2024年山东省泰安市岱岳实验中学中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

这是一份2024年山东省泰安市岱岳实验中学中考数学模拟试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的绝对值是( )
A. −2B. 1C. 2D. 12
2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为( )
A. 3.6×103B. 3.6×104C. 3.6×105D. 36×104
3.下列计算正确的是( )
A. a8÷a4=a2B. (2a2)3=6a6
C. 3a3−2a2=aD. 3a(1−a)=3a−3a2
4.如图，直线a/​/b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=44°，则∠2的度数为( )
A. 64°
B. 74°
C. 56°
D. 66°
5.如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC=130°，点E是AD上任意一点，连接BE，CE，则∠BEC的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
6.若数a使关于x的不等式组x−12<1+x35x−2≥x+a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay−1+2a1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为( )
A. −3B. −2C. 1D. 2
7.如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD=2 3，则线段CD的长是( )
A. 2B. 3C. 32D. 32 3
8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是( )
A. x=y+512x=y−5B. x=y−512x=y+5C. x=y+52x=y−5D. x=y−52x=y+5
9.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
①∠BPD=135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ=1：2；④S△BDP= 3−14．
其中正确的有( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
10.2020年黄河口生态旅游区“十一”期间接待游客74000人次，实现旅游收入703万元，则703万元用科学记数法表示为______元．
11.因式分解：a2(x−y)−4b2(x−y)=______．
12.一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y(千米)与慢车行驶时间t(小时)之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为______千米．
13.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF⊥AE，垂足为F，将正方形沿AE，BF切割分成三块，再将△ABF和△ADE分别平移，拼成矩形BGHF.若BG=kBF，则DEDC=______(用含k的式子表示)．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
14.计算：| 2−1|+cs45°−( 2)−2+ 8．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组(每位学生只能参加一个活动小组)：A.音乐；B.体育；C.美术；D.阅读；E.人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
③扇形统计图中圆心角α=______度；
(2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组(阅读)的学生人数；
(3)刘老师计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
16.(本小题8分)
某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元.若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
(1)求今年A型车每辆车的售价;
(2)该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元，1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少?
17.(本小题8分)
在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG=FB．
(1)若CD=6，AF=3，求△ABF的面积；
(2)求证：BE=AG+CE．
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
19.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，顶点D在直线y=32x位于第一象限的图象上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D，交BC于点E，AB=4．
(1)如果BC=6，求点E的坐标；
(2)连接DE，当DE⊥OD时，求点D的坐标．
20.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点D(2,−3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值;
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：−2的绝对值为2．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，
当原数绝对值≥10时，n是正整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：36000=3.6×104，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式=a4，不符合题意；
B、原式=8a6，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=3a−3a2，符合题意，
故选：D．
计算各项得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴∠CBA=∠CAB=180°−∠ACB2=30°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠CBA+∠1=30°+44°=74°．
故选：B．
由AC=BC，∠C=120°，可得∠CBA=30°，再由a/​/b，可得∠2=∠CBA+∠1=74°．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−50°=40°，
∴∠BEC=∠BAC=40°．
故选：C．
连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=50°，再根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则可计算出∠BAC=40°，然后根据圆周角定理得到∠BEC的度数．
