（1）点P的坐标是 ，点Q的坐标是_________，抛物线的函数关系式是 ．
（2）直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ；
②若，求m值；
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．解：原式①
②
③…
组别
次数
频数（人数）
第1组
6
第2组
8
第3组
第4组
18
第5组
6
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点A（1﹣2x，x﹣1）在第二象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（ ）
A. B. C. D.
6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解＝_____．
8. 已知一粒米的质量是千克，用科学记数法表示为________．
9. 已知菱形的对角线的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是___________．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_________m．
11. 如图，为等边的边的中点，点是上的一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，若，则的度数为___________．
12. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为___．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分．）
13. （1）计算：
（2）解分式方程：．
14. 如图，点D是边的上一点，且 ，
（1）求证：
（2）如果，求的值．
15. 在中，，，、分别为边、中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中画一个以点、点为顶点的菱形；
（2）在图2中画一个以点、点为顶点的矩形．
16. 先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
17. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为_______．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取卡片恰好组成“文明”一词的概率．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分．）
18. 已知是双曲线上的一点，B点是双曲线上的一点，B点的横坐标为，轴，且P是x轴负半轴上的一点；
（1）求的函数关系式；
（2）的面积是 ；
（3）若是等腰三角形，直接写出P的坐标．
19. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
（1）问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
（2）已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
（1）证明：是的切线；
（2）若，求的半径．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分．）
21. 为了进一步了解某校八年级学生的身体素质情况，体育老师抽测了该校八年级（1）班50名学生一分钟的跳绳次数，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：请结合图表完成下列问题：
（1）本次调查为______（填全面调查或抽样调查），样本容量为______；
（2）______；并把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，则该校八年级共1000人中，一分钟跳绳不合格的人数大约有多少？
22. 定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线，已知抛物线的顶点是点P，它的共生抛物线的顶点是Q；
（1）点P的坐标是 ，点Q的坐标是_________，抛物线的函数关系式是 ．
（2）直线与抛物线、均有两个交点，这些交点从左到右分别是A、B、C、D．
①求m的取值范围 ；
②若，求m值；
六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
23. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．解：原式①
②
③…
组别
次数
频数（人数）
第1组
6
第2组
8
第3组
第4组
18
第5组
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