河北省唐县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省唐县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知为的导数,且,则( )
A.B.C.D.
2．若,则正整数( )
A.7B.8C.9D.10
3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著,该书记述了我国古代14种算法,分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人,该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料,要求每种算法只能一人收集,每人至少收集其中一种,则不同的分配方案种数为( )
A.240B.300C.420D.540
4．已知定义在上的函数,其导函数的大致图象如图所示,则下列叙述正确的个数为( )
①的值域为;
②在上单调递增,在上单调递减;
③的极大值点为,极小值点为;
④一定有两个零点
A.0B.1C.2D.3
5．函数的导函数为,则的展开式中含项的系数为( )
A.20B.-20C.60D.-60
6．一对夫妻带着3个小孩和一个老人,手拉着手围成一圈跳舞,3个小孩不相邻的站法种数是( )
A.6B.12C.18D.36
7．已知函数的定义域为R,对任意,有,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件D.充要条件
8．已知定义在R上的函数,若函数恰有2个零点,则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.直线是曲线的切线
D.若在区间上的最大值为3,则
10．身高各不相同的六位同学A,B,C,D,E,F站成一排照相,则说法正确的是( )
A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120种站法
B.A与同学不相邻,共有种站法
C.A、C、D三位同学必须站一起,且A只能在C与D的中间,共有144种站法
D.A不在排头,B不在排尾,共有504种站法
11．已知函数,其导函数为,且,记,则下列说法正确的是( )
A.恒成立
B.函数的极小值为0
C.若函数在其定义域内有两个不同的零点,则实数m的范围是
D.对任意的,都有
三、填空题
12．设,_______________.
13．已知函数，，，，都有，则a的取值范围为_________.
四、双空题
14．如果函数在区间上为增函数,则记为,函数在区间上为减函数,则记为.已知,则实数m的最小值为_____________;函数,且,则实数_____________.
五、解答题
15．设,函数的单调增区间是.
(1)求实数a;
(2)求函数的极值.
16．用0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个符合下列条件无重复的数字？
（1）六位奇数;
（2）个位数字不是5的六位数;
（3）不大于4 310的四位偶数.
17．在的展开式中,第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求的展开式中的常数项.
(3)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项？
18．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若,讨论函数的单调性;
(3)当时,恒成立,求a的取值范围.
19．若函数在上有定义,且对于任意不同的,,都有,则称为上的“k类函数”.
（1）若,判断是否为上的“3类函数”;
（2）若为上的“2类函数”,求实数a的取值范围;
（3）若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
参考答案
1．答案：D
解析：.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为,
所以,解得：.
故选：8.
3．答案：D
解析：根据题意,将6种算法分成3组,有1,1,4一组,有1,2,3一组,以及2,2,2一组,
然后将这3组分配给甲乙丙三个人,
所以不同的分配方案有.
故选：D.
4．答案：C
解析：根据导函数的图象可知,在上单调递增,在上单调递减,故②正确;
根据导函数的图象可知,当时,,所以函数在上单调递增,当时,,所以函数在上单调递减,当时,,所以函数在上单调递增,所以的极大值点为,极小值点为,故③正确,
根据单调性可知,函数的最小值为或,最大值为或,故①错误,
当且时,函数无零点,故④错误.
故选：C.
5．答案：D
解析：函数导函数为,
则的展开式的通项公式为,
令,则,此时含x项为,
再令,则,此时含项为,
所以含的项为,
故含项的系数为,
故选：D.
6．答案：B
解析：.
7．答案：A
解析：,则,,在R上.
,“”是""的充分不必要条件,
故选：A.
8．答案：B
解析：如图,数形结合,观察直线与曲线的位置关系.
当,,,,
故在处的切线方程为.
当,,同理可得在处的切线方程为.
当,,
设切点为,其中,则过该点的切线方程为,
代入,得,故过的切线方程为.
可得当时,有两个交点,即函数恰有两个零点.
此时
故选：B.
9．答案：ABD
解析：因为,则,
令,得,解得,
当或时,,当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,在处取得极小值,且,,图象如图所示:
故A,B正确;
令,则,且,故函数在处的切线斜率为-3,此时切线方程为,
即在处的切线方程为,故C错误;
因为,且,
所以要使在区间上的最大值为3,
则,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A,6个人全排列有种方法,A、C、D全排列有种方法,
则A、C、D从左到右按高到矮的排列有种方法,A正确;
对于B,先排列除A与C外的4个人,有种方法,4个人排列共有5个空,
利用插空法将A和C插入5个空,有种方法,则共有种方法,B正确;
对于C,A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种,
将这3人捆绑在一起,与其余3人全排列,有种方法,则共有种方法,C错误;
对于D,6个人全排列有种方法,当A在排头时,有种方法,当B在排尾时,有种方法,
当A在排头且B在排尾时,有种方法,则A不在排头,B不在排尾的情况共有种,D正确.