本题考查了圆周角定理，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：x−12<1+x35x−2≥x+a，
不等式组整理得：x<5x≥a+24，
由不等式组有且只有四个整数解，得到0解得：−2y+ay−1+2a1−y=2，
分式方程去分母得：y+a−2a=2(y−1)，
解得：y=2−a，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为−1，0，2，之和为1．
故选：C．
表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OD
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2 3，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD//CB，
∴ADCD=AOOB
即2 3CD=42
∴CD= 3．
故选：B．
连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2 3，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得
OD与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．
本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD.遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：x=y+512x=y−5．
故选A．
9.【答案】D
【解析】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠PCB=∠CPB=60°，∠PCD=30°，BC=PC=CD，
∴∠CPD=∠CDP=75°，
则∠BPD=∠BPC+∠CPD=135°，故①正确；
∵∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠DBH=∠DPB=135°，
又∵∠PDB=∠BDH，
∴△BDP∽△HDB，故②正确；
如图，过点Q作QE⊥CD于E，
设QE=DE=x，则QD= 2x，CQ=2QE=2x，
∴CE= 3x，
由CE+DE=CD知x+ 3x=1，
解得x= 3−12，
∴QD= 2x= 6− 22，
∵BD= 2，
∴BQ=BD−DQ= 2− 6− 22=3 2− 62，
则DQ：BQ= 6− 22：3 2− 62≠1：2，故③错误；
∵∠CDP=75°，∠CDQ=45°，
∴∠PDQ=30°，
又∵∠CPD=75°，
∴∠DPQ=∠DQP=75°，
∴DP=DQ= 6− 22，
∴S△BDP=12BD⋅PDsin∠BDP=12× 2× 6− 22×12= 3−14，故④正确；
故选：D．
由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD=∠CDP=75°、∠PCB=∠CPB=60°，从而判断①；证∠DBH=∠DPB=135°可判断②；作QE⊥CD，设QE=DE=x，则QD= 2x，CQ=2QE=2x，CE= 3x，由CE+DE=CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP=DQ= 6− 22，根据S△BDP=12BD⋅PDsin∠BDP求解可判断④．
本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
10.【答案】7.03×106
【解析】解：数据703万用科学记数法表示为7.03×106．
故答案为：7.03×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】(x−y)(a+2b)(a−2b)
【解析】解：a2(x−y)−4b2(x−y)
=(x−y)(a2−4b2)
=(x−y)(a+2b)(a−2b)．
故答案为：(x−y)(a+2b)(a−2b)．
直接提取公因式(x−y)，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12.【答案】400
【解析】解：由图象可得，
慢车的速度为：1200÷10=120(千米/小时)，
快车的速度为：1200÷4−120=180(千米/小时)，
则快车到达A地的所用的时间为：1200÷180=203(小时)，
故当快车到达A地时，慢车与B地的距离为：1200−120×203=400(千米)，
故答案为：400．
根据题意和函数图象中的数据可以计算出慢车和快车的速度，从而可以计算出快车到达A所用的时间，进而得到当快车到达A地时，慢车与B地的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】 k−1
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠DAE+∠BAF=∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠FAB，
∵BF⊥AE，
∴∠D=∠AFB=90°
∴△ADE∽△BFA，
∴ADBF=AEBA=DEFA，
由平移知AE=BG，
设AB=a，BF=x，
∵BG=kBF，
∴BG=kx，
∴AF= AB2−BF2= a2−x2，
∴ax=kxa=DE a2−x2，
∴a2=kx2，
∴DE=a a2−x2a= kx kx2−x2x= k2−kx，
CD=AB=a= kx，
∴DEDC= k2−kx kx= k−1．
故答案为 k−1．
设AB=a，BF=x，证明△ADE∽△BFA，由相似三角形的比例式求得a、x的关系，用x表示DE与CD，进而求得比值．
本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是证明三角形相似．
14.【答案】解：| 2−1|+cs45°−( 2)−2+ 8
= 2−1+ 22−12+2 2
=7 22−32．
【解析】先计算绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简，再计算加减法即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的化简的知识点．
15.【答案】解：(1)①200；
②C组的人数为：200−30−50−70−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
③54；
(2)3200×70200=1120(名)，
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为1120名；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为212=16．
【解析】解：(1)①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%=200(名)，
故答案为：200；
②C组的人数为：200−30−50−70−20=30(名)，
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角α=360°×30200=54°，
故答案为：54；
(2)3200×70200=1120(名)，
答：估计该校参加D组(阅读)的学生人数为1120名；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为212=16．
