2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区七年级（下）期中数学试卷（有答案）

这是一份2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区七年级（下）期中数学试卷（有答案），共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2分）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2＝﹣7B．x+3＝5yC．D．
3．（2分）已知x＜y，则下列各式中正确的是（ ）
A．x+3＞y+3B．C．x﹣y＞0D．﹣x＞﹣y
4．（2分）已知x的一半与3的和大于﹣1，可列不等式为（ ）
A．B．
C．2x+3＞﹣1D．2（x+3）＞﹣1
5．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．a•a4＝a5B．（a3）2＝a6C．（3a）2＝9a2D．a8÷a2＝a4
6．（2分）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1B．5x2+2x﹣9C．x2﹣1D．4x2﹣x﹣1
7．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝4的解，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
8．（2分）定义新运算“*”，规定：a*b＝2a﹣b．若关于x的不等式x*m＞﹣3的解集为x＞﹣2，则m的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．（2分）已知方程2x+y﹣1＝0，用含x的代数式表示y的形式为 ．
10．（2分）计算：﹣20m6÷5m2＝ ．
11．（2分）已知是方程为3x+my＝5的解，则m的值为 ．
12．（2分）如图，用含x的不等式表示数轴上所表示的解集 ．
13．（2分）借助数轴分析，不等式组的解集为 ．
14．（2分）计算：（﹣2x2y）3＝ ．
15．（2分）写出方程2x+y＝8的非负整数解，可以是 ．（只写出一个即可）
16．（2分）观察下列各等式：
第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：
根据上述等式反映出的规律直接写出第五个等式为 ；猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为 ．
三、解答题（本题共12道小题，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）解不等式2（x﹣1）＞3x﹣4，并把解集表示在数轴上．
18．（5分）解不等式组．
19．（5分）解方程组：．
20．（5分）解方程组．
21．（5分）计算：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣3）．
22．（5分）计算：x（x+1）2﹣x（x+x2）﹣x+2．
23．（6分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中，b＝1．
24．（6分）我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立．
例如：如图1，根据这个图形的面积可以用代数式2x（x+y）表示，也可以用代数式2x2+2xy表示．说明等式2x（x+y）＝2x2+2y成立．
即这个图形可以表示2x（x+y）＝2x2+2xy．
根据上面的描述，完成下列问题：
（1）利用图2中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图3（卡片间不重叠、无缝隙），这个几何图形可以表示的等式是 ；
（2）请你设计一种拼图方案，使其可以表示等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
25．（6分）用方程或方程组解决问题：
某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表：
表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？
26．（6分）已知关于x，y的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
27．（7分）“我运动，我健康，我快乐．”新的学期学校为响应“每天阳光运动1小时活动”的号召，计划购入足球，篮球两种球类．若购买足球15个，篮球10个，共需资金1850元；若购买足球10个，篮球12个，共需资金1740元．
（1）足球，篮球的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种球类共30个，学校至多投入2100元的资金购买，则篮球最多可以购买多少个？
28．（7分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：x﹣2＝﹣1的解为x＝1，不等式组的解集为，不难发现x＝1在的范围内，所以x﹣2＝﹣1是不等式组的“相伴方程”．
问题解决：
（1）在方程①5﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组的“相伴方程”是 （填序号）；
（2）若关于x的方程3k+x＝1是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程x+3＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，直接写出m的取值范围．
2022-2023学年北京市昌平区双城融合学区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）不等式x＞1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【解答】解：x＞1在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有C选项符合；
故选：C．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键．