故选：ABD.
11．答案：.CD
解析：由函数,因为,可得,所以,
对于A中,由,因为,,
所以不恒成立,所以A不正确;
对于B中,由,可得,,
其中无意义,所以的极小值一定不为,所以B错误;
对于C中,由,,
当时,可得;当时,可得,
所以函数在上单调递减,在在上单调递增,
且当时,, 当时,,当时,,
函数的图象,如图所示,
结合图象得,当时,函数与的图象有两个不同的交点,
所以函数在其定义域内有两个不同的零点,则实数m的取值范围是,
所以C正确;
对于D中,由,
设,,可得,
所以,单调递增,即单调递增,
所以为单调递增函数,且单调递增函数,且,
所以函数的图像,如图所示,函数图象为凸函数,
所以,当且仅当时,等号成立,所以D正确.
故选：CD.
12．答案：-63
解析：由,
令,得,
令,得,
所以.
故答案为：-63.
13．答案：
解析：由，，，不妨设，则，所以，
可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，，
又时，，而，所以，所以，
所以a的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：2;3
解析：对于第一空：由题意在上单调递增,首先有,（若,则当时,无意义）,
由对勾函数性质得当时,的单调递增区间为,
所以,即实数m的最小值为2;
对于第二空：显然可导,,
由题意在上单调递减,在上单调递增,即是函数的极值点,
所以,解得,经检验满足题意.
故答案为：2,3.
15．答案：(1)2
(2)极小值为,极大值为0.
解析：（1）函数的定义域为：
且
因为函数的单调增区间是,
所以的解集是.
所以方程的解是,,
所以.
（2）当时,令,则或
当x变化时,,的变化情况如下表：
当时,有极小值;
当时,有极大值.
16．答案：（1）288;
（2）504;
（3）110.
解析：（1）先排个位数,有种,因为0不能在首位,再排首位有种,最后排其它有,根据分步计数原理得,六位奇数有;
（2）因为0是特殊元素,分两类,个位数字是0,和不是0, 当个位数是0,有, 当个位不数是0,有,根据分类计数原理得,个位数字不是5的六位数有;
（3）当千位小于4时,有种, 当千位是4,百位小于3时,有 种, 当千位是4,百位是3,十位小于1时,有1种, 当千位是4,百位是3,十位是1,个位小于等于0时,有1种, 所以不大于4310的四位偶数4有.
17．答案：(1)
(2)
(3)8
解析：（1）依题意,第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍,
即,解得.
（2）二项式展开式的通项公式为,
令,解得,
故常数项为.
（3）由令得,
即展开式中所有系数的和为-1.
18．答案：(1)
(2)的单调增区间为,;单调减区间为.
(3)
解析：（1）当时,
,
,,
所以切线方程为：;
（2）由题,可得,
由于,的解为,
①当,即时,,则在上单调递增;
②当,即时,
在区间上,,在区间上,,
所以的单调增区间为;单调减区间为.
（3）解法一：
①当时,因为,所以,,所以,
则在上单调递增,成立
②当时,,
所以在上单调递增,所以成立.
③当时,在区间上,;在区间,,
所以在上单调递减,上单调递增,所以,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
解法二：
当时,恒成立,等价于“当时,恒成立”.
即在上恒成立.
当时,,所以.
当时, ,所以恒成立.
设,则
因为,所以,所以在区间上单调递增.
所以,所以.
综上所述,a的取值范围是.
19．答案：（1）是上的“3类函数”,理由见详解.
（2）
（3）证明过程见详解.
解析：（1）对于任意不同的,,
有,,所以,
,
所以是上的“3类函数”.
（2）因为,
由题意知,对于任意不同的,,都有,
不妨设,则,
故且,
故为上的增函数,为上的减函数,
故任意,都有,
由可转化为,令,只需
,令,在单调递减,
所以,,故在单调递减,
,
由可转化为,令,只需
,令,在单调递减,
且,,所以使,即,
即,
当时,,,故在单调递增,
当时,,,故在单调递减,
,
故.
（3）因为为上的“2类函数”,所以,
不妨设,
当时,;
当时,因为,
,
综上所述,,,.
x
1
f'(x)
+
0
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