(1)①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出C组的人数，补全条形统计图即可；
③由360°乘以C组所占的比例即可；
(2)由该校共有学生人数乘以参加D组(阅读)的学生人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+400)元，
根据题意得：60000x+400=60000×(1−20%)x，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是原分式方程的解，
∴今年A型车每辆车售价为1600元．
(2)设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车(45−a)辆，
根据题意得：y=(1600−1100)a+(2000−1400)(45−a)=−100a+27000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴45−a≤2a，解得：a≥15．
∵−100<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=15时，y取最大值，最大值=−100×15+27000=25500，此时45−a=30．
答：购进15辆A型车、30辆B型车时销售利润最大，最大利润是25500元．
【解析】(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年每辆售价为(x+400)元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设今年新进A型车a辆，销售利润为y元，则新进B型车(45−a)辆，根据销售利润=单辆利润×销售数量，即可得出y关于a的函数关系式，由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)利用一次函数的性质求出最大利润．
17.【答案】(1)解：∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAF=60°，AB=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∴AE=AB=6，
∵AF=3，
∴AF=EF，
∴S△ABF=12S△ABE=12⋅ 34⋅62=9 32．
(2)作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J．
∵△ABE，△FBC都是等边三角形，
∴BA=BE，BF=BC，∠ABE=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBC，
∴△ABF≌△EBC(SAS)，
∴AF=EC，
∵AB/​/CD，
∴∠CEJ=∠FAH，
∵∠FHA=∠J=90°，
∴△FHA≌△CJE(AAS)，
∴FH=CJ，AH=EJ，
∵FB=FG=FC，FH=CJ，
∴Rt△FGH≌Rt△CJF(HL)，
∴GH=FJ，∵AH=EJ，
∴EF=AG，
∵BE=AE=AF+EF，
∴BE=RC+AG．
【解析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)证明AF=EF，可得S△ABF=12S△ABE解决问题．
(2)作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J.利用全等三角形的性质证明EC=AF，EF=AG即可解决问题．
18.【答案】(1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE/​/BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt△AEF中，AF=6，
根据勾股定理得，AE= EF2−AF2=8，
由(1)知OE/​/BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8．
【解析】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF/​/BC是解本题的关键．
(1)先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE/​/BC，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
19.【答案】解：(1)∵在矩形ABCD中，BC=6，
∴AD=BC=6，
当y=6时，y=32x=6，解得：x=4，故点D(4,6)，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=4×6=24，
故反比例函数表达式为：y=24x，
∵OB=OA+AB=8，即点E的横坐标为8，则y=248=3，
故点E(8,3)；
(2)设点D(2a,3a)(a≠0)，
∵四边形ABCD为矩形，故∠DAO=∠ADC=90°，
∵DE⊥OD，∠ODA=∠EDC，
又∵∠OAD=∠ECD=90°，
∴△OAD∽△ECD，
∴CEOA=CDAD，即CE2a=43a，解得：CE=83，
故点E(2a+4,3a−83)，
∵点D、E都在反比例函数图象上，
∴2a⋅3a=(2a+4)(3a−83)，解得：a=85，
故点D(165,245).
【解析】(1)求出点D(4,6)，将点D的坐标代入反比例函数表达式，进而求解；
(2)证明△OAD∽△ECD，求出CE=83和点E(2a+4,3a−83)，将点D、E的坐标代入反比例函数表达式，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，体现了方程思想，综合性较强．
20.【答案】解：(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2−2x−3…①．
(2)如图1，设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得
直线PD的表达式为y=mx−3−2m，则OG=3+2m>0，
S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3，其中xD、xP分别为点D、P的横坐标，
∵−1<0，故S△POD有最大值，当m=14时，其最大值为4916．
(3)如图2，∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3 2，AC= 10，
过点A作AH⊥BC与点H，
S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得AH=2 2，
则sin∠ACB=AHAC=2 5，则tan∠ACB=tan∠BOQ=2，
则直线OQ的表达式为y=−2x…②，
联立①②并解得x=± 3(舍去负值)，
故点Q( 3,−2 3)
②∠BAC=∠BOQ时，
tan∠BAC=OCOA=31=3=tan∠BOQ，
则直线OQ的表达式为y=−3x…③，
联立①③并解得x=−1+ 132，
故点Q(−1+ 132,3−3 132)，
综上，点Q( 3,−2 3)或(−1+ 132,3−3 132).
【解析】(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式，即可求解；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得直线PD的表达式，由S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3可求解；
(3)分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．