2．（2分）下列方程中，是二元一次方程的为（ ）
A．3x+2＝﹣7B．x+3＝5yC．D．
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：A．3x+2＝﹣7只有一个未知数，故A选项不符合题意；
B．x+3＝5y，B选项符合题意；
C．不是整式，且没有等号，故C选项不符合题意；
D．的次数是2，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2分）已知x＜y，则下列各式中正确的是（ ）
A．x+3＞y+3B．C．x﹣y＞0D．﹣x＞﹣y
【分析】根据不等式的性质判断各项即可．
【解答】解：∵x＜y，∴x+3＜y+3，故A选项不符合题意；
∵x＜y，∴，故B选项不符合题意；
当x＝1，y＝2时，x﹣y＝1﹣2＝﹣1＜0，故C选项不符合题意；
∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解题的关键．性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2分）已知x的一半与3的和大于﹣1，可列不等式为（ ）
A．B．
C．2x+3＞﹣1D．2（x+3）＞﹣1
【分析】根据x的一半为，与3的和大于﹣1，列出不等式即可．
【解答】解：x的一半与3的和大于﹣1，可列不等式为，
故选：A．
【点评】本题考查了列一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
5．（2分）下列运算错误的是（ ）
A．a•a4＝a5B．（a3）2＝a6C．（3a）2＝9a2D．a8÷a2＝a4
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方运算法则计算各项，即可得出结论．
【解答】解：a•a4＝a5，正确，不符合题意；
B．（a3）2＝a6，正确，不符合题意；
C．（3a）2＝9a2，正确，不符合题意；
D．a8÷a2＝a6，原计算计算错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
6．（2分）已知A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，则A+B的结果为（ ）
A．2x2﹣x﹣1B．5x2+2x﹣9C．x2﹣1D．4x2﹣x﹣1
【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：∵A＝3x2+x﹣5，B＝﹣x﹣2x2+4，
∴A+B＝3x2+x﹣5+（﹣x﹣2x2+4）
＝3x2+x﹣5﹣x﹣2x2+4
＝x2﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
7．（2分）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝4的解，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】C①﹣②得2x+3y＝4k，再由x、y满足2x+3y＝4，即可得到答案．
【解答】解：
①﹣②得2x+3y＝4k，
∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝4的解，
∴2x+3y＝4k＝4，
∴k＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用加减消元法求出2x+3y＝4k是解题的关键．
8．（2分）定义新运算“*”，规定：a*b＝2a﹣b．若关于x的不等式x*m＞﹣3的解集为x＞﹣2，则m的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】根据定义的新运算得到x*m＝2x﹣m＞﹣3，得，由不等式的解集得，即可求得m的值．
【解答】解：∵a*b＝2a﹣b，
∴x*m＝2x﹣m＞﹣3，
解得：，
∵不等式x*m＞﹣3的解集为x＞﹣2，
∴，
解得：m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的不等式．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9．（2分）已知方程2x+y﹣1＝0，用含x的代数式表示y的形式为 y＝﹣2x+1 ．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x+y﹣1＝0，
解得：y＝﹣2x+1，
故答案为：﹣2x+1．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
10．（2分）计算：﹣20m6÷5m2＝ ﹣4m4 ．
【分析】根据单项式的除法法则计算即可．
【解答】解：﹣20m6÷5m2＝﹣4m4，
故答案为：﹣4m4．
【点评】本题考查了单项式除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．
11．（2分）已知是方程为3x+my＝5的解，则m的值为 4 ．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．
【解答】解：把代入方程得：﹣3+2m＝5，
解得：m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，解答的关键是明确方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12．（2分）如图，用含x的不等式表示数轴上所表示的解集 x≥﹣1 ．
【分析】根据数轴即可得到答案．
【解答】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查了用数轴表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
13．（2分）借助数轴分析，不等式组的解集为 ﹣1＜x＜2 ．
【分析】在数轴上分别画出x＜2和x＞﹣1，在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：在数轴上x＜2和x＞﹣1表示如下：
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了求不等式组的解集，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题的关键．
