陕西省咸阳市2024届高三理科数学二模试卷及答案

这是一份陕西省咸阳市2024届高三理科数学二模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了已知等差数列的前项和为，若，则，当函数取得最小值时，等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟
2．答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的。
1．若复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知在边长为1的菱形中，角为，若点为线段的中点，财（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
6．执行下侧的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．5050 B．4950 C．166650 D．171700
7．已知平面区域中的点满足，若在圆面中任取一点，则该点取自区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．当函数取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
9．为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）
A．72 B．120 C．216 D．240
10．若将确定的两个变量与之间的关系看成，则函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点为双曲线的右焦点，过点的直线（斜率为）交双曲线右支于两点，若线段的中垂线交轴于一点，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为________。
14．为抛物线上任意一点，点，设点到轴的距离为，则的最小值为________。
15．已知分别为三个内角所对的边，若，设点为边的中点，且，则________。
16．已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
已知正项数列满足。
（1）若，请判断并证明数列的单调性；
（2）若，求数列的前项和。
18．（本小题满分12分）
陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合。某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：，其中。
（1）根据表中的数据，判断是否有的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设为抽取的三名学生中女生的人数，求的分布列，并求数学期望和方差。
19．（本小题满分12分）
在几何体中，底面是边长为2的正三角形。平面，若。
（1）求证：平面平面；
（2）是否在线段上存在一点，使得二面角的大小为。若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分12分）
已知两圆，动圆在圆的内部，且与圆相内切，与圆相外切。
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点，过点的直线交于两点，求的内切圆面积的最大值。
21．（本小题满分12分）
已知函数。
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围。
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极原点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系。曲线的极坐标方程为。
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的一般方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求面积的最大值。
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数。
（1）解不等式；
（2）设函数，若函数与的图象无公共点，求参数的取值范围。
咸阳市2024年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．解：（1）因为，①
当时，；
当时，，②
①-②得：，
又时，，
又，所以，
则，
又
所以，数列是单调递减数列。（9分）
（2）由（1）知，
则
（12分）
18．解：（1）将表中的数据带入，得到，
所以没有的把握认为学生选择历史与性别有关。（5分）
（2）由题意知，的可能取值为，
则，
所以分布列为：
则数学期望，
方差．（12分）
19．解：（1）证明：如图，设分别为边的中点，连接，
因为平面，
所以，且，
即四边形为平行四边形，可得，
在底面正三角形中，为边的中点，则，
又平面，且平面，所以。
由于，且平面，所以平面。
因为平面，则平面，
又平面，则平面平面。
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则。
设点，则。
设平面的法向量为，平面的法向
量为。
由题意知即
令，则，即，
同理可得：，
由，将的坐标带入计算，
可得：，由于点为线段上一点，故，所以，
即存在点满足，此时．（12分）
20．解：（1）设点为所求曲线轨迹上任意一点，
由题意知，其中为圆的半径，
则，
由椭圆的定义知，点是以为焦点，的椭圆。
所以点的轨迹方程为．
（2）由题意知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
联立消去得，
设点，则，
，
又的周长为，
所以的内切圆半径，
令，则，
设函数，则，在上，函数单调递增，即，
则，此时的内切圆面积的最大值。（12分）
21．解：（1）因为，定义域为，所以，
因为，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增；
综上：在上单调递减，在上单调递增。
（2）因为，所以等价于
，
令，上述不等式等价于，
显然为单调增函数，所求不等式等价于，即，
令，则，
在上单调递增；在上单调递减，
，
，即的取值范围是。
（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）曲线的极坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，即。（2分）
又直线的参数方程为（为参数），
直线的一般方程为。
（2）将直线的参数方程（为参数）带入中，
得到，
化简可以得到：，
则，
圆心到直线的距离，
则，
当且仅当，即时取等号。
所以的面积的最大值为2。（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）
若，即或或
解之得：或。
则原不等式的解集为或。（5分）
（2）函数，若函数与的图象无公共点，即
在上无解，
可得：在上无解，
即，
因为函数，当，
所以，即的取值范围为。（10分）历史
物理
合计
男生
2
23
25
女生
8
17
25
合计
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3