14．（2分）计算：（﹣2x2y）3＝ ﹣8x6y3 ．
【分析】根据幂的乘方（底数不变，指数相乘）与积的乘方（把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）的性质求解即可求得答案．
【解答】解：（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3．
故答案为：﹣8x6y3．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方．此题比较简单，注意掌握符号与指数的变化是解此题的关键．
15．（2分）写出方程2x+y＝8的非负整数解，可以是 （答案不唯一） ．（只写出一个即可）
【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出方程的非负整数解．
【解答】解：方程2x+y＝8，
解得：y＝﹣2x+8，
当x＝0时，y＝8；
当x＝1时，y＝6；
当x＝3时，y＝2；
当x＝4时，y＝0；
则方程的非负整数解可以为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将一个未知数看作已知数表示出另一个未知数．
16．（2分）观察下列各等式：
第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：
根据上述等式反映出的规律直接写出第五个等式为 ；猜想第n个等式（用含n的代数式表示）为 ．
【分析】观察三个等式可得，等号左边的式子规律是分母始终为2，分子是序号加1的平方与序号的平方的差减1，等号右边为序号，即可得到答案．
【解答】解：观察可知：
第一个等式：即；
第二个等式：即；
第三个等式：即；
…
∴第五个等式：即；
∴第n个等式：；
故答案为：，．
【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，仔细观察题目中式子的变化，找到变化规律是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）解不等式2（x﹣1）＞3x﹣4，并把解集表示在数轴上．
【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再把解集表示在数轴上即可．
【解答】解：2（x﹣1）＞3x﹣4，
去括号，得：2x﹣2＞3x﹣4，
移项，得：2x﹣3x＞﹣4+2
合并同类项，得：﹣x＞﹣2，
系数化为1，得：x＜2，
解集表示在数轴上为：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式以及利用数轴表示不等式的解集，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
18．（5分）解不等式组．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”即可求得不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得：5x﹣3x＞4，
∴2x＞4，
解得：x＞2，
由②得：2（x﹣2）＜3x，
∴﹣x＜4，
解得：x＞﹣4，
∴不等式组的解集为：x＞2．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．（5分）解方程组：．
【分析】利用代入消元法求解即可．
【解答】解：
把①代入②得：2x+1+x＝4，
∴3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
20．（5分）解方程组．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：，
①×2+②得：5x＝5，
解得x＝1，
把x＝1代入①得：
2﹣y＝2，
解得y＝0，
∴方程组的解为．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键．
21．（5分）计算：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣3）．
【分析】根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+（x+2）（x﹣3）
＝x2﹣2x+1+x2+2x﹣3x﹣6
＝2x2﹣3x﹣5．
【点评】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式，多项式乘法的运算法则是解题的关键．
22．（5分）计算：x（x+1）2﹣x（x+x2）﹣x+2．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：x（x+1）2﹣x（x+x2）﹣x+2
＝x（x2+2x+1）﹣（x2+x3）﹣x+2
＝x3+2x2+x﹣x2﹣x3﹣x+2
＝x2+2．
【点评】本题主要考查了整式的混合计算，正确计算是解题的关键．
23．（6分）先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中，b＝1．
【分析】先分别利用多项式除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可．
【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）
＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2
＝﹣2ab，
当，b＝1时，
原式＝．
【点评】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．（6分）我们知道根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立．
例如：如图1，根据这个图形的面积可以用代数式2x（x+y）表示，也可以用代数式2x2+2xy表示．说明等式2x（x+y）＝2x2+2y成立．
即这个图形可以表示2x（x+y）＝2x2+2xy．
根据上面的描述，完成下列问题：
（1）利用图2中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图3（卡片间不重叠、无缝隙），这个几何图形可以表示的等式是 （2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2 ；
（2）请你设计一种拼图方案，使其可以表示等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
【分析】（1）根据图形的面积列式即可；
（2）由等式右边的多项式可得拼图含有2个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，5个长为a，宽为b的长方形．
【解答】解：（1）由题意得，图3的面积可以表示为（2a+b）（a+b），
∵图3中含有边长为a的正方形2个，边长为b的正方形1个，长为a，宽为b的长方形3个，
∴图3的面积可以表示为2a2+3ab+b2，
∴利用图2中的三种卡片拼成图3，可以说明等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；
（2）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
可以用图形表示如下（答案不唯一）：
【点评】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握长方形、正方形的面积公式是解题的关键．
25．（6分）用方程或方程组解决问题：
某校初一1班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表：
表格中捐款5元和10元的人数被墨水污染了，问：捐5元和10元的人数各是多少？
【分析】设捐5元有x人，捐10元有y人，根据总人数为30人，总捐款为300元，列出二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设捐5元有x人，捐10元有y人，
由题意得：，
解得，
答：捐5元有2人，捐10元有13人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
26．（6分）已知关于x，y的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
【分析】先求出方程组的解即用含m的式子表示出x、y，再根据方程组的解都为正数得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：解方程组得，
∵原方程组的解都为正数，
∴，
解得，
∴m的取值范围为﹣1＜m＜5．
【点评】本题考查了由二元一次方程组的解满足某个条件求参数，也涉及到解一元一次不等式，解题的关键是由二元一次方程组的解满足的条件列出不等式组．
27．（7分）“我运动，我健康，我快乐．”新的学期学校为响应“每天阳光运动1小时活动”的号召，计划购入足球，篮球两种球类．若购买足球15个，篮球10个，共需资金1850元；若购买足球10个，篮球12个，共需资金1740元．
（1）足球，篮球的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种球类共30个，学校至多投入2100元的资金购买，则篮球最多可以购买多少个？
【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，然后根据购买足球15个，篮球10个，共需资金1850元；若购买足球10个，篮球12个，共需资金1740元列出方程组求解即可；
（2）设购买篮球a个，则购买足球（30﹣a）个，再根据至多投入2100元列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
由题意得，
解得，
答：足球的单价为60元，篮球的单价为95元；
（2）设购买篮球a个，
由题意得：60（30﹣a）+95a≤2100，
解得，
∵a取最大的正整数，
∴a＝8，
答：篮球最多可以购买8个．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
28．（7分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．
例如：x﹣2＝﹣1的解为x＝1，不等式组的解集为，不难发现x＝1在的范围内，所以x﹣2＝﹣1是不等式组的“相伴方程”．
问题解决：
（1）在方程①5﹣x＝0，②3x＝﹣1中，不等式组的“相伴方程”是 ② （填序号）；
（2）若关于x的方程3k+x＝1是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程x+3＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，直接写出m的取值范围．
【分析】1）先求得方程和不等式组的解，再根据“相伴方程”的定义，即可得出结论；
（2）先求得不等式组的解集，再用含k的式子表示方程的解，根据“相伴方程”的定义列出关于k的不等式组，解之即可；
（3）先求得方程的解，再用含m的式子表示不等式组的解，再根据“相伴方程”的定义，即可得到m的取值范围．
【解答】解：（1）由5﹣x＝0，得x＝5，
由3x＝﹣1，得，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤1，
∵x＝5不在﹣5＜x≤1的范围内，在﹣5＜x≤1的范围内，
∴不等式组的“相伴方程”是②，
故答案为：②；
（2）由3k+x＝1，得x＝1﹣3k，
解不等式组得：，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
∵关于x的方程3k+x＝1是不等式组的“相伴方程”，
∴﹣1≤1﹣3k＜2，
∴；
（3）由x+3＝0，得x＝﹣3，
由，得x＝﹣7，
由，得：
当m＞0时，不等式组的解集为2m﹣35≤x＜2，
当m＜0时，不等式的解集为2＜x，
∵x＝﹣3和x＝﹣7均不在2＜x范围内，
∴m＞0，
又∵方程x+3＝0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，
∴2m﹣35≤﹣7，
∴m≤14，
解得：0＜m≤14．
【点评】本题考查了新定义、解一元一次方程、解一元一次不等式组，解题的关键是理解“相伴方程”的概念．